§ 25. Стационарное состояние различных систем

Задача на собственные функции и собственные значения для оператора :

(25.1)

Волновое уравнение:

(25.2)

Как только поставили в соответствие системе оператор , то можем решать волновое уравнение, находим, которая определяет состояние системы.

Собственные функции задачи (25.1) и функции, являющиеся решением волнового уравнения совпадают при условии выполнения:

, тогда . Это условие совместности решений (25.1) и (25.2).

Так как , то гамильтониан системы явно от времени не зависит, т. е. поле стационарно (задача стационарна) – это говорит о совместности решений (25.1) и (25.2).

Рассмотрим стационарную задачу , тогдане зависит от времени. Это либо:

Замкнутая система.

Система в стационарном внешнем поле.

Используя (25.1) и (25.2), получим

Это дифференциальное уравнение имеет решение

Подставим эту функцию в (25.1), тогда

.

Тогда получим

Получили стационарное уравнение Шредингера.

§ 26. Решение волнового уравнения в случае свободной материальной точки

Для свободной материальной точки .

, тогда переходим к стационарному уравнению Шредингера.

Это трехмерная задача

Оператор Лапласа

Оператор представим в виде суммы трех независимых операторов, которые коммутируют. В этом случае можно разделить переменные.

Тогда стационарное уравнение Шредингера запишется в виде

,

где

Для имеем

.

Обозначим

.

Тогда

Решение этого уравнения

Так как частица свободная, то импульс этой частицы сохраняется. Значит, сохраняется направление движения частицы.

Мы выбираем движение частицы по направлению оси x.Тогда в силу сохранения импульса имеем.

Для трехмерного случая

Полная волновая функция

(26.1)

Рассмотрим теперь коммутатор

Так как импульс коммутирует с и не зависит явно от времени, тогда. Из этого следует:

-интеграл движения.

Собственная функция оператора импульса является решением волнового уравнения.

Найдем собственные значения оператора импульса.

{используем, что, т. е.} =

=.

Тогда собственное значение оператора :

Это первое дебройлевское соотношение.

Из (26.1) вводится - второе дебройлевское соотношение.

Используем, что

Уравнение (26.1) удовлетворяет собственной функции оператора импульса.

§ 27. Решение волнового уравнения в случае бесконечно глубокой потенциальной ямы

В случае бесконечно глубокой ямы по определению имеем

Интересующее нас решение ищем на отрезке

.

Поскольку в точках x=0 иx=aпотенциальная энергия частица обращается в бесконечность, вероятность преодоления бесконечного барьера и попадания за пределы областиравна нулю. Оказавшись в этой области частица все время будет находиться в ней. Из определения волновой функции следует

где в.ф. удовлетворяет стационарному уравнению Шредингера

совпадающему с определением оператора , т.е. функцияесть собственная функция этого оператора, соответствующая собственному значению Е. Из сказанного вытекают граничные условия, накладываемые на решение уравнения.

Таким образом, приходим к задаче

От сюда следует:

(*)

Положительность собственного значения Е оператора вытекает из положительности. Решение уравнения (*) представимо в виде супепозиции двух элементарных сосотояний, которые на языкеинтерпритируются как волны де Бройля, распространяющиеся в противоположных направлениях осиx:

Подстановка решения в граничные условия приводит к системе однородных уравнений

(**)

Для неизвестных коэффициентов С_{+/_.} Критерий существования нетривиального решения данной системы

дает условие квантования

собственного значения Е. Это означает, что обладает дискретным спектром. Вводя согласно (**) обозначения

где С- неизвестная пока вещественная (в силу наличия у в.ф. произвольного фазового множителя) константа, для искомой в.ф. будем иметь

Поскольку собственные функции оператора с дискретным спектром квадратично интегрируемы, условие нормировки имеет вид

От сюда, интегрируя, получаем

Подставляя найденное значение константы, запишем решение задачи в окончательной форме