§ 42. Симметричное и антисимметричное состояния

Чтобы построить конкретные функции будем рассматривать ансамбль независимых частиц, т. е. они между собой не взаимодействуют, но могут находиться во внешнем поле.

Для i-ой частицы во внешнем поле:

Так как частицы одинаковые, то их массы одинаковые, т. е. .

Полный оператор

(51.1)

Для одинаковые аналитические выражения (закон один), но здесь разные координаты.

Когда оператор представим в виде (51.1), то можно провести разделение переменных

.

Тогда уравнение

разбивается на Nодинаковых уравнений:

- волновая одночастичная функция.

- это набор квантовых чисел, характеризующих одночастичное состояние.

Тогда

(51.2)

- это все квантовые числа, относящиеся к рассматриваемому ансамблю.

Причем

,

где

.

Учтем действие оператора перестановки:

1. Рассмотрим симметричные состояния.

Однако из (51.2) при перестановке мы получаем другую функцию. Но в (51.2) функция еще не симметричная. Симметризуем ее:

Здесь сумма по всем нетождественным перестановкам частиц.

- постоянная нормировки

,

где

.

Рассмотрим случай двух частиц

Для данного случая

.

Так как бозоны могут находиться в неограниченном количестве в одном и том же состоянии, то здесь когда говорим о нетождественных состояниях, то имеем в виду, что эта перестановка приводит к новому состоянию.

Если перестановка происходит в одном и том же состоянии, то она тождественная и выбрасывается из рассмотрения. Для бозонов из N!перестановоктождественные перестановки. Тогда надо рассматриватьперестановок, гдеNвсего бозонов, а в 1-ом состоянии находитсяN₁частиц, во 2-омN₂частиц и тд.

Симметричные состояния допускают произвольное число частиц в одночастичном состоянии.

Тогда нормировочный множитель

2. Рассмотрим антисимметричные состояния

Здесь

(51.3)

Чтобы учесть знак вводят понятие парной (соседней, элементарной) перестановки.

Пусть надо переставить в ряде цифры 1 и 4. Учтем элементарные перестановки: 2134, 2314, и т. д.

Здесь 5 элементарных перестановок. .

Тогда в сумму (51.3) надо поставить .

Если iиjв одном состоянии, то,=> .

Антисимметричные состояния запрещают нахождение более одной частицы в одночастичном состоянии.

В сумме (51.3) оператор это оператор не элементарной перестановки, а какой-то конкретной перестановки.

Итак получаем из (51.3) выражение

Рассмотрим пару частиц, тогда

Эта функция обладает свойством антисимметричности. Подействуем на нее оператором перестановки:

,

т. е.

- собственная функция оператора перестановки.

Здесь т. к. у фермионов в каждом одночастичном состоянии число частиц не превышает 1, т. е. 0 или 1.

В наиболее общем виде

.

Обобщим

Из этого вида вытекает принцип Паули: не более одного фермиона может находиться в одном квантовом состоянии.

Допустим две частицы в одном квантовом состоянии, тогда у них совпадают квантовые числа, т. е. . Тогда для детерминанта имеем 2 одинаковые строки, он равен нулю. Состояние не реализуется.

Решения задач по курсу "Квантовая теория"

Задача 1.Рассмотреть следующие операторы

а) инверсии ;

б) трансляции ;

в) изменения масштаба ;

г) комплексного сопряжения .

Решение. Представимв форме

, гдеи. (1.1)

Учтем, что соотношения а-г (см. условие задачи) справедливы для каждой из функций , входящих в суперпозицию (1.1). Тогда имеем:

а)

;

б)

;

в)

;

г)

Таким образом, лишь последний из рассмотренных операторов не удовлетворяет свойству линейности.

Задача 2.Используя свойства

1. ; (2.1)

2. ; (2.2)

3. (2.3)

скалярного произведения

,. (2.4)

Доказать неравенство Коши-Шварца-Буняковского

. (2.5)

Решение.Запишем норму функциивида

, где-вещественное число.

Тогда из с учетом (2.1)-(2.3) найдем

.

Ввиду произвольности положительность нормыдостигается при условии неположительности дискриминанта

,

поставленного в соответствие неравенству . Легко видеть, что изавтоматически следует неравенство (2.5). Знак равенства в формуле (2.5) имеет место в том и только в том случае, когда функцияипропорциональны друг другу, т.е.

,.

Задача 3.Найти оператор, если

а) ,;,;

б) ,;,.

Решение.Подставляя явный видв правую частьи проводя интегрирование по частям, получим

а) ,

б) ,

.

