7.Метод Крамера.

Метод Крамера применяется при решении систем, в которых число уравнений и количество неизвестных совпадают:

Составим главный определитель системы и вычислим его.

Составим и вычислим вспомогательные определители ,где i =1,2,…,n, путем замены i-го столбца столбцом свободных членов.

Решение системы линейных уравнений находится по формулам Крамера:

x_i= где i=1,2,…,n,

8.Матричный метод.

Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными:

Введем матрицы:

1.Основная матрица системы

2.Вектор-столбец неизвестных

3.Вектор-столбец свободных членов

Запишем систему в матричном виде АХ=В.

Решение матричного уравнение имеет вид: Х=А^-1×В, если

9.Метод Гаусса.

Целью метода Гаусса является приведение матрицы системы к треугольному виду, используя элементарные преобразования:

1.Умножение некоторого уравнения на число, не равное нулю.

2.Прибавление к одному уравнению системы другого ее уравнения, умноженного на произвольное число.

3.Перестановка местами двух уравнений системы.

Суть метода состоит в следующем.

Пусть дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Запишем расширенную матрицу системы

Пусть а₁₁ ≠ 0, в противном случае всегда можно принять за первое уравнение то, в котором коэффициент при х_i отличен от нуля и перенумеровать неизвестные.

1.Исключим элементы a_i1 , i=2,…m, умножением первой строки на выражение ( - a_i1/ a₁₁), i=2,…m и прибавлением ее к последующим строкам. Здесь возможны случаи

а) получилась строка расширенной матрицы С⁽¹⁾ , у которой все элементы a_ij⁽¹⁾, i=2,…m, j=2,…n равны нулю, а хотя бы один соответствующий элемент b_i⁽¹⁾≠0. Тогда исходная система несовместима.

б) только первая строка матрицы С⁽¹⁾ ненулевая. Тогда исходная система состоит из одного уравнения. Если в этом уравнении все коэффициенты, за исключением a₁₁ равны нулю, то исходная система имеет единственное решение. В противном случае система неопределённая.

в) среди коэффициентов a_i1⁽¹⁾ существует хотя бы один отличный от нуля. Тогда следует перейти к очередному шагу.

2. Пусть a₂₂⁽¹⁾ ≠0 . В матрице С⁽¹⁾ исключим элемент a_i2, i=3,…m. Получим матрицу вида

_{Здесь возможны случаи а, б, в. Если имеет место третий случай, то следует перейти к следующему шагу и т.д.}

_{Необходимо привести матрицу к виду:}

_{Из этой матрицы легко найдём единственное решение, осущесвляя «обратный ход».}

_{Из последнего уравнения имеем:}

Подставляем значение х_n в предыдущее уравнение и находим х_n-1 и т.д.

Примеры решения задач.

Задача 1. Найдите сумму матриц:

и

Решение:

Задача 2. Найдите произведение матриц:

а)

б)

Решение:

а)=

б)

Задача 3. Вычислить определитель второго порядка

Решение:

Задача 4. Вычислить определитель третьего порядка

Решение:

Задача 5. Найдите обратную матрицу для матрицы

Решение:

1.Вычислим определитель матрицы

т.е. матрица невырожденная и ,следовательно, для нее существует единственная обратная матрица.

2.Найдем алгебраические дополнения для элементов матрицы:

Составим промежуточную матрицу, заменяя элементы матрицы А на соответствующие им алгебраические дополнения:

3.Протранспонируем ее:

4.Найдем обратную матрицу, умножив А* на число, равное

5.Проверкой убедимся, что вычисления выполнены верно:

Задача 6. Решите матричное уравнение и сделайте проверку решения, если

Решение:

1.Вычислим

2.

3.Найдем М^-1

а)

б)

в)

г)

д) Проверка

4.Найдем N^-1

а)

б)

Промежуточная матрица

в)

г)

д) Проверка

5.

Проверка правильности решения матричного уравнения

Проверим правильность этого равенства

1. 

2. 

3. Получим , равенство верно.

Ответ:

Задача 7. Решите систему уравнений по правилу Крамера

Решение:

Проверка:

Ответ: (4;-1;-1)

Задача 7. Решите систему уравнений

матричным методом (методом обратной матрицы).

Решение:

1.Запишем систему в виде матричного уравнения

;

2.Найдем матрицу, обратную матрице ;

а)

б)

Промежуточная матрица имеет вид

в) Транспонируем ее и получаем

г)

3.

Проверка:

Ответ: (1;2;3)

Задача 9. Решите методом Гаусса систему линейных уравнений и сделайте проверку решения

Решение:

Составим расширенную матрицу и выполним преобразования:

Имеем соответствующую нашей матрице систему линейных уравнений:

x+ y -z -t=-2,

-5y+7z+t=6,

z+3t=-2,

-35t=35

1) -35t=35; t=-1

2) z-3=-2; z=1

3) -5y+7-1=6; y=0

4) x-1+1=-2; x=-2

Проверка:

Система решена верно.

Ответ: (-2; 0; 1; -1)