1) ; 2) ; 3) ; 4)

где - действительные числа,. Кроме того, трехчленне имеет действительных корней, т.е.

Интегрирование (1) и (2) не представляет трудностей:

(4.3)

(4.4)

Для интегрирования дроби (3) применим метод замены переменной. Выделяя сначала из знаменателя полный квадрат

и прибегнув к подстановке

и обозначив

получаем

а сам интеграл

Возвращаясь обратно к переменной окончательно получаем:

(4.5)

Для случая (4) подстановка приводит

Первый интеграл вычисляется подстановкой ,:

(4.6)

Второй интеграл вычисляется с помощью рекуррентной формулы

(4.7)

где

Формула (4.7) позволяет вычислить искомый интеграл для любого натурального индекса .

Так как при

то по формуле (4.7) найдем

и т.д.

4. Интегрирование дробно-рациональных функций

Дробно-рациональной функцией (дробью) называется выражение вида

где и— многочлены степении, не имеющие общих корней, т.е.

(4.8)

Дробь (4.8) называется правильной если ; неправильной в противном случае. Каждую неправильную дробь можно привести к правильной путем исключения целой части, интегрирование которой не представляет сложностей.

В курсе высшей алгебры доказывается важная теорема, о том, что любая правильная дробь (4.8) может быть представлена в виде конечного числа правильных дробей.

Если — корни уравнения, а— их соответствующие кратности, так что

то дробь (4.8) представляется в виде

(4.9)

где числители отдельных дробей определяются из системы линейных уравнений после приведения к общему знаменателю и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях с (метод неопределенных коэффициентов).

Если — простые корни уравнения, т.е., то

Если некоторые корни уравнения мнимы, то, соединяя вместе элементарные дроби, соответствующие сопряженным корням, можно после некоторых преобразований соответствующие пары дробей представить в виде действительных дробей вида

.

и методом неопределенных коэффициентов найти неизвестные и

Таким образом, интегрирование правильной рациональной дроби приводится к интегралам вида

рассмотренных в предыдущем п.3.

5. Интегрирование некоторых выражений, содержащих радикалы

Интегралы вида

(4.10)

где — рациональные числа, приводятся к интегралам от рациональных функций подстановкой

(4.11)

где общий знаменатель дробей.

Интегралы вида

(4.12)

(интегралы от биномиальных дифференциалов), где — действительные числа, а— рациональные, выражаются в элементарных функциях только в следующих случаях:

а) когда — целое число; тогда этот интеграл имеет вид суммы интегралов (4.10);

б) когда — целое число; подстановкой; подстановкой этот интеграл преобразуется к виду (4.10)

(4.13)

в) когда — целое число; при помощи той же подстановки данный интеграл приводится к виду (4.10)

(4.14)

Рационализация подынтегрального выражения в интегралах вида

достигается с помощью, по крайней мере, одной из следующих трех подстановок, называемых подстановками Эйлера

а) при;

б) при;

в) при условии, что корнииуравнениядействительны.

6. Интегрирование тригонометрических выражений

Интегралы вида

(4.14)

могут быть всегда приведены к интегралам от рациональных функций при помощи подстановки

(4.15)

При этом функции подынтегрального выражения выражаются через новые переменные

; ;(4.16)

Если при этом подынтегральная функция удовлетворяет соотношению

(4.17)

то выгодно применить подстановку . Например, с помощью этой подстановки интеграл

(4.18)

где — нечетное число, а— четное, с соответствующей заменой

(4.19)

приводится к интегралу от рациональной функции.

Если эта функция удовлетворяет соотношению

(4.20)

то выгодно применить подстановку . Например, с помощью этой подстановки интеграл

(4.21)

где — четное число, а— нечетное, с соответствующей заменой

(4.22)

приводится к интегралу от рациональной функции.

Если эта функция удовлетворяет соотношению

(4.23)

то выгодно применить подстановку . Например, с помощью этой подстановки интеграл

(4.24)

где — четные числа, с соответствующей заменой

; ;(4.25)

приводится к интегралу от рациональной функции.

7. Интегрирование выражений, содержащих гиперболические функции

Интегралы вида

(4.26)

могут быть всегда приведены к интегралам от рациональных функций при помощи подстановки

(4.27)

При этом функции подынтегрального выражения выражаются через новые переменные

; ;(4.22)

Определенный интеграл

Теоремы общего характера

1. Для вычисления определенного интеграла основной является теорема Ньютона – Лейбница: если непрерывна наипервообразная дляна, то

(4.23)

2. Пусть — функция, интегрируемая на,,. Тогда, независимо от независимо от взаимного расположения точекона интегрируема и в двух других промежутках, и имеет место равенство

(4.24)

3. Имеют место формулы:

и (4.25)

4. Пусть и— функции, интегрируемые на. Тогда, произведениетакже интегрируемо на этом отрезке.

5. Если — функция, интегрируемая на, идля, то.

6. Если и— функции, интегрируемые на, идля, то.

7. Теорема о среднем значении. Пусть интегрируема и ограничена наи,— соответственно, верхняя и нижняя гранина. Тогда, существует такое число, что: