Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Веленкин;Комбинаторика

.pdf
Скачиваний:
18
Добавлен:
05.06.2015
Размер:
9 Mб
Скачать

 

ÌÒÆcÒÔ

 

 

( N + ) ( N + ) N( N + ) f q} wvuv••í uv tv wvsy·qz• sí ivp knx vz lv

N + >( N + ) + ( N + ) + ( N + ) + + N( N + )@ = N+ ( N + )

Æ ·jxztvxzq ls¹ |nwq k m tjlv éjxrvkjz• lkj okntj q wvsy·qz• ryxrq knxvu m

Ænx rj lvp ry·rq iylnz

Q(Q + )

wvëzvuy

lvs tv

i€z•

 

 

 

 

 

Q = N qsq Q = N djun·jnu ·zv nxsq uv

tv éjosv qz• Q mqé•

zv uv tv q Q + mqéq k ry·rq

lvijks¹ízx¹ zjr

(Q + ) + (Q + )

(Q + ) + (Q + ) (Q + ) + (Q + )

q ·zv wéq

Q =

tns•o¹ j

wéq

Q = ² uv tv dtj·qz N

Q

[=

 

 

 

 

Q Q (P [)

 

 

 

Q

 

 

 

 

PQ+

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

& +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

΀ qunnu

 

=

 

 

Q =

 

 

P

 

=

 

P

 

q

P (Q − [)

 

 

 

&Q

 

P − Q +

 

 

 

 

[=

 

&Q

[=

&P[

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

&Q[&QU

 

Q &U

Q ([ + U) ( Q [ U)

 

 

(Q )

Q

 

 

Q

 

 

 

 

 

 

 

=

Q

 

 

 

 

=

 

 

 

 

U

 

U

 

=

 

 

[+U

( Q)

 

[ (Q [)

 

 

 

( Q)

 

 

 

 

 

 

[=

 

 

 

 

 

[=

&[+U& Q[U

 

 

 

& Q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

(Q)

 

 

Q+

= Q +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( Q) & Q+

 

 

Q +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fyuuj xsnkj xkvlqzx¹ r

 

N

 

 

 

= &P

 

Òvuy

 

n otj·n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N=

&P+N

 

 

P+Q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tqí éjktj xyuuj xzv¹•j¹ xwéjkj

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Êunnu

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q

[

 

 

 

(Q )

 

Q [( Q [ − )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

&Q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

Q

Q−

 

 

 

 

 

 

 

 

[

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[= & Q

 

( Q ) [=

(Q [)

 

 

 

( Q − )& Q

 

 

[=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q

 

 

 

 

 

 

 

 

Q

 

 

 

 

 

 

Q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q

=

 

 

Q& Q

 

 

 

& Q

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q

[=

& Q[

(

Q

&Q−

 

 

 

 

 

Q−

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

& Q

 

 

 

 

− )

 

Q

 

 

& Q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Êunnu

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q

[

 

 

(Q ) Q [(Q + T [)

 

(Q + T + )(Q − ) T

 

Q

 

 

 

 

 

 

 

 

&Q

 

 

 

 

 

 

Q

 

 

 

 

 

[

 

=

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(Q + T) [=

(Q − [)

 

 

 

 

 

(Q + T)

 

 

 

 

 

 

 

&Q+T−[

 

 

 

[= &Q+T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(Q − ) (T +

)

 

Q

 

 

 

(Q + T + )(Q − ) T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q[

=

Q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(Q + T)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[=

&Q+T[+

 

 

 

 

(Q + T)

 

 

 

 

&Q+T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-sjkj 9,,,

 

(Q − ) (T + )

Q

 

= Q

+ T + Q

+ T +

=

Q + T +

 

 

 

 

 

T +

 

 

 

(Q + T)

 

 

&Q+T+

 

T +

 

 

(T + )(T + )

 

 

 

Q

[

 

(Q − )

 

Q [([ − )(Q + T [)

 

 

 

 

 

 

&Q−

 

 

 

 

 

 

 

Êunnu

 

 

=

 

 

 

 

 

bjsnn qxwvs•

[

 

