2.2. Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка

Для решения однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами n-го порядка применяют описанный в п.2.1. алгоритм решения уравнений 2-го порядка, то есть записывают характеристическое уравнение и находят его корни. Необходимо лишь учесть, что:

1. каждому действительному корню кратности характеристического уравнения соответствует решений в ФСР: и , …, ;

2. каждой паре комплексных корней кратности характеристического уравнения соответствует решений в ФСР: , , , ,…, , .

Задание 2.2. Найти общие решения уравнений.

Вар.	Уравнение	Вар.	Уравнение
2.2.1.	.	2.2.16.	.
2.2.2.	.	2.2.17.	.
2.2.3.	.	2.2.18.	.
2.2.4.	.	2.2.19.	.
2.2.5.	.	2.2.20.	.
2.2.6.	.	2.2.21.	.
2.2.7.	.	2.2.22.	.
2.2.8.	.	2.2.23.	.
2.2.9.	.	2.2.24.	.
2.2.10.	.	2.2.25.	.
2.2.11.	.	2.2.26.	.
2.2.12.	.	2.2.27.	.
2.2.13.	.	2.2.28.	.
2.2.14.	.	2.2.29.	.
2.2.15.	.	2.2.30.	.

2.3. Метод вариации произвольных постоянных решения неоднородных дифференциальных уравнений

Для решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений может быть использован метод вариации произвольных постоянных. Опишем его алгоритм на примере неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами 2-го порядка.

1) Для заданного уравнения запишем соответствующее ему однородное дифференциальное уравнение

. (2.1)

2) Находим общее решение данного однородного уравнения: , где и – функции ФСР, а и – произвольные постоянные.

3) Заменим постоянные и на функции и , причём так, что функция будет уже решением неоднородного уравнения.

4) Найдём производную для функции : = + и потребуем

=0, (2.2)

то есть, чтобы производная имела такой же вид, как и при постоянных и .

5) Учитывая (2.2), найдём производную . Получаем = + .

6) Подставив , и в исходное уравнение и учитывая, что и являются решениями однородного уравнения, получаем ещё одно требование к функциям и

= . (2.3)

7) Из условий (2.2) и (2.3) составляем систему:

(2.4)

8) Из системы (2.4) нетрудно получить выражения: и , которые затем интегрируем:

и . (2.5)

В выражении (2.5) величины и – произвольные постоянные.

9) Используя (2.5), то есть выражения для функций и , записываем общее решение неоднородного уравнения:

. (2.6)

Из (2.6) следует, что общее решение неоднородного уравнения представляется в виде , где – общее решение однородного уравнения (2.1), а функция = – частное решение неоднородного уравнения.

Пример 2.3. Решить задачу Коши , , , применив метод вариации произвольных постоянных.

Решение: 1) Составляем характеристическое уравнение .

2) Характеристические корни уравнения: . ФСР: и . Составим общее решение однородного уравнения: = .

3) Составим систему: В нашем случае: Из этой системы получаем и .

4) Вычислим: = и = = . Составим частное решение неоднородного уравнения

= = .

5) Составим общее решение неоднородного уравнения .

6) Для заданных начальных условий получаем , .

Ответ: Общее решение: , частное решение: .

Задание 2.3. Решить задачу Коши, применяя метод вариации произвольных постоянных.

Вар.	Уравнение	Начальные условия
2.3.1	;	=1, = .
2.3.2.	;	.
2.3.3.	;	=1, = .
2.3.4.	;	.
2.3.5.	;	=1, = .
2.3.6.	;	.
2.3.7.	;	=1, = .
2.3.8.	;	.
2.3.9.	;	=1, = .
2.3.10.	;	.
2.3.11.	;	=1, = .
2.3.12.	;	.
2.3.13.	;	=1, = .
2.3.14.	;	.
2.3.15.	;	=1, = .
2.3.16.	;	.
2.3.17.	;	=1, = .
2.3.18.	;	.
2.3.19.	;	=1, = .
2.3.20.	;	.
2.3.21.	;	=1, = .
2.3.22.	;	.
2.3.23.	;	=1, = .
2.3.24.	;	.
2.3.25.	;	=1, = .
2.3.26.	;	.
2.3.27.	;	=1, = .
2.3.28.	;	.
2.3.29.	;	=1, = .
2.3.30.	;	.