Дополнительные задачи по курсу “Квантовая теория”.

1. Доказать соотношение:

2. В состоянии частицы с волновой функцией , где,,a-вещественные параметры, найти распределение вероятностей различных значений координаты. Определить средние значения координаты и импульсачастицы, а также средние значения их квадратов,. Показать, что такая в.ф. минимизирует соотношение неопределённостей: . Состояния, минимизирующие соотношение неопределённостей, называются когерентными.

3. Найти собственные функции и собственные значения физической величины, представляющей линейную комбинацию одноименных компонент импульса и координаты частицы:. Убедиться в ортогональности полученных функций и нормировать их соответствующим образом.

4.Найти уровни энергии и нормированные волновые функции состояний дискретного спектра частицы в-потенциале,. Найти средние значения кинетической и потенциальной энергии в этих состояниях. Вычислить произведение неопределенностей координаты и импульса. Каков вид волновой функции в импульсном представлении?

5. Найти связанные состояния и соответствующие им собственные значения в случае прямоугольной потенциальной ямы

6. Найти значения энергий, при которых частицы не отражаются от потенциального барьера вида.

7.Для частицы в периодическом потенциале вида(идеальный бесконечный «кристалл», см. рис. 1) найти систему независимых решений уравнения Шрёдингера для произвольного значенияE. Определить энергетический спектр частицы.

8.Найти сдвиг в слабом электрическом поле и поляризуемость основного уровня

заряженной частицы в одномерном -потенциале.

9.1) Найти собственные функции и собственные значения операторов рождения и уничтожения. В рассматриваемых состояниях найти распределение по числу частиц. Обсудить случаи бозонных и фермионных операторов. 2) Показать, что применительно к линейному осциллятору собственные функции оператораописывают когерентные состояния.

10.Состояние свободной частицы при t = 0 описывается волновой функцией

Найти изменение во времени и следующие средние: .

11. Найти унитарный оператор, соответствующий преобразованию Галилея, т.е. переходу в новую инерциальную системы отсчета. Убедиться в инвариантности уравнения Шрёдингера относительно этого преобразования. Как при этом преобразуется волновая функция частицы в координатном и импульсном представлениях?

12.Найти унитарный оператор, соответствующий калибровочному преобразованию потенциалов электромагнитного поля. Убедиться в инвариантности уравнения Шредингера относительно этого преобразования.

13.Исследовать энергетический спектр поперечного движения заряженной бесспиновой частицы в однородном магнитном поле, введя соответствующим образом выбранные операторы рождения и уничтожения. Воспользоваться выражениемдля векторного потенциала.

1+ и – соответствуют чётным и нечётным решениям.

2В силу того, что потенциал трансляционно инвариантен (периодичен), в.ф. в соседней ячейке (n+1) может отличаться от в.ф. в предыдущей ячейкеnлишь порстоянным множителем, что мы и отразили в (2). При этом ясно, что по модулю он равен 1.

3В данном случае основным состоянием будет состояние с отрицательной энергией, соответствующее- яме. Ближайшее энергетическое состояниеE=0 уже принадлежит непрерывному спектру. Поэтому при вычислении поправок к энергии по теории возмущений вместо сумм надо брать интегралы.

4и есть искомое значение поляризуемости, по определению.

0