•◄ Дополнительно ►•

Пример 6–100: Упростить выражения: 1) =,

2) =,

3) =,

4) =,

Решение:

Воспользуемся таблицей векторного умножения единичных ортогональных векторов :

	xi=0	x= –	x=
	x=k	x=0	x= –i
	x= –	x=	x=0

Замечание: использование цикла подсказывает результат: если в левой части пара букв названа в направлении движения по стрелке, то в правой части называем третью букву со знаком плюс, если пара букв названа против направления стрелки, то в правой части появляется знак минус.

1). Используя таблицу умножения, запишем: ==.

2). Упростим: ==.

3). Упростим: ==.

4). Используя таблицу умножения, запишем: ==3.

Ответ: выражения: 1) , 2) , 3) , 4) 3.

Пример 7–103: Векторы , и удовлетворяют условию: . Доказать, что верны равенства: .

Решение:

Аналитический способ:

1). Докажем, что: – доказано!

2). Докажем, что: – доказано!

Замечание: преобразования в пунктах 1) и 2) учитывают свойства векторного произведения.

Геометрический способ:

1). Векторное равенство: означает, что последовательная цепочка векторов ,, замыкается в виде треугольника!

2). Это значит, что – удвоенная площадь треугольника, образованного векторами ,,. На рисунках последовательно представлены векторные произведения: , , .

3). Так как в выражениях векторы ,, применяются в соответствии с циклической перестановкой: , то , что завершает доказательство, так как теперь имеем !

Замечание: одновременное применение аналитического и геометрического способов делает за­дачу особенно привлекательной!

Ответ: доказательство представлено в тексте!

☻

Вопросы для самопроверки:

1. Что значит «тройка векторов ,,»?

2. Какие свойства векторного произведения относят к геометрическим свойствам?

3. Какие свойства векторного произведения относят к алгебраическим свойствам?

4. Какой физический смысл векторного произведения (в механике)?

5. Как при помощи векторного произведения проверить, являются ли векторы , коллинеарными?

6. Как можно вычислить площадь «пространственного треугольника»?

7. Что такое векторно-скалярное (скалярно-векторное) произведение векторов ,,?

8. Как можно вычислить высоту параллелепипеда, построенного на тройке векторов ,,, приведенных к общему началу?

9. Как можно определить тип тройки векторов ,,, заданных их декартовыми координатами?

10. Как проверить, являются ли векторы ,, компланарными?

Задачи для самоподготовки:

Пример C3–1: Вычислить площадь треугольника с вершинами (1,1,1), (2,3,4), (4,3,2).

Ответ: площадь треугольника: =2.

Пример C3–2: При каких значениях и вектор = коллинеарен вектору =, если =(3,–1,1) и =(1,2,0).

Ответ: значения: =–6, =21.

Пример C3–3: Силы =(2,–1,–3), =(3,2,–1), =(–4,1,3) приложены к точке =(–1,4,2). Определить суммарный момент сил относительно точки =(2,3,–1): вычислить величину и направляющие косинусы.

Ответ: =7 и =, =0, =.

Пример C3–4: Заданы векторы: =(1,–1,3), =(–2,2,1), =(3,–2,5). Вычислить . Какова ориентация троек: а) ,,; б) ,,; с) ,,.

Ответ: в случаях: а) левая тройка, б) и в) тройки правые.

Пример C3–5: Доказать, что четыре точки: =(1,2,–1), =(0,1,5), =(–1,2,1), =(2,1,3) лежат в одной плоскости.

Ответ: доказано применением смешанного произведения: =0.

< * * * * * >

ЗАНЯТИЕ 4. Различные виды уравнения прямой на плоскости: общее, параметрическое, каноническое, через угловой коэффициент, проходящее через две точки. Определение угла между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности. Расстояние от точки до прямой.

☺ ☻ ☺

Если на плоскости заданы точка и вектор , перпендикулярный прямой , то уравнение этой прямой можно записать в виде:

: = 0, (1)

уравнение (1) можно записать в виде: , или – общее уравнение прямой линии.

Если уравнение умножить на число: , причём выбирают знак , если , и знак , если , то получают запись: , которую называют уравнением прямой линии в нормальном виде. Нормализованное уравнение удобно применять при вычислении отклонения точки от прямой линии , определяемое выражением: =, и расстояния: .

Если заданы точки: , , принадлежащие , то уравнение прямой в этом случае удобно записать в виде: , где . В этом случае имеем: .

Если выбрать точки специально: , , то уравнение прямой линии можно записать в виде: – уравнение в отрезках.

