§ 19 Волновое уравнение

Надо сформулировать уравнение функции, которая описывала бы квантово-механическую систему.

Это уравнение было получено Шредингером интуитивным путем. Оно ниоткуда не выводится.

Приведем некоторые соотношения в пользу уравнения Шредингера:

Норма волновой функции:

- вероятность обнаружить динамические переменные в интервале.

Наложим на - условие ее сохранения во времени.- это физическое требование, поскольку, тотакже функция времени.

На базе ограничения получим некоторые ограничения на.

Обозначим . Мы знаем, что, таким образом. Тогда само скалярное произведение- чисто мнимое число.

Но - число вещественное. Отсюда можно представить

(19.1)

Здесь мнимая единица из соотношения . Т. к. в (*) стоит линейный оператор, то это соотношение удовлетворяет принципу суперпозиции.

Подставим (19.1) в равенство , тогда

- эта величина должна быть чисто вещественной, тогда оператор- эрмитов: .

Свойства оператора :

В пределе перехода к классической механике: , то, гдеS – действие из классической механики. Причем, тогда рассматривая

, (19.2)

где - функция Гамильтона.

В нашем случае , тогда учитывая предельный переходи (19.2), то: .

Получили волновое уравнение:

- нестационарное уравнение Шредингера (волновое уравнение).

Каждой системе ставится в соответствие Гамильтониан, решаем с гамильтонианом уравнение Шредингера и получаем волновую функцию которая определяет эволюцию системы.

§ 20 Производная оператора по времени

Пусть средняя от величины, тогда.

Ставим в соответствие величине оператор, тогда величинеставим в соответствие.

Распишем:

{ограничение}{и соотношение,}=

=={}==> {распишем квадратную скобку операторов: , но, тогда

}

В классической механике . []-скобки Пуассона.

В квантовой механике существует связь:

В пределе имеем.

В квантовой механике большинство операторов физических величин явно не зависят от времени и их частные производные равны 0.

§ 21 Интегралы движения в кв. Механике

В классической механике, где, тогдаA– интеграл движения.

В квантовой механике, чтобы величина , которой ставится в соответствие оператор, была интегралом движения нужно, чтобы.

Для того чтобы физическая величина сохранялась, необходимо и достаточно, чтобы .

1. т. к. , то-значение момента импульса сохраняется, т. е. является интегралом движения.

2. .- интеграл движения.

3. . Отсюда следует. Что различные компоненты момента импульса одновременно не измеримы. А измерима только одна проекция.

4. . Квадрат импульса одновременно измерим с любой компонентой момента импульса.

5. , тогда импульс не является интегралом движения.

§22. Флуктуации физических величин

Пусть есть - физическая величина, которая при измерении с вероятностьюW_i дает величину, тогда мы можем говорить о среднеми о дисперсии, где

.

Мы вводили флуктуацию

,

отклонение величины от ее среднего значения.

Перенесем все это на язык квантовой механики, т. к. физической величине мы ставим в соответствие.

Можно показать, что .

Неравенство Коши-Шварца: Оно справедливо и для функциональных пространств, в том числе и для Гильбертова пространства, которое рассматривается в квантовой механике.

Для двух векторов оно имеет вид

имеет смысл тот, что .

,.

Теперь если обозначить ,, тогда будем также рассматривать статистическое усреднение. Отсюда получим из неравенства Коши-Шварца:

Теперь если определить . К тому же по определению изимеем, тогда. Из этого следует, что

.

В случае квантовой механики заменяем на , тогда

.

Задача.Для стационарного состояния частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме найти

Решение. Будем считать, что в.ф. для данной системы уже получены (см. §27).

Согласно определению: (22.1)

Поэтому остается рассчитать

а) В случае числанаходится вычислениями

Подставляя полученные значения в (22.1), получаем

б)Для оператора

Среднее значение будет равно

Подставим в (22.1) и получим