(Q + T)

(Q [)

 

 

 

[= &Q+T

 

[=

 

 

 

 

 

oy¹ zv

lnxzkv

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[([ − ) =

= (Q + T [ + )(Q + T [ + ) + (Q + T + )>Q + T − (Q + T [ + )@ wvsy·jnu ·zv wvxsnlt¹¹ xyuuj éjktj

 

Q

 

 

 

 

 

 

 

Q

 

 

 

 

 

(T + )

Q[

 

(Q + T + )(T +

)

 

Q[

 

+

 

 

[=

&Q+T[+

 

 

 

 

 

[=

&Q+T[+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q

 

 

 

 

 

 

 

 

+ (Q + T)(Q + T + )T

Q[

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

&Q+T[

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[=

 

 

 

= T (T + )(T + )&Q

− (Q + T + )(T + )&Q

+(Q + T)(Q + T + )&Q

 

 

 

 

Q+T+

 

 

 

 

 

 

Q+T+

 

 

Q+T

 

 

 

 

 

Q

 

 

 

Q

 

Qq wénviéjoy¹ wvsy·jnu

Ívlxzjks¹¹ otj·ntq¹ &Q+T+ &Q+T+ &Q+T

 

 

 

zéniynuyí {véuysy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N=

N

&N Òjr rjr

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

΀ otjnu ·zv &Q

Q

Q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( + [)Q = + & [ + & [ +

+ &Q[Q

 

 

 

 

 

 

 

Q

 

Q

 

 

Q

 

zv vzxílj xsnlynz ·zv

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q( + [)Q= & + & [ + & [ + +

Q&Q[Q

 

 

 

 

 

 

Q

Q

 

Q

 

 

 

Q

 

·qzjzns• otjrvu€p x lq{{nént|qjs•t€u qx·qxsntqnu uv nz wvsy ·qz• ëzy {véuysy ko¹k wévqokvltyí vinq} ·jxznp éjkntxzkj

Ínénutv qu éjosv ntq¹ q ΀ wvsy·qu ·zv

Q( + [) Q=

= ( + & [ + & [ + + &Q[Q)(& + & [ + & [ + + Q&Q[Q)

Q Q Q Q Q Q Q

féjktqk rvë{{q|qntz€ wéq [Qk vinq} ·jxz¹} éjkntxzkj wéq }vlqu r lvrjo€kjnuvuy xvvztv¡ntqí

èjxxuvzéqu éjkntxzkv

 

− + L

Q

=

π

+ L VLQ

π Q

= FRV Q

π

π

 

 

 

FRV

 

 

+ L VLQ Q

 

 

 

 

 

 

 

 

ÌÒÆcÒÔ

Ív {véuysn iqtvuj Ë•ízvtj qunnu

(− )Q

 

+ & (−L√ ) + & (−L√ ) + & (−L√ ) +

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q

 

Q

 

Q

 

Q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

(− )Q

 

 

 

& + &

 

 

 

 

 

 

 

− & + & − − L

 

 

 

 

 

 

Q

 

Q

Q

&Q

Q

Q

 

Íéqéjktqkj¹ lnpxzkqzns•t€n q utqu€n ·jxzq k vinq} ·jxz¹} wvxsnl tnmv éjkntxzkj wvsy·jnu lvrjo€kjnu€n xvvztv¡ntq¹

èjxxuvzéqu zv

lnxzkv

 

 

 

 

( + [)Q = & + & [ + & [ + & [ + + &Q[Q

 

 

 

Q

Q

Q

Q

Q

q wvsv

qu k

tnu

wvxsnlvkjzns•tv

[ =

[ = ε [ = ε mln

ε = FRV π

+ L VLQ π

q wvzvuy + ε + ε = Ívsy·jnu

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q = & + & + & + & + + &Q

 

 

 

Q

Q

Q

Q

Q

 

 

( +

ε)Q = & + & ε + & ε +

& ε + + &QεQ

 

 

Q

Q

Q

 

Q

Q

 

( + ε )Q = & + & ε + & ε + & ε + + &Qε Q

 

 

