•◄ Дополнительно ►•
Пример
7–218
Куб
задан своими вершинами:
=(0,0,0),
=(1,0,0),
=(1,1,0),
=(0,1,0),
=(0,0,1),
=(1,0,1),
=(1,1,1),
=(0,1,1).
Выполнить следующие действия: а)
написать уравнения прямых линий
и
;
б)
вычислить расстояние между прямыми
линиями
и
;
в
) написать
уравнение общего перпендикуляра между
прямыми линиями
и
.
Решение:
Общее: хотя в геометрии чертёж обычно предназначен только для иллюстрации рассуждений, в рассматриваемом примере с помощью чертежа все задания можем легко выполнить, глядя на чертёж!
Для случая а):
1). Обозначим
прямую линию
как
.
Её направляющий вектор
=
=(1,1,–1).
Учитывая, что прямая линия содержит
точку
=
=(0,0,1),
записываем каноническое уравнение этой
прямой
:
.
2). Обозначим
прямую линию
как
.
Её направляющий вектор
=
=(0,1,1).
Учитывая, что точка
=
=(1,0,0),
принадлежит
,
записываем каноническое уравнение этой
прямой
:
.
Для случая б):
1). Так
как векторы
и
не параллельны, то
и
– скрещивающиеся прямые. Расстояние
между ними определяется формулой:
.
2). Вычислим:
=
x
=
=
∙
–
∙j
+
∙k
=(2,–1,1)
→
=
.
Вычислим вектор
=
=
=(1,0,–1).
Вычислим:
=
=1.
Тогда можем вычислить:
=
.
Для случая в):
1
). Для
удобства воспользуемся рисунком, который
не привязан к кубу: просто имеются
скрещивающиеся прямые
и
,
и требуется получить уравнение их общего
перпендикуляра: обозначен как прямая
линия
.
Обозначим направляющий вектор прямой
как
.
Он совпадает с вектором
=(2,–1,1).
2). Теперь наметим укрупнённый алгоритм решения задачи:
▫ строим
плоскость
,
содержащую точку
и вектор нормали
=
;
▫ находим
точку
пересечения плоскости
с прямой
;
▫ имея
точку
и вектор
,
получаем уравнение для прямой линии
.
Реализуем намеченный алгоритм:
3). Вычислим
для плоскости
вектор нормали
=
=
=(–2,
–2,2), примем (удобнее) за вектор нормали
коллинеарный
=(1,1,–1).
Используя точку
=(1,0,0)
и вектор
,
запишем
:
=
0, или
:
=0.
4). Из
уравнения прямой линии
:
запишем
=
=
,
=
.
Из условия
=
можем записать:
=0,
откуда получаем
=
и
=
.
Теперь можем записать уравнение
:
.
Замечание:
в связи с используемым
в задачнике ответом, который выражен
как линия пересечения плоскостей
и
,
полезно получить результат:
=
.
6). Вычислим
для плоскости
вектор нормали
=
=
=(0,–3,–3),
примем (удобнее) за вектор нормали
коллинеарный
=(0,1,1).
Используя точку
=(0,0,1)
и вектор
,
запишем
:
=
0, или
:
=0.
7). В этом
случае имеем
:
.
Видим, что в задачнике плоскость
записана с
погрешностью.
Проверка показывает, что точка
не удовлетворяет второму уравнению!
Ответ:
в случае: а)
:
,
:
;
б)
=
;
в)
:
.
☻
Вопросы для самопроверки:
-
При помощи какого свойства векторов получают общее уравнение плоскости?
-
Как записывается уравнение плоскости, проходящей через заданную точку?
-
Что значит «уравнение плоскости в отрезках»?
-
Как получают каноническое уравнение прямой линии в пространстве?
-
Какой физический смысл имеет параметрическое задание уравнения прямой в пространстве?
-
Как получают уравнение прямой, проходящей через две заданные точки?
-
Что такое «отклонение» точки от заданной плоскости, как его вычисляют?
-
Как нормализовать общее уравнение плоскости?
-
Как определить угол между заданными прямыми линиями в пространстве?
-
Как записывают условия параллельности и перпендикулярности для двух прямых в пространстве?
-
Какие задачи в пространстве вызвали наибольший интерес (восторг!)?
Задачи для самоподготовки:
Пример
C5–1:
Составить уравнение
плоскости, которая проходит через точки
и
параллельно вектору
,
в случае: а)
(1,2,0),
(2,1,1),
=(3,0,1);
б)
(1,1,1),
(2,3,–1),
=(0,–1,2).
Ответ:
в случае: а)
:
=0;
б)
:
=0.
Пример
C5–2:
Заданы две плоскости
:
=0
и
:
=0.
Определить их взаимное расположение:
пересекаются, параллельны или совпадают.
Найти расстояние между плоскостями и
косинус угла между ними.
Ответ:
плоскости параллельны, расстояние
между ними:
=
.
Пример
C5–3:
Заданы две плоскости
и
.
Написать уравнение плоскости
,
равноудалённой от заданных плоскостей.
Рассмотреть случаи:
а)
:
=0
и
:
=0;
б)
:
=0
и
:
=0.
Ответ:
в случаях: а)
:
=0;
б)
:
=0.
Пример
C5–4:
Определить, лежат
ли точки
(2,–1,1)
и
(1,2,–3)
в одном, в смежных или вертикальных
углах, образованных при пересечении
двух плоскостей, Для случая: б)
:
=0
и
:
.
Ответ:
в случае б)
точки
,
расположены в вертикальных углах.
Пример
C5–5:
Составить
каноническое уравнение прямой линии,
проходящей через точки
и
.
Рассмотреть случаи: а)
(1,–2,1),
(3,1,–1);
б)
(3,–1,0),
(1,0,–3).
Ответ:
в случае: а)
:
,
б)
:
.
< * * * * * >