Если прямая линия задана точкой и направляющим вектором , то уравнение записывают в виде: – каноническое уравнение.

Учитывая, что векторы = и = взаимно перпендикулярны, имея направляющий вектор прямой , мы можем записывать сразу:

, или , где =. (2)

Замечание: аналогично: имея вектор , можем сразу записать =, а потом выбирать вариант записи уравнения в общем виде или в канонической форме!

••• ≡ •••

Пример 1–141: Прямая линия задана точкой и вектором нормали =. Записать уравнение прямой в общем виде, привести к нормальному виду и определить расстояние от начала координат до прямой линии. Рассмотреть случаи: а) точка (–1,2), =(2,2); б) (2,1), =(2,0).

Решение:

Общие формулы: общее уравнение: , где =; нормальное уравнение ; расстояние от точки до : , где ; в нашем примере .

1). Для случая а) имеем: общее уравнение можем записать в виде =0, или в виде =0; для нормализации общего уравнения вычислим = → нормальное уравнение: ·()=0 → отклонение =– → = .

2). Для случая б) имеем: общее уравнение можем записать в виде =0, или в виде =0; для нормализации общего уравнения вычислим =1 → нормальное уравнение: 1·()=0 → отклонение =–2 → = 2.

Ответ: в случае: а) уравнения: общее =0, нормальное ·()=0, =; б) уравнения: общее =0, нормальное =0, =2.

Пример 2–142: Прямая линия задана точкой и направляющим вектором =. Записать уравнение прямой в общем виде, привести к нормальному виду и определить расстояние от начала координат до прямой линии. Рассмотреть случаи:

а) точка (–1,2), =(3,–1); б) (1,1), =(0,–1).

Решение:

Замечание: каждую новую задачу нужно попытаться решить, максимально используя уже отработанные средства и алгоритмы!

Общие формулы: учтём, что векторы = и = взаимно перпендикулярны; заменяем на = и далее применяем все выражения предыдущего Примера: общее уравнение , где =; нормальное уравнение ; расстояние от точки до : , где ; в нашем примере .

1). Для случая а) имеем =(1,3): общее уравнение можем записать в виде =0, или в виде =0; для нормализации общего уравнения вычислим = → нормальное уравнение: ·()=0 → отклонение =– → = .

2). Для случая б) имеем =(1,0): общее уравнение можем записать в виде =0, или в виде =0; для нормализации общего уравнения вычислим =1 → нормальное уравнение: 1·()=0 → отклонение =–1 → =1.

Ответ: в случае: а) уравнения: общее =0, нормальное ·()=0, =; б) уравнения: общее =0, нормальное =0, =1.

Пример 3–144: Задана прямая линия и точкой . Вычислить расстояние от точки до . Записать уравнение прямой , проходящей через точку перпендикулярно . Записать уравнение прямой , проходящей через точку параллельно . Рассмотреть случаи: а) : =0, точка (–1,2).

Решение:

Замечание: каждую новую задачу нужно попытаться решить, максимально используя уже отработанные средства и алгоритмы!

Общие формулы: имея уравнение прямой, записываем: = – вектор нормали и = – направляющий вектор, они взаимно перпендикулярны; векторы и будут использованы для построения прямой, проходящей через точку параллельно или перпендикулярно заданной прямой ; получение нормального уравнения и вычисление расстояние от точки до прямой выполняется также, как и в предыдущих примерах.

1). Для случая а) вычисляем = → нормальное уравнение: ·()=0 → отклонение =·=3 → = .

2). Первый способ. Прямая, перпендикулярная , должна иметь общее уравнение :=0, где коэффициент вычисляется из условия . Имеем =0 → =–3. Окончательно :=0. Второй способ. Из уравнения прямой следует направляющий вектор прямой , именно: ==(–2,1). После этого можем записать каноническое уравнение : .

3). Первый способ. Прямая, параллельная , должна иметь общее уравнение :=0, где коэффициент вычисляется из условия . Имеем =0 → =–4. Окончательно :=0. Второй способ. Из уравнения прямой следует направляющий вектор прямой , именно: ==(1,2). После этого можем записать каноническое уравнение : .

Ответ: в случае: а) расстояние от точки : =, уравнения :=0, :=0, или в каноническом виде : , : .

Пример 4–150: Треугольник задан координатами своих вершин. Записать уравнения прямых линий: , содержащей сторону треугольника , , содержащей высоту , биссектрис внутреннего и внешнего угла при вершине . Вычислить длину высоты = и угол между высотой и медианой . Рассмотреть случаи: а) (1,2), (2,–2), (6,1).

