§12. Среднее значение измеряемой величины

По определению

(12.1)

Рассмотрим оператор с дискретным спектром. Разложим по собственным функциям оператора:

(12.2)

По равенству Парсеваля .

Т.к. оператор линейный, то его можно занести под знак суммы:

(12.3)

Подставляя (12.3) в числитель, а (12.2) в знаменатель для (12.1), имеем

Из теории вероятности , где- вероятность получения, тогда

§13. Вероятность результатов измерения

Пусть - вероятность того, что при измерении величиныдля системы, находящейся в состояниимы получим результат. Если система находится в состоянии, то величинапри измерении выходит с вероятностью равной 1:

В общем случае;

Если полная производная оператора удовлетворяет равенству

,

то собственная функция оператора _{описывает состояние системы.}

Для непрерывного спектра, вероятность того, что результаты измерения величины Aдля системы, находящейся в состоянии, лежит в интервале отдо, определяется следующим выражением:

,(13.1)

или плотность вероятности

§14. Коммутативность операторов и одновременная измеримость физических величин

Введем понятие коммутатора

Если мы имеем , то предполагается, что на некоторую функциюсначала действует, а потом на все действует. Если, то операторыикоммутативны. Причем физические величины, соответствующие этим операторам одновременно измеримы. Или говорят, что эти операторы имеют общий базис. То есть, все собственные функции этих операторов можно выбрать общими. Разложимпо базису.

Подействуем на коммутатором:

Используем то, что образуют общий базис:

Числа с оператором коммутируют (т. к. операторы эрмитовы), тогда:

В результате получаем:

То есть, если физические величины одновременно измеримы, то коммутатор соответствующих им операторов равен нулю. Также справедливо обратное утверждение - если коммутатор операторов обращается в нуль, то физические величины соответствующие этим операторам одновременно измеримы. Докажем это утверждение:

Пусть собственная функция оператора , т.е.. Подставляем ее в коммутатор:

Тогда получим . Мы рассматриваем невырожденный спектр. Это значит, что одному собственному значению соответствует единственная собственная функция. Разница между функциямиитолько до константы. Пусть эта константа -, тогда. Но, тогда. Мы получили, что функцияудовлетворяет задаче на собственные функции и собственные значения для оператора. Это можно показать для любой собственной функции оператора. Тогда из коммутативности операторовиследует общность базисов.

Величины и, которым соответствуют коммутирующие операторы, могут быть одновременно измеримы и, следовательно, могут образовывать полный набор динамических переменных. Полный набор динамических переменных полностью задает состояние системы. Но операторыидолжны быть независимы.

§15. Операторы координаты , импульса, момента импульса, энергии

Будем использовать координатное представление (-представление). Будем рассматривать систему из одной материальной точки. Действие сводится к умножению на вектор , т. е.(это определение действия оператора ).

Здесь строго соблюдается последовательность операторов при раскрытии векторного произведения, например, первая компонента:

,

однако для частного случая декартовых координат порядок операторов не существенен.

Оператор энергии или гамильтониан :

,

здесь - оператор кинетической энергии,- оператор потенциальной энергии. Для одной материальной точки гамильтониан имеет вид:

Переменная t – признак внешнего нестационарного поля.

Тут присутствует и , ноиодновременно неизмеримы, тогда потенциальная и кинетическая энергия в квантовой механике не могут быть одновременно измеримыми. В квантовой механике существует понятие “энергия частицы”, но порознь вводить энергию нельзя, иначе либо, либооказываются неизвестными.