Q

Q

Q

 

Q

Q

 

Ëv + εN + ε N = nxsq N tn lnsqzx¹ tj q + εN + ε N = nxsq N lnsqzx¹ tj fsnlvkjzns•tv

Q + ( + ε)Q + ( + ε )Q = (& + & + & + )

 

 

 

 

 

 

Q

 

Q

Q

 

Òjr rjr

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

π

 

π

 

π

 

+ ε = − ε = − FRV

 

 

+ L VLQ

 

= FRV

 

+ L VLQ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ ε = − ε = FRV π

L VLQ π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

zv Q + ( + ε)Q + ( + ε )Q =

Q + FRV Qπ Ìzxílj q xsnlynz wnékvn éj

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

kntxzkv bkj léymqn éjkntxzkj wvsy·jízx¹ jtjsvmq·tv wéq éjxxuvzén

tqq xyuu Q + ε( + ε)Q + ε ( + ε )Q q Q + ε ( + ε)Q + ε( + ε )Q

Ívxsnltnn éjkntxzkv k€kvlqzx¹ jtjsvmq·t€u viéjovu qo éjxxuvz

éntq¹ k€éj ntq¹ ( + L)Q

 

 

 

 

 

 

 

΀ qunnu

 

 

 

 

 

 

( + [)S = + & [ + & [ + + &P[P + + &S[S

S

S

 

S

 

S

 

( + [)N= − &

 

+ & − + (− )V&V

V +

N+ [

 

N+ [

 

N+V[

 

( + [)S−N= + &

 

+ + &Q

 

Q + + [SN

SN[

SN[

 

 

Ínénutv qu wnék€n lkj éjosv

ntq¹ q tjplnu rvë{{q|qntz wéq

[Q Ìt éjknt (− )QV

Q−V

&V = (− )V&V Q−V Ìzxílj xéjoy k€znrjnz

 

&N+Q−V

S

N+V&S

 

V

 

 

V

 

 

 

lvrjo€kjnuvn zv lnxzkv

fsnlyí•qn zv lnxzkj lvrjo€kjízx¹ jtjsvmq·tv

bvrjo€kjnzx¹ x wvuv••í qtlyr|qq wv Q

-sjkj ,;

 

 

 

-sjkj ,;

Ìztv¡ntqn xvxnlxzkj xv}éjt¹nzx¹ wéq |qrsq·nxrq} wnénxzjtvk rj} q wéq xquunzéq·tvu vzéj ntqq Æ xsy·jn ·nsvknr u€ qunnu= wénviéjovkjtqp xv}éjt¹í•q} vztv¡ntqn xvxnlxzkj Òjr rjr

vi•nn ·qxsv wnénxzjtvkvr ·nsvknr éjktv = zv qunnu

= éjosq·t€} xwvxvij éjxxjlrq

cxsq oj xzvsvu xql¹z ·nsvknr zv qunnu = xwvxvivk kvvi•n k xsy·jn Q ·nsvknr (Q − ) xwvxvivk ïqxsv xwvxvivk wéq rvzvé€} ljtt€} ·nsvknrj xql¹z é¹lvu klkvn ivs•¡n ·qxsj xwvxvivk

wvxjlqz• ·nsvknr k xqsy kvouv

tvxzq wvunt¹z• ëzq} sílnp unxzj

uq dtj·qz vtv éjktv =

Òv·tv zjr n ·qxsv xwvxvivk wéq

rvzvé€} ljtt€p ·nsvknr qunnz ljtt€} lky} xvxnlnp éjktv =

èjoiqkjnu kxn wnénxzjtvkrq iyrk xsvkj ©ìwqznéª tj rsjxx€ zjr ·zv wnénxzjtvkrq vltvmv q zvmv n rsjxxj vzsq·jízx¹ léym vz léymj zvs•rv wvé¹lrvu msjxt€} ïqxsv rsjxxvk éjktv 3 3 =

Éq¡• vltj wnénxzjtvkrj qo rj lvmv rsjxxj ylvksnzkvé¹nz wvxzjksnt tvuy yxsvkqí Ívëzvuy q} ·qxsv zv n éjktv