Решение:

Общие формулы: уравнение , содержащей точки , , записывают в виде: , где .

Замечание: представлена только основная формула, другие уже использовались в решённых примерах, и будут раскрываться по мере необходимости!

1). Найдём уравнение прямой . Вычислим =–4, и запишем уравнение : , или в виде .

2). Используя условие , можем записать : . Вычислим из условия: , то есть: , откуда =–2. Окончательно : .

3). Вычислим = как расстояние от точки до прямой линии . Нормируем уравнение и вычисляем: =·=·19 → = .

4). Вычислим угол . Если обозначить угловой коэффициент вектора как , то, используя величину =, можем записать: =. Вычислим координаты точки , учитывая, что – медиана: ==(7,3), тогда ==(3,7). Теперь можем записать: = и вычислить =. Используя формулу тригонометрии: , вычислим =.

5). Нахождение уравнений и можно было бы решать традиционно: имея угловые коэффициенты векторов и , найти угловые коэффициенты названных прямых и получить нужные уравнения.

Мы не станем применять этот способ: он более трудоёмкий. К тому же ответ, используемый задачником, будет получить весьма трудно!

Воспользуемся тем, что биссектриса угла есть геометрическое место точек, равноудалённых от сторон угла!

Найдём уравнение прямой =. Вычислим =–, и запишем : . Легко нормируя уравнения для прямых линий и , можем записать:

:=–, учтено, что угол , (5)

:=, учтено, что угол . (6)

Замечание: обоснование формул (5) и (6), а также особенности их применения показано в Пособии по аналитической геометрии и в Пособии БДЗ!

Используя записи (5) и (6), достаточно просто получаем записи, используемые в ответах Задачника : ,

:

Ответ: уравнения : , : , высота треугольника ==, для угла ^ имеем =, уравнения биссектрис: :=0,

:=0.

Пример 5–173: Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину (2,6), а также уравнения высоты : и биссектрисы :, проведенных из од­ной вершины.

Решение:

1). Имея уравнения медианы и высоты , определим координаты точки = из системы уравнений: Ре­шение системы: = (–1, 2).

2). Уравнение прямой (обозначим ) определим по свойству принадлежности . Так как ==(3,4), то уравнение прямой можем записать в виде выражений : , или .

3). Уравнение стороны (обозначим ) определим по свойству . Сразу можем записать : , причём определяется условием: , то есть: , откуда получаем: = –20. Окончательно : .

4). Для прямых и запишем их угловые коэффициенты: =, =–7, соответственно. Для прямой линии вычислим из условия, что биссектриса угла треугольника:

=, или =, откуда =–.

Так как то : , или : .

Ответ: уравнения : , : , : .

☻

Вопросы для самопроверки:

1. При помощи какого свойства векторов получают общее уравнение прямой?

2. Как записывается уравнение прямой в параметрической форме?

3. Что значит «уравнение прямой в отрезках»?

4. Как проводится «нормализация общего уравнения прямой»?

5. Что значит «угловой коэффициент» вектора, прямой?

6. Как получают уравнение прямой, проходящей через две заданные точки?

7. Что такое «отклонение» точки от заданной прямой, как его вычисляют?

8. Как определить, лежат ли заданные точки А и В в одной полуплоскости или в разных?

9. Как определить угол между заданными прямыми?

10. Как записывают условия параллельности и перпендикулярности для двух прямых?

11. Как определить внутренний угол заданного треугольника?

Задачи для самоподготовки:

Пример C4–1: Прямая линия задана точкой и вектором нормали =. Записать уравнение прямой в общем виде, привести к нормальному виду и определить расстояние от начала координат до прямой линии. Рассмотреть случаи: в) точка (1,1), =(2,–1).

Ответ: в случае: в) общее =0, нормальное ·()=0, =.

Пример C4–2: Прямая линия задана точкой и направляющим вектором =. Записать уравнение прямой в общем виде, привести к нормальному виду и определить расстояние от начала координат до прямой линии. Рассмотреть случаи: в) точка (–1,1), =(2,0).

Ответ: в случае: в) уравнения: общее =0, нормальное =0, =1.

Пример C4–3: Задана прямая линия и точкой . Вычислить расстояние от точки до . Записать уравнение прямой , проходящей через точку перпендикулярно . Записать уравнение прямой , проходящей через точку параллельно . Рассмотреть случаи:

б) : =0, точка (1,0); в) : =0, точка (0,–1).

