Занятие 1. Декартовы координаты. Векторы и скаляры. Сложение и вычитание векторов. Действия над векторами, заданными своими проекциями. Скалярное произведение векторов. Направление вектора.

☺ ☻ ☺

Общие формулы:

Пусть =,=; =,=.

Тогда: ==–===,

==–===.

Для вектора : , орт ; проекции вектора на оси координат: =, =, =, где – углы с осями координат ; =, =, =. Также: =.

Пусть имеем векторы: = и =. Для любых вещественных чисел и линейная комбинация векторов и записывается в виде:

===.

Скалярное произведение векторов и , угол между которыми равен , записывается в виде: ==, =. Также потребуются формулы: вычисление == и нахождение проекций: = и =.

••• ≡ •••

Пример 1–35: Заданы векторы: = (–1,2,0), = (3,1,1), = (2,0,1) и =–2+. Вычислить: а) и координаты орта вектора ; б) ; в) координату вектора ; г) .

Решение:

Применяя общие формулы, решим каждую из поставленных задач:

а). Вычислим длину вектора : ===. Вычислим единичный вектор для вектора : ==(–1,2,0).

б). Вычислим угла между вектором и осью : ==.

в). Используя линейные операции над векторами: сложение векторов и умножение вектора на число, вычислим координату вектора ==(–1) –2·3+=.

г). Вычислим проекцию вектора на ось . Если бы мы имели и , то можно было бы воспользоваться формулой: =. Мы не имеем ни того ни другого, потому воспользуемся формулой из предыдущего пункта, но для проекции на ось : == ==2 –2·1+=0.

Ответ: по пунктам: а) =(–1,2,0), б) =, в) =, =0.

Пример 2–39: Заданы векторы: =, =, =. Вычислить: а) координаты орта ; б) координат вектора =; в) разложение вектора = по базису ; г) вычислить .

Решение:

Замечание: предполагается, что все векторы заданы в трёхмерном пространстве с базисом .

Применяя общие формулы, решим каждую из поставленных задач:

а). Вычислим длину вектора : ==. Вычислим единичный вектор для вектора : ==(2,3,0).

б). Используя линейные операции над векторами: сложение векторов и умножение вектора на число, вычислим вектор =(2,3,0)+(1,1,–1) =.

в). Вычислим вектор . Задача не отличается от предыдущего пункта: =(2,3,0)+(0,–3,–2) – 2(1,1,–1)= (0,–2,0)= .

г). Воспользуемся формулой из предыдущего пункта, обозначив =. В таком случае имеем: ===3 –=6.

Ответ: по пунктам: а) =(2,3,0), б) =, в) =, г) =6.

Пример 3–52: Даны две смежные вершины параллелограмма : (–2,6), (2,8) и точка пересечения диагоналей (2,2). Найти две другие вершины параллелограмма.

Решение:

Для решения задачи удобно (хотя не обязательно!) воспользоваться эскизом параллелограмма: точное построение точек в системе координат не требуется!

1. Воспользуемся свойством диагоналей параллелограмма: точкой пересечения диагонали делятся пополам. Это значит, что можно записать равенства векторов: и .

2. Используя равенства векторов, запишем равенства для точек:

→ ==(6,–2);

→ ==(2,–4).

Ответ: вершины: =(6,–2); =(2,–4).

Пример 4–55: На оси ординат найти точку , равноудалённую от точек (1,–4,7), (5,6,–5).

Решение:

Замечание: для решения задачи удобно (желательно!) воспользоваться эскизом: точное построение точек в системе координат не требуется: для многих выполнение точного чертежа занимает много времени, кроме того затрудняет восприятие свойства универсальности формул!

Общие формулы: Пусть: = и =. Учтём правило построения направленного отрезка (геометрического вектора!): =. Тогда длина отрезка: ==.

1. Обозначим: == и применим формулу для направленного отрезка:

=(1,–4,7) –=,

=(5,6,–5) –=.

2. По условию точку нужно так расположить на оси , чтобы расстояния и были равными, то есть: =.

Мы воспользуемся равноценным ему равенством (так как длина есть величина положительная!): =. Применяя формулу для вычисления длины вектора, после несложных алгебраических преобразований, получим уравнение:

=, или: =1.

3. Получено единственное решение: =.

Замечание: в общем случае задача может иметь два решения (в том числе совпадающих!) или не иметь ни одного: это зависит от конкретного уравнения =.

Ответ: точка: =.

Пример 5–66: Заданы модули векторов: =3, =5. Определить, при каком значении векторы = и = будут перпендикулярны.

Решение:

Замечание: для решения задачи удобно (желательно!) воспользоваться эскизом: точное построение точек в системе координат не требуется: здесь важно прочувствовать, как параллелограмм превращается в ромб за счёт выбора параметра !

Общие формулы: учитывая правило графического представления суммы и разности векторов, видим, что векторы и есть диагонали параллелограмма; из геометрии следует, что за счёт выбора значения должен получиться ромб, то есть =; мы воспользуемся признаком перпендикулярности векторов: =0.

Из свойства скалярного произведения следует равенство: == ==0. Это значит: =. Графическое изображение ромба в случае = не вызывает затруднения!

Ответ: значение: =.

Пример 6–78: Заданы векторы: =(4,–2,–4), =(6,–3,2). Вычислить: а) скалярное произведение векторов ; б) ; в) ; г) .

Решение:

Применяя общие формулы, решим каждую из поставленных задач:

а). Вычислим ==22.

б). Вычислим . Можно было бы вычислить векторы = и =, затем воспользоваться формулой . Мы воспользуемся результатом а): сначала вычислив: = – использовано распределительное свойство. Вычислим: =36, =49 → ==–200.

в). Вычислим = и воспользуемся результатами пунктов а) и б): ==41.

г). Вычислим вектор ==2(4,–2,–4)–(6,–3,2)=(2,–1,–10) → =.

Замечание: можно все вычисления выполнить в координатной форме: определяет автор решения задачи!

Ответ: по пунктам: а) 22, б) –200, в) 41, г) .

Пример 7–82: Доказать, что четырёхугольник с вершинами: (–3,5,6) , =(1,–5,7) , =(8,–3,–1) , =(4,7,–2) есть квадрат.

Решение:

Алгоритм: 1) убедимся, что =, это значит, что – параллелограмм;

2) проверим равенство сторон =, это значит, что – ромб;

3) убедимся, что ·=0, это значит, что – ромб.

Реализуем принятый алгоритм:

1). Вычислим векторы и :

==(1,–5,7)–(–3,5,6)=(4,–10,1), ==(8,–3,–1)–(4,7,–2)=(4,–10,1),

подтверждено: =.

2). Вычислим вектор :

==(4,7,–2)–(–3,5,6)=(7,2,–8). Вычислим: = и =, подтверждено: =.

3). Вычислим векторы ·=(4,–10,1)·(7,2,–8)==0: – ромб.

Замечание: возможны и другие варианты решения задачи!

Ответ: показан алгоритм доказательства и его реализация: доказано.

Пример 8–84: Вычислить работу силы = при перемещении материальной точки из положения (–1,2,0) в положение =(2,1,3).

Решение:

Замечание: в условии задачи следует добавить: перемещение из положения в положение происходит по прямой линии!

1). Вычислим перемещение ===(2,1,3)– (–1,2,0)=(3,–1,3).

2). Вычислим работу силы: =||·|| =·=(1,2,1)·(3,–1,3)==4.

Ответ: работа: =4.