Ívs¹ éjoiqkjízx¹ tj vlty méywwy qo ymsvk€} wvsnp q méyww wv tnymsvk€} wvs¹ Æ ojkqxquvxzq vz zvmv ojt¹z€ qsq tnz

ymsvk€n wvs¹ wvsy·jnu & qsq & xwvxvivk q vi•qp vzknz k kqln

& + & xwvxvivk

j Òjr rjr v néns•¹ vxzjízx¹ tnqountt€uq wéq |qrsq·nxrq} wnénxzjtvkrj} iyxqtvr q wéq qountntqq wvé¹lrj xsnlvkjtq¹ iyxqtvr tj viéjzt€p zv uv tv xvxzjkqz• = kqlvk v nénsqp

i Æql€ v nénsqp vzsq·jízx¹ léym vz léymj ·qxsvu ujsnt•rq} iyxqtvr qsq ojrsí·ntt€} un ly lkyu¹ ivs•¡quq Ívëzvuy qunnu zéq kqlj v nénsqp

èjovi•nu wvménuy¡rq tj rsjxx€ vztnx¹ r P uy rsjxxy wvmén uy¡rq ls¹ rvzvé€} tjqunt•¡nn ·qxsv xqtq} ¡jéqrvk un ly lkyu¹ réjxt€uq éjktv P Íéq P = qunnu kqlj wvménuy¡nr zénzqp réjx

t€p ¡jéqr wéqu€rjnz r lkyu léymqu qsq vzlnsnt vz tq} vltqu lkyu¹ qsq zénu¹ xqtquq ¡jéqrjuq Íéq P = qunnu lkj réjxt€}

¡jéqrj éjolnsntt€} xqtqu Òénzqp réjxt€p ¡jéqr uv nz vzlns¹z• x¹ vz isq jp¡nmv réjxtvmv vltqu lkyu¹ qsq zénu¹ xqtquq ¡jéqrj uq Ívëzvuy wéq P = nxz• kqlj wvménuy¡nr Íéq P = qunnu

zvs•rv vlqt kql wvménuy¡nr Æxnmv ² kqlvk

Çjutq uv tv wnénxzjks¹z• 3( ) = xwvxvijuq Ëv iéjx

snz wéq wvkvévzj} rj l€p éjo ljnz tvkyí wnénxzjtvkry xjw{qé wnénno jnz tj tvkvn unxzv Íéq xquunzéqq tnxquunzéq·t€n iéjxsnz€ zv n iylyz ljkjz• tvkyí wnénxzjtvkry ² qzvmv wnénxzjtvkvr xk¹ ojtt€} x tnxquunzéq·t€u iéjxsnzvu Çj l€p xquunzéq·t€p iéjxsnzq} zvs•rv lkj q q q é x é q q é q x q é xk¹ojt x wnénxzjtvkrjuq Êzvmv wvsy·jnu xquunzéq·t€} iéjxsnzj q tnxquunzéq·t€}

Çjutq uv tv wnénxzjks¹z• 3( ) xwvxvijuq Èéjxsnz rj

l€p éjo ljnz tvkyí wnénxzjtvkry wéq wvkvévzj} wvxrvs•ry ² ·qxsv wévxzvn q wéq xquunzéq¹} xquunzéq·t€p iéjxsnz qo ëzq} + +

rjutnp tn xlnsjn¡• Ívsy·jnu 3( ) xwvxvivk

 

ÌÒÆcÒÔ

 

 

