Глава 13. Неявные функции

во всей полосе | | 6 1, а только в окрестности некоторой точки ( 0, 0) окружности (13.1.1). Пусть для определ¨еннсти эта точка лежит на верхней полуокружности.

Если | 0| < 1, то в достаточно малой окрестности точки ( 0, 0) уравнение (13.1.1) зада¨ет функцию формулой (13.1.2). Графиком этой функции является часть окружности, содержащаяся в рассматриваемой окрестности.

А если в качестве ( 0, 0) взять точку (1, 0), то ни в какой окрестности этой точки уравнение (13.1.1) не зада¨ет однозначную непрерывную функцию.

Заметим, что частная производная по функции из левой части уравнения (13.1.1)

∂∂ ( 2 + 2 − 1) = 2

в точках ( 0, 0) при | 0| < 1 не равна нулю, а в точке (1, 0) эта производная обращается в нуль.

Отмеченные свойства функции (13.1.2), определяемой уравнением (13.1.1), характерны при неявном задании функций и в общем случае.

Будем рассматривать вопрос об как функции переменных1, . . . , , заданной неявно уравнением

Множество точек ( 1, . . . , , ) пространства E +1, координаты которых удовлетворяют уравнению (13.1.3), обозначим .

168 Гл. 13. Неявные функции

Выясним, при каких условиях в некоторой окрестности точки

( 0, . . . , 0 , 0) множества существует непрерывная функция

1

= ( 1, . . . , ), графиком которой являются все точки , содержащиеся в этой окрестности. Иначе говоря, в некоторой -

( 1, . . . , , ( 1, . . . , )) = 0.

каждой точки ( *, . . . , * ) проекции шара на плоскость = 0

1

функция ( *, . . . , * , ) переменной строго возрастает.

1

Тогда для каждого положительного числа существуют такие положительные числа 0 и , что 0 < и решением уравнения (13.1.3) относительно в ( + 1)-мерном прямоугольнике

+1 := {( 1, . . . , , ) : | − 0| 6 , = 1, . . . , ; | − 0| < 0}

является функция = ( 1, . . . , ), непрерывная в -мерном кубе

рывна, существует такое положительное число , что для всех

точек ( 1, . . . , , 0 + 0), принадлежащих пересечению гиперплоскости = 0 + 0 пространства E +1 с , первые коорди-

нат которых удовлетворяют условиям | − 0| < , = 1, . . . , ,

выполняется неравенство

( 1, . . . , , 0 + 0) > 0

идля всех точек ( 1, . . . , , 0 − 0), принадлежащих пересече-

нию гиперплоскости = 0 − 0 с , при тех же условиях на ,= 1, . . . , , выполняется неравенство

( 1, . . . , , 0 − 0) < 0.

Таким образом получен ( +1)-мерный прямоугольник +1, лежащий в окрестности . Покажем, что в этом прямоугольнике выполняются утверждения теоремы.

це этого отрезка она отрицательна, а в верхнем положительна. Значит, существует единственное значение переменной , при ко-

тором функция ( *, . . . , * , ) равна нулю.

1

Итак, в кубе определена функция ( 1, . . . , ), для которой выполняется равенство (13.1.4). Докажем непрерывность

прямоугольника +1. Поэтому функция ( 1, . . . , ) непрерывна во всех точках куба .

Теорема доказана.

Понятно, что в этой теореме строгое возрастание функции

( *, . . . , * , ) можно заменить на строгое убывание.

1

Покажем, что функция ( 1, . . . , ) из теоремы 13.1.1 при некоторых дополнительных условиях имеет частные производные.

Теорема 13.1.2. Пусть функция ( 1, . . . , , ) удовлетворяет условиям теоремы 13.1.1. Если частные производные пои по некоторой переменной непрерывны на множестве и

∂ ( 0, . . . , 0 , 0) ̸= 0, ∂ 1

то функция ( 1, . . . , ), являющаяся решением уравнения (13.1.3), в достаточно малой окрестности каждой точки xимеет непрерывную частную производную ∂ /∂ , для которой справедливо равенство

( 1, . . . , , ) функцией только переменных и , так как все остальные аргументы в проводимых рассуждениях будут оставаться фиксированными. Тогда функция зависит только от .

Вслучае, когда является функцией только переменных

и, куб представляет собой отрезок.

Будем придавать переменной приращения , при которых точки + принадлежали .

Если := ( ) и := ( + ) − ( ), то согласно определению функции имеем

( , ) = 0

и

( + , + ) = 0.

Значит,

( + , + ) − ( , ) = 0.

Применив к этой разности формулу конечных приращений для функций многих переменных (12.6.3), находим, что при некотором 0 < < 1

( + , + ) − ( , ) =

∂

=∂ ( + , + ) +

Но → 0 при → 0 в силу непрерывности функции ( ). Так как частная производная функции по в рассматриваемой окрестности отлична от нуля и непрерывна, то из равенства

(13.1.6) следует, что

(13.1.7) прич¨ем в правой части (13.1.7) можно перейти к пределу при→ 0 отдельно в числителе и в знаменателе.

Таким образом,

Это показывает существование производной ∂ /∂ , е¨ непрерывность и справедливость равенства (13.1.5).

Теорема доказана.

Формула (13.1.5) позволяет указать условия на функцию , достаточные для существования частных производных функциивторого и более высокого порядка.

Так, согласно теореме 12.3.1 о производных сложной функции из (13.1.5) следует, что функция (x) имеет непрерывную чистую частную производную второго порядка по переменной , если непрерывны частные производные

А если функция имеет непрерывные частные производные второго порядка

при ̸= , то имеет непрерывную смешанную частную производную

∂2

∂ ∂

.

Проиллюстрируем применение полученных результатов на задаче об обратной функции одной переменной.

Рассмотрим функцию = ( ). Если значения независимой переменной обратной функции обозначать , а значения зависимой переменной , то нужно решить относительно уравнение

= ( ).

Запишем это уравнение в виде

Согласно теоремам 13.1.1 и 13.1.2, если функция ( ) и е¨ производная / непрерывны в некоторой окрестности точки 0,0 := ( 0) и ′( 0) ̸= 0, то существует окрестность точки ( 0, 0), в которой уравнение (13.1.8) можно разрешить относительно , т.е. это уравнение равносильно равенству = ( ), где ( ) – непрерывная функция.

Так как функция из левой части уравнения (13.1.8) имеет непрерывную производную по , то функция ( ) имеет непрерывную производную и согласно (13.1.5)