Здесь использовано обращение функций ив нуль на бесконечности в случае (а) и условие периодичности функцииив случае (б). В обоих случаях операторне совпадает с оператором.

Задача 4.Показать, что произвольный линейный операторможет быть представлен в виде

;,.

Решение.Легко видеть, что справедливо разложениена сумму

двух операторов, первый из которых является эрмитовым:

,,

а второй – антиэрмитовым:

.

С их помощью будем иметь

;,;

,.

Всякая линейная комбинация эрмитовых операторов с вещественными коэффициентами есть Эрмитов оператор. Произведение двух эрмитовых операторов не обязательно эрмитово.

Задача 5.Найти, если- произведение эрмитовых операторови

Решение. Из определенияимеем

;

,/

Отсюда с учетом эрмитовости инайдем

. (5.1)

Легко видеть, что в общем случае .

Задача 6. Показать, что при условии эрмитовостииоператорыи, также эрмитовы.

Решение. Из решения задач 4 и 5 следует, что линейному операторуможно поставить в соответствие два самосопряженных оператора:

;

Эрмитовость операторов ,и равенство (5.1) приводят к эрмитовости операторови:

;.

Задача 7. Используя определение(7.1)

и свойство (7.2)

, показать, что уравнение (7.3)

имеет решение лишь для вещественного числа .

Решение. Подставляя

,

где - решение уравнения (7.3), в определение эрмитова оператора (7.1), запишем

.

Используя свойство (7.2), вынесем число , стоящее слева и справа от запятой, за знак скалярного произведения. Это дает

.

Сокращая на положительное число , получим

.

Задача 8. Доказать, что собственные функции эрмитова операторас невырожденным дискретным спектром ортогональны.

Решение.В качестве функцииив определениирассмотрими, являющиеся решениями уравнений

,(8.1)

соответственно. Воспользуемся определением (7.1) эрмитова оператора, записав его в форме .

Подставляя сюда правые части уравнений (8.1) и учитывая свойство (7.2), получим

.

В силу вещественности и невырожденности собственных значений и, отсюда найдем

;,, (8.2)

что и требовалось доказать.

Объединяя равенства (8.4)

и (8.2), запишем условие ортонормированности

(8.3)

собственных функций эрмитова оператора с невырожденным дискретным спектром.

Задача 9.Используя свойство ортонормированности (8.2), найти коэффициентыразложения произвольной функциипо базису в гильбертовом пространстве.

Решение. В качестве базиса выберем собственные функции оператора, полученные решением уравнения (7.3) и удовлетворяющие условию (8.3). Искомое разложение представим в форме

,

где суммирование проводится по всем значениям индекса (т.е по всем собственным значениямоператора). Для нахождения коэффициентовзапишем скалярное произведение

.

Преобразуем его с учетом свойств (7.2), , (8.3). Это дает

Таким образом, окончательно запишем

,.

Коэффициент имеет смысл проекции функциина ортгильбертова пространства.

Задача 10.Решить уравнение (7.3) для оператора

,

Решение.Из решения задачи 3(б) и равенств

(10.1)

найдем

,

т.е. рассматриваемый оператор Эрмитов, а его собственные значения вещественны. Уравнение (7.3) примет вид

.

Решая его, найдем

.

Из условия периодичности (см. задачу 3(б))

вытекает равенство

,

из которого получаем ограничение

;

Из дискретности и невырожденности спектра следует, что после нормировки (8.4) функции будут обладать свойством (8.3).

Запишем условие нормировки (8.4) в виде

В общем случае постоянный множитель есть комплексное число, однако ввиду всегда допустимого введения произвольного фазового множителя

,(10.1)

будем предполагать вещественность константы . Это дает

Окончательно запишем

;

Задача 11.Решить уравнение (7.3) для оператора

,.

Решение. Из (10.1) и решения задачи 3а следует, что рассматриваемый оператор Эрмитов. Следовательно, его собственные значения вещественны. Уравнение (7.3) примет вид

,

Решая его, найдем

. (11.1)

Норма функции неограниченна, поскольку

.

Следовательно, при соответствующем выборе константы функцииивида (11.1) будут удовлетворять условию. (11.2)

Для расчета воспользуемся равенством. Собственный дифференциалдля функции (11.1) имеет вид

.