Ëj rvs•|n rjutq éjxwvsv nt€ é¹lvu rvs•|v uv tv wnénknétyz• tv tn kéj•jz• cxsq k€iéjt€ rjutq vltvmv kqlj xwvxvijuq zv

wv éjxwvsv ntqí nxsq k€iéjt€ kqlj rjutnp $ = xwvxvijuq

zv wv éjxwvsv ntq¹ vlqtv·t€p rjunt• k |ntzén qsq x réjí nxsq kxn zéq rjut¹ éjosq·t€ xwvxvi zv wv éjxwvsv ntq¹ ëzv k€ivé |ntzéjs•tvmv rjut¹ Æxnmv xwvxvivk

bs¹ iév¡rq = xwvxvivk tj rj lvn unxzv vlqt qo zqwvk

rjutnp

j ïqxsv xwvxvivk éjxréjxrq éjktv

i Êunnu xwvxvivk éjxréjxrq

k bs¹ lvlnrjëléj j ls¹ qrvxjëléj xwvxvivk éjx réjxrq

èjxrsjxxq{q|qéynu xwvxvi€ éjxréjxrq wv ·qxsy ins€} méjtnp fy•nxzkynz nlqtxzkntt€p xwvxvi éjxréjxrq tn xvlné j•qp tq vltvp insvp méjtq q vlqt xwvxvi xvlné j•qp vlty insyí méjt• Æ xsy·jn lky} ins€} méjtnp nxz• lkj xwvxvij éjxréjxrq ² ins€n méjtq sqiv quníz vi•nn éniév sqiv wévzqkvwvsv t€ Íéq zén} ins€} méjt¹} xtvkj qunnu lkj xwvxvij sqiv nxz• lkn wévzqkvwvsv t€n ins€n méjtq sqiv kxn ins€n méjtq wéqu€rjíz r vltvuy q zvuy n ymsy fsy·jq

q ins€} méjtnp xkvl¹zx¹ r éjxxuvzéntt€u k€¡n wyznu ojunt€ |knzvk tj wévzqkvwvsv t€n Æxnmv wvsy·jnu xwvxvivk éjxréjxrq

cxz• xwvxvi éjxréjxrq ino ins€} kné¡qt xwvxvi x vltvp insvp kné¡qtvp ² x lkyu¹ ins€uq kné¡qtjuq ins€n kné¡qt€ sn jz tj vltvu énién tj vltvp lqjmvtjsq méjtq qsq tj vltvp lqjmvtjsq ryij xwvxvij x zénu¹ ins€uq kné¡qtjuq zéq kné¡qt€ sn jz tj vltvp méjtq lkn sn jz tj vltvu énién j zénz•¹ ² tj vltvp lqjmvtjsq méjtq x rjrvp zv qo ëzq} lky} kné¡qt zéq kné¡qt€ wv wjétv sn jz tj vltvp lqjmvtjsq méjtq xu éqx f ·nz€é•u¹ in s€uq kné¡qtjuq nxz• xwvxvivk éjxréjxrq éjoviéjtt€n k w

fsy·jq q ins€} kné¡qt xkvl¹zx¹ r éjoviéjtt€u k€¡n ojuntvp |knzvk tj wévzqkvwvsv t€n

Æxnmv qunnu + + + + + + + + = xwvxvij

Çyi qunnz éjoknézvr éqx ‘nxz• wnék€} én¡ntqp ljíz zn éjoknézrq k rvzvé€} ·nz€én méjtq ryij éjxwvsv nt€ k vltvp wvsvxn éjoknézrq Ívxsnlyí•qn ·nz€én éjoknézrq ² ëzv zn y rvzvé€} nxz• zéq méjtq k vltvp wvsvxn tv tnz ·nz€én} méjtnp Ê tjrvtn| k wvxsnltnu én¡ntqq tq k vltvp wvsvxn tnz zén} méjtnp

cxz• sq¡• xwvxvij zjrvp vréjxrq Ívlévitvn lvrjojzns•xzkv ëzvmv yzkné lntq¹ uv tv tjpzq k rtqmn - ‘znptmjyoj ©fzv ojlj·ª Ðqoujzsqz ojlj·j ð

Òjr rjr S ² wévxzvn ·qxsv zv wéq wvkvévzj} vréy tvxzq k xni¹ wnén}vl¹z sq¡• vréy tvxzq |nsqrvu vréj¡ntt€n k vlqt |knz ïqxsv zjrq} vréjxvr éjktv Q Ìxzjs•t€n xwvxvi€ éjxréjxrq q} ·qxsv

èqx

lkj ( = + ) q z l

-sjkj ;

 

 

 