Ответ: в случае: б) расстояние: =, уравнения :=0, :=0, или в каноническом виде : , : ;

в) расстояние: =0, уравнения :=0, :=0, или в каноническом виде : , : .

Пример C4–4: Треугольник задан координатами своих вершин. Записать уравнения прямых линий: , содержащей сторону треугольника , , содержащей высоту , биссектрис внутреннего и внешнего угла при вершине . Вычислить длину высоты = и угол между высотой и медианой . Рассмотреть случаи: б) (2,–2), (6,1), (–2,0).

Ответ: уравнения : , : , высота треугольника ==4, для угла ^ имеем =, уравнения биссектрис :, :=0.

< * * * * * >

ЗАНЯТИЕ 5. Различные виды уравнения плоскости в пространстве: общее, неполное, в отрезках, проходящее через три точки, проходящее через точку нормально данному вектору. Расстояние от точки до плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Канонические уравнения прямой в пространстве.

☺ ☻ ☺

Если в пространстве заданы точка и вектор , перпендикулярный плоскости , то уравнение этой плоскости можно записать в виде:

: = 0, (1)

уравнение (1) можно записать в виде: , или – общее уравнение плоскости.

Если уравнение умножить на число: , причём выбирают знак , если , и знак , если , то получают запись: , которую называют уравнением плоскости в нормальном виде. Нормализованное уравнение удобно применять при вычислении отклонения точки от плоскости , определяемое выражением: =, и расстояния: . Нормальное уравнение плоскости также записывают в виде:

: . (2)

Если в пространстве заданы три точки , , , то уравнение плоскости записывают в виде:

: . (3)

Выберем точки специально: , ,. Получим уравнение плоскости в виде: – уравнение в отрезках. (4)

Если прямая линия в пространстве задана точкой и направляющим вектором , то её уравнение записывают в виде:

: – каноническое уравнение. (5)

Частным случаем уравнений (5) являются уравнения для случая, когда заданы две точки: , , принадлежащие : достаточно в уравнениях (5) принять: = и :

: или (6)

Используя уравнения (5), легко получить специальную запись уравнений, широко применяемых в механике:

: – параметрическая форма уравнений прямой линии. (7)

При решении многих задач полезно определение прямой в пространстве как линии пересечения двух плоскостей

: и : .

В этом случае уравнение прямой линии может быть представлено в виде системы уравнений: (8)

Конечно, система (8) определяет прямую линию лишь в случае, если плоскости пересекаются. Признак пересечения достаточно просто наблюдается: векторы нормалей плоскостей = и = не параллельны!

Плоскости , имеющие общую точку , пересекаются по прямой линии, проходящей через эту точку. Учитывая свойства прямой, можно продолжить: плоскости в этом случае имеют бесчисленное множество общих точек. Пусть имеем плоскости:

Удобно использовать формулы: – для вычисления угла между плоскостями и ; – для вычисления угла между плоскостью и прямой линией .

Для нахождения точки пересечения прямой линии с плоскостью применяют общее уравнение плоскости и уравнение прямой линии в виде (7). Тогда:

. (9)

Вычисляя из (9) значение параметра , затем используя уравнения (7), легко получают координаты точки пересечения.

Замечание: представленные формулы помогут достаточно быстро вспомнить результаты из теории аналитической геометрии, применяемые в рассматриваемом Занятии!

••• ≡ •••

Пример 1–182: Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку параллельно векторам и , в случае: а) (1,1,1), =(0,1,2), =(–1,0,1); б) (0,1,2), =(2,0,1), =(1,1,0).

Решение:

Замечание: задачу можно решить не одним способом; для сравнения к случаям а) и б) применим разные способы решения!

Для случая а):

1). Вычисляем вектор нормали плоскости , используя векторное произведение векторов и : ====(1,–2,1).

2). Запишем общее уравнение плоскости, используя точку и вектор нормали :

: = 0, или : =0.

Для случая б):

1). Для произвольной точки искомой плоскости , построим (используя известное правило) вектор ==.

2). Воспользуемся условием компланарности трёх векторов , , и : =0, откуда получаем уравнение плоскости : =0.

Ответ: в случае: а) : =0; б) : =0.

Пример 2–185: Заданы две плоскости : =0 и : =0. Определить их взаимное расположение: пересекаются, параллельны или совпадают. Найти расстояние между плоскостями и косинус угла между ними.

Решение:

1). Для плоскостей и запишем векторы нормалей: =(–1,2,–1), =(0,1,3). Из записи нормалей следует, что плоскости пересекаются. Это значит, что расстояние между плоскостями равно 0.