Подставляя в определение нормы(11.3)

, приходим к интегралу

который после замены переменных

приводя к виду

Используя табличный интеграл

из условия нормировки получим

Как и в задаче 10, константу нормировки выберем вещественной. Таким образом, окончательно запишем

. (11.4)

Задача 12.Для стационарного состояния вида

(12.1)

описывающего в одномерном случае частицу в бесконечно глубокой потенциальной яме ширины , рассчитать средние значения величин, соответствующих операторам:

а)

б)

Решение. а) По определению, (12.2)

запишем

(12.3)

Расчет числителя (12.3) дает

где использованы соотношения

Аналогичным образом для знаменателя (12.3) получим

Следовательно, для будем иметь

б) Учитывая свойство (7.2) и определение (12.2), запишем

. (12.4)

Расчет числителя (12.4) дает

таким образом, для будем иметь

Задача 13.В- представлении решить уравнение(13.1)

для оператора .

Решение.В одном случае имеем

(13.2)

где - некоторое собственное значение оператора. Учитывая определения

(13.6)

отсюда найдем

(13.3)

Равенство (13.3) возможно лишь при условии, что равна нулю всюду, кроме точки. Среди решений уравнения (13.2) или (13.3) не существует ни одной квадратично-интегрируемой функции. Единственной функцией, удовлетворяющей (13.2) и нормировке (11.2), является дельта-функция, определенная равенствами

, (13.4)

. (13.5)

Таким образом, функция имеет вид

.

В трехмерном случае вместо (13.2) запишем

. (13.7).

В силу (13.6) оператор представим в виде суммы трех коммутативных операторов:. Это обстоятельство позволяет для решения уравнения (13.7) использовать метод разделения переменны. Это дает

(13.8)

Решая (13.8) и учитывая равенство

(13.9)

вытекающее из определения дельта-функции в - мерном пространстве векторов:

, (13.10)

для найдем

.

Задача 14. В- представлении найти собственную функцию оператора импульса.

Решение.Записывая(14.1)

в декартовых координатах

(14.2)

и учитывая, что представим в форме суммы трех коммутативных операторов (так же, как и),

(14.3)

воспользуемся решением сходной одномерной задачи II. Уравнение (13.1) в обозначениях (14.3) принимает вид

(14.4)

Уравнения (14.4) сводятся к трем одномерным уравнениям

подобным исследованному в задаче II. Из (11.4) имеем

(14.5)

Вещественная, как и в (11.4), константа находится из условия нормировки (11.2)

(14.6)

Подставляя (14.5) в (14.6)

и проводя под интегралом замену переменных , найдем

что с учетом (13.5) дает

Подставляя найденную константу в (14.5) получим

что вместе с (14.4) дает

(14.7)

Условие ортонормированности (11.2) для собственной функции (14.7) оператора импульса с учетом (13.9) и (14.6) имеет вид

(14.8)

Здесь индексами 1 и 2 нумеруются различные значения ивектора, тогда как в (14.4) эти же индексы используются для обозначения проекцийивекторана соответствующие оси декартовых координат.

Задача 15.В- представлении получить явный вид оператора, используя координаты а) декартовы; б) сферические.

Решение.а) В декартовых координатах (14.3) и (14.2) имеем

(15.1)

б) Переход от декартовых координат к сферическимопределяется формулами:

(15.2)

(15.3)

Для операторов ипереход (15.2) к сферическим координатам дает

Подставляя эти выражения в (15.1), запишем

(15.4)

С учетом (15.3) произведенные сферических координат и выражения в круглых скобках (15.4) приводятся к виду

(15.5)

Подставляя вторую строку (15.5) в (15.4), для оператора в сферических координатах получаем

(15.6)

Задача 16.В сферических координатах- представления найти собственную функцию оператора.

Решение. Оператор(15.6)связан с операторомзадачи 10 равенством

Используя решение задачи 10, для собственных функций , удовлетворяющих уравнению

(16.1)

(где - собственное значение оператора, соответствующее), получаем

(16.2)

Задача 17. В- представлении (одномерная система) решить уравнение (7.3) для операторав случае частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме, ширины.

Решение. В случае бесконечно глубокой ямы по определению имеем

(17.1)

Интересующее нас решение ищем на отрезке (17.2)

Поскольку в точках ипотенциальная энергия частицы обращается в бесконечность, вероятность преодоления бесконечного барьера и попадания за пределы области (17.2) равна нулю. Оказавшись в области (17.2), частица все время будет находиться в ней. Из формул(17.3)

и

(17.4)

следуют соотношения

где - волновая функция, удовлетворяющая стационарному уравнению Шредингера

(17.5)

совпадающему с уравнением (13.1) или (13.2) (в зависимости от характера спектра), т.е. функция , удовлетворяющая (17.5), есть собственная функцияоператора, соответствующая собственному значению. Из сказанного вытекают граничные условия, накладываемые на решение уравнения (17.5).

