2.9. Однородные и неоднородные уравнения Эйлера
Уравнением Эйлера
называют линейное уравнение с переменными
коэффициентами вида:
,
где
- постоянные числа;
– заданная функция.
Уравнение Эйлера,
как однородное, так и неоднородное,
приводится к линейному уравнению с
постоянными коэффициентами заменой
независимой переменной
=
,
если
>0,
,
если
<0.
Рассмотрим метод на примере уравнения Эйлера 2-го порядка.
Пример 2.14. Найти
общее решение неоднородного уравнения
Эйлера:
.
Решение. 1) Применяя подстановку = , получим линейное уравнение
. (2.11)
Его характеристическое
уравнение
имеет
корни
=
=2.
Составляем для (2.11) фундаментальную
систему решений
=
,
=
и строим общее решение соответствующего
однородного уравнения:
.
2) Учитывая, что
=
,
частное решение неоднородного уравнения
(2.11) будем искать в виде
=
.
Подставляя
,
,
получим тождество, из которого легко
вычислить
.
В таком случае,
=
.
3) Запишем общее
решение уравнения (2.11)
=
=
.
4) Выполняя обратную
замену
,
получим решение исходного уравнения
.
Ответ. Общее решение .
Задание 2.9. Решить уравнения Эйлера.
а) однородные:
Вар. |
Уравнение |
Вар. |
Уравнение: |
2.9.1. |
|
2.9.9. |
|
2.9.2. |
|
2.9.10. |
|
2.9.3. |
|
2.9.11. |
|
2.9.4. |
|
2.9.12. |
|
2.9.5. |
|
2.9.13. |
|
2.9.6. |
|
2.9.14. |
|
2.9.7. |
|
2.9.15. |
|
2.9.8. |
|
|
|
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.б) неоднородные:
Вар. |
Уравнение |
Вар. |
Уравнение |
2.9.16. |
|
2.9.24. |
|
2.9.17. |
|
2.9.25. |
|
2.9.18. |
|
2.9.26. |
|
2.9.19. |
|
2.9.27. |
|
2.9.20. |
|
2.9.28. |
|
2.9.21. |
|
2.9.29. |
|
2.9.22. |
|
2.9.30. |
|
2.9.23. |
|
|
|
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.