2). Вычислим: ==, где – угол между плоскостями и . Учитывая, что угол между плоскостями острый, в ответ запишем значение: =.

Ответ: плоскости пересекаются, причём: =.

Пример 3–192: Заданы две плоскости. Написать уравнение плоскостей и , делящих пополам двугранные углы. Рассмотреть случаи:

а) : =0 и : =0;

б) : =0 и : =0.

Решение:

Для случая а):

1). Для плоскостей и запишем векторы нормалей: =(1,–3,2), =(3,–2,–1). Нетрудно заметить, что ==. Из этого следует, что для искомых плоскостей векторы нормалей можно записать в виде: =+=(4,–5,1) и =–=(–2,–1,3).

2). Выделим одну из точек (по усмотрению автора решения!), принадлежащих линии пересечения плоскостей и : . Запишем общее уравнение плоскости:

: = 0, или : =0.

: = 0, или : =0.

Для случая б):

1). Для плоскостей и запишем векторы нормалей: =(2,–1,5), =(1,–5,2). Нетрудно заметить, что ==. Из этого следует, что для искомых плоскостей векторы нормалей можно записать в виде: =+=(3,–6,7) и =–=(1,4,3).

2). Выделим одну из точек (по усмотрению автора решения!), принадлежащих линии пересечения плоскостей и : (–1,0,1). Запишем общее уравнение плоскости:

: = 0, или : =0.

: = 0, или : =0.

Ответ: а) : =0, : =0; б) : =0, : =0.

Пример 4–194: Определить, лежат ли точки (2,–1,1) и (1,2,–3) в одном, в смежных или вертикальных углах, образованных при пересечении двух плоскостей. Рассмотреть случаи: а) : =0 и : =0.

Решение:

0). Учитывая, что в рассматриваемой задаче не требуется измерение отклонений при помощи единичного вектора, а достаточно знать только знаки отклонений точек и от плоскостей и , будем использовать непосредственно общие уравнения заданных плоскостей. Подставляя координаты точек и в уравнения плоскостей и , получим величины: , затем , . Сопоставление знаков этих величин позволит определять взаимное расположение точек , относительно плоскостей и .

1). Вычислим для варианта а): для точки : =32–(–1)+23–3>0 и =2–2(–1)–3+4>0  это значит, что точка располагается над плоскостью и над плоскостью ; для точки : =31–2+2(–3)–3<0 и =1–22–(–3)+4>0. Это значит, что точка располагается под плоскостью и над плоскостью . Следует: точки , расположены в смежных углах над плоскостью . На рисунке показано положение точек , относительно плоскостей и , соответствующее полученному решению.

Замечание: исключение операции нормализации общих уравнений плоскостей и существенно снижает трудоёмкость решения примера.

Ответ: в случае а) точки , расположены в смежных углах (над плоскостью ).

Пример 5–196: Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку (1,1,–1) перпендикулярно плоскостям : =0 и : =0.

Решение:

Замечание: задачу можно решить не одним способом; лучше свести к уже использованному решению!

1). Для плоскостей и запишем векторы нормалей: =(2,–1,5), =(1,3,–1).

2). Примем: = и =. В таком случае мы имеем Пример 1-182: через точку провести плоскость параллельно заданным векторам!

3). Вычислим вектор нормали плоскости , используя векторное произведение векторов и : ====(2,–1,–1).

4). Запишем общее уравнение плоскости, используя точку и вектор нормали :

: = 0, или : =0.

Ответ: уравнение плоскости: : =0.

Пример 6–198: Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точку (2,0,–3) параллельно: 1) вектору =(2,–2,5); 2) прямой: ; 3) оси ; 4) оси ; 5) оси .

Решение:

Общее: Каноническое уравнение прямой : , где – точка, принадлежащая прямой, – направляющий вектор прямой. В нашем случае общая точка (2,0,–3) для всех случаев фиксирована. Поэтому : .

1). Направляющий вектор задан явно. Имеем :.

2). Направляющий вектор задан параллельной прямой. Имеем :.

3). Направляющий вектор неявно задан как единичный вектор оси : =(1,0,0). Имеем :.

4). Направляющий вектор неявно задан как единичный вектор оси : =(0,1,0). Имеем :.

5). Направляющий вектор неявно задан как единичный вектор оси : =(0,0,1). Имеем :.

По всем заданным вариантам получены окончательные результаты: записываем ответ.

Ответ: 1). ; 2). ; 3) ;

4). ; 5) .