Экзаменационные вопросы по курсу "Квантовая теория".
1. Экспериментальные основы квантовой механики.
2. Классическое и квантовое описание системы.
3. Принцип неопределенности.
4. Полный набор динамических переменных.
5. Постулаты квантовой механики.
6. Роль классической механики в квантовой механике.
7. Волновая функция и ее свойства.
8. Принцип суперпозиции состояний.
9. Понятие о теории представлений.
10. Операторы в квантовой механике.
11. Собственные функции и собственные значения эрмитовых операторов. Случай дискретного и непрерывного спектра.
12. Среднее значение измеряемой величины.
13. Вероятность результатов измерения.
14. Коммутативность операторов и одновременная измеримость физических величин.
15.
Операторы координаты 
,
импульса 
,
момента импульса 
,
энергии 
.
16.
Решение задачи на собственные функции
и собственные значения для оператора
.
17.
Решение задачи на собственные функции
и собственные значения для оператора
.
18. Вычисление коммутаторов, содержащих
операторы 
.
19 Волновое уравнение
20 Производная оператора по времени
21 Интегралы движения в кв. механике.
22. Флуктуации физических величин.
23. Неравенство Гайзенберга.
24 Оператор Гамильтона различных систем.
25. Стационарное состояние различных систем
26. Решение волнового уравнения в случае свободной материальной точки
27. Решение волнового уравнения в случае бесконечно глубокой потенциальной ямы.
28. Метод (представление) Шредингера. Оператор эволюции и его свойства.
29. Метод (представление) Гайзенберга. Уравнение движения для оператора.
30. Уравнение эволюции среднего значения физической величины. Соотношение неопределенности: время – энергия.
31. Матричное представление операторов.
32. Энергетическое представление.
33. Уравнение Шредингера в матричной форме.
34*. Матричная формулировка задачи о линейном гармоническом осцилляторе.
35*. Расчет матричных элементов операторов
.
36. Собственный механический момент (спин).
37. Операторы 
и 
и их свойства.
38. Спиновая переменная волновой функции
39. Матрицы Паули и их свойства.
40. Принцип тождественности.
41. Оператор перестановки и его свойства
42. Симметричное и антисимметричное состояния.
Экзаменационные задачи по курсу "Квантовая теория".
Задача
1.Рассмотреть следующие операторы
а)
инверсии
;
б)
трансляции
;
в)
изменения масштаба
;
г)
комплексного сопряжения
.
Задача 2.Используя свойства
1.
;
2.
;
3.
скалярного произведения
,
.
Доказать неравенство Коши-Шварца-Буняковского
.
Задача
3.Найти оператор
,
если
а)
,
;
,
;
б)
,
;
,
.
Задача
4.Показать, что произвольный линейный
оператор
может быть представлен в виде
;
,
.
Задача
5.Найти
,
если
-
произведение эрмитовых операторов
и
Задача
6. Показать, что при условии эрмитовости
и
операторы
и
,
также эрмитовы.
Задача
7. Используя определение
и
свойство
,
показать,
что уравнение
имеет
решение лишь для вещественного числа
.
Задача
8. Доказать, что собственные функции
эрмитова оператора
с невырожденным дискретным спектром
ортогональны.
Задача
9.Используя свойство ортонормированности
;
,
,
найти коэффициенты
разложения произвольной функции
по базису в гильбертовом пространстве.
Задача
10.Решить уравнение
для оператора
,
Задача
11.Решить уравнение
для оператора
,
.
Задача 12.Для стационарного состояния вида
описывающего
в одномерном случае частицу в бесконечно
глубокой потенциальной яме ширины
,
рассчитать средние значения величин,
соответствующих операторам:
а)
б)
Задача
13.В
-
представлении решить уравнение
для
оператора
.
Задача
14. В
-
представлении найти собственную функцию
оператора импульса.
Задача
15.В
-
представлении получить явный вид
оператора
,
используя координаты а) декартовы; б)
сферические.
Задача
16.В сферических координатах
-
представления найти собственную функцию
оператора
.
Задача
17. В
-
представлении (одномерная система)
решить уравнение
для оператора
в случае частицы в бесконечно глубокой
потенциальной яме, ширины
.
Задача
18. Используя формулы
и решения задач
и
,
найти плотности вероятностей
и
для стационарного состояния
.
Задача
19. Рассчитать коммутатор
.
Задача
20.Найти коммутатор
.
Задача
21.Показать, что
.
Задача
22. Используя неравенство
Коши-Шварца-Буняковского получить
нижнюю границу для дисперсии
наблюдаемой
.
Задача
23.Доказать, что
обращается в нуль, если соотношение, по
которому проводится усреднение,
описывается собственной функцией
оператора
.
Задача
24.Для стационарного состояния
рассчитать
и
.