Таким образом, приходим к задаче

(17.6)

Отсюда следует:

(17.7)

Положительность собственного значения операторавытекает из положительностии. Решение уравнения (17.7) представимо в виде суперпозиции двух элементарных состояний, которые на языке(17.3) интерпретируются как волны де Броля, распространяющиеся в противоположных направлениях оси:

(17.8)

Подстановка (17.8) в граничные условия (17.6) приводит к системе однородных уравнений

(17.9)

для неизвестных коэффициентов . Критерий существования тривиального решения этой системы

дает условие квантования

собственного значения (17.5). Это означает, чтообладает дискретным спектром, а уравнение (17.5) эквивалентно (7.3). Вводя согласно (17.9) обозначения

где - пока неизвестная вещественная (в силу наличия упроизвольного фазового множителя (10.1) это всегда возможно) константа, для функции (17.8) будем иметь

(17.10)

Поскольку собственные функции оператора с дискретным спектром квадратично интегрируемы, условие нормировки имеет вид

Отсюда с учетом решения задачи 12 находим

Подставляя найденное значение константы в (17.10), запишем решение задачи в окончательной форме

(17.11)

Задача 18. Используя формулы (17.4) и решения задач 13 и 14, найти плотности вероятностейидля стационарного состояния(см. задачу 17).

Решение. а) Согласно (17.3) амплитударазложения состоянияпо базисуравна

В силу нормировки на единицу из (17.4) и (17.11) найдем

(18.1)

б) Аналогично (18.2)

для амплитуды разложенияпо базисузапишем

Подставляя сюда из (17.11), вводя обозначения

и проводя интегрирование, получим

.

Учитывая равенства

для в (17.4) будем иметь

Подставляя в (17.4), запишем

(18.3)

Условие нормировки в (18.3) вытекает из равенства Парсеваля в форме

справедливой в случае непрерывного спектра собственных значений оператора.

Задача 19. Рассчитать коммутатор.

Решение.Для нахождения явного вида операторанеобходимо рассмотреть результат его действия на произвольную функцию. Используя (13.6), (14.2) и определение, (19.1)

запишем

. (19.2)

Задача 20.Найти коммутатор.

Решение.Используя (19.2) и видв- представлении

, (20.1)

запишем

. (20.2)

Задача 21.Показать, что.

Решение.Воспользуемся соотношением

, (21.1)

легко проверяемым непосредственной подстановкой всех коммутаторов в (21.1) согласно определению (19.1).

Тогда для искомого коммутатора запишем

. (21.2)

Ввиду симметричности (относительно перестановки индексов) оператора и антисимметричности (согласно определению (20.1)) тензорадвойное суммирование в (21.2) по индексамидает нуль. Равенство

(21.3)

объясняется также и тем, что скалярный оператор инвариантен относительно преобразования

. (21.4)

Задача 22. Используя неравенство Коши-Шварца-Буняковского получить нижнюю границу для дисперсиинаблюдаемой.

Решение.Выбирая в качествеифункции

и используя неравенство

, (22.1)

получим

. (22.2)

В силу эрмитовости оператортак же эрмитов (7.1), т.е. выполняется равенство

. (22.3)

Согласно определению (13.5) неравенство (22.2) принимает вид

.

Отсюда с учетом

(22.4)

(22.5)

получим

.

Таким образом, мы нашли, что наименьшее из возможных значений дисперсии (и среднеквадратичного отклонения) физической величиныравно нулю.

Задача 23.Доказать, чтообращается в нуль, если соотношение, по которому проводится усреднение, описывается собственной функцией оператора.

Решение. Пусть в качествев (13.5) выбрана, удовлетворяющая (7.3). Тогда в силу

, (23.1)

(23.2)

и (13.5) запишем

.

С учетом определения (22.5) и равенства (22.3) это дает

.

Верно и обратное: равенство нулю нормы некоторой функции

реализуется лишь в случае равенства нулю этой функции:

. (23.3)

Сравнивая равенство (23.3) с уравнением (7.3), заключаем, что оно возможно, если - одна из собственных функций оператора

,

где - собственное значение оператора, соответствующее этой собственной функции.

Задача 24.Для стационарного состояния (17.11) рассчитатьи(см. задачу 12).

Решение.Согласно определению(24.1)

запишем

. (24.2)

Для получения и(с учетом(24.3) и(24.4) нам остается рассчитатьи. По определению (13.5) дляимеем

. (24.5)

а) В случае числонаходится вычислениями

,

подобными проделанным в задаче 12а. Следовательно,

. (24.6)

Подставляя (24.6) и (24.3) в (24.2), получим

. (24.7)

б) Для оператора (см. задачу 12б) найдем

. (27.8)

Подстановка (24.8) и (24.4) в (24.2) дает

. (24.9)