èqx

éjktv QS Q éjxwjljízx¹ tj rsjxx€ wv S éjxréjxvr k rj lvu rsjxxn wéq·nu éjxréjxrq vltvmv rsjxxj wnén}vl¹z léym k léymj wéq kéj•ntqq

vréy tvxzq Ívëzvuy vtq ljíz QS Q xwvxvivk éjxréjxrq Æxnmv qun

 

 

 

S

 

nu

QS Q

+ Q xwvxvivk Ív

}vly én¡ntq¹

ojlj·q u€ lvrjojsq zjr

 

 

S

 

 

tjo€kjnuyí ujsyí znvénuy Ðnéuj nxsq S

² wévxzvn ·qxsv zv ls¹

síivmv |nsvmv Q ·qxsv QS Q lnsqzx¹ tj S

 

 

j Ìi}vl wv ·nét€u wvs¹u }vlvu sjl•q ojljnz tj lvxrn |qrs€

qo

tnrvzvévmv ·qxsj wjé

tvunévk knézqrjs• mvéqovtzjs• gqrsvk

uv

nz i€z• tnxrvs•rv rj

l€p tn untnn ·nu qo lky} wjé dtj·qz

tjlv éjoiqz• tj tnxrvs•rv xsjmjnu€} rj

lvn tn unt•¡n

i Ívxrvs•ry u€ inénu Q zv·nr wnénxn·ntq¹ rj lj¹ qo rvzvé€} sn qz tj lky} wé¹u€} tv tqrjrqn zéq tn sn jz tj vltvp wé¹uvp zv tj rj lvp wé¹uvp sn jz évktv lkn zv·rq qo k€iéjttvp méyww€ fvnlqtqu ëzq zv·rq vzénorvu Çj lj¹ zv·rj qo k€iéjttvp méyww€ sn qz tj lky} wé¹u€} wvëzvuy vtj iylnz xvnlqtntj x lkyu¹ éjot€uq zv·rjuq wvsy·qzx¹ tnxrvs•rv utvmvymvs•tqrvk y rj lvmv tn untnnkné¡qt djtyunéynu ljtt€n wé¹u€n q znu xju€u vzénorq Çj lvuy utvmvymvs•tqry xvvzknzxzkynz |qrs vi}vl nmv xzvévt k síivu qo tjwéjksntqp xyuuj lsqt kxn} |qrsvk éjktj Q bs¹ Q =

|qrs zvs•rv vlqt ·qxsv méyww 3Q = (Q − ) ls¹ Q = |qrs vlqt qsqQ

èjxxzjk•zn |q{é€ k ·qxsn wv kvoéjxzjtqí wvsy·qzx¹ ojlj·j v wvrywrn Q wqév t€} xvézvk

Êtj·n ¡j¡nr iylnz ·nztvn ·qxsv

-sjkj ;

Òjr rjr ² tjqunt•¡nn qo ojljtt€} ·qxns zv vtv lvs tv xzv¹z• k ymsy wéq·nu wéq Q é¹lvu x tqu k vltvp knézqrjsq qsq

mvéqovtzjsq lvs tv xzv¹z• Òvmlj ·qxsj Q wvwjlyz k vlty q zy n knézqrjs• qsq mvéqovtzjs• Ëjqivs•¡qu qo ojljtt€} ·qxns

¹ks¹nzx¹ Q vtv zv n lvs tv xzv¹z• k ymsy wéq·nu wéq Q é¹lvu x tqu lvs tv xzv¹z• Q j ljsnn wvplyz Q Q Q + Ònu

xju€u yms€ kxn ojt¹z€ Ëjqunt•¡qu qo vxzjk¡q}x¹ ·qxns ¹ks¹nzx¹ Q + Ìtv lvs tv ojt¹z• unxzv é¹lvu x Íévlvs j¹ ëzv éjxxy ln

tqn yin ljnux¹ ·zv ·qxsj éjxwvsjmjízx¹ vltvotj·tv vwénlnsntt€u

 

ÌÒÆcÒÔ

viéjovu Ëv u€ uv nu wvxzjkqz• ktj·jsn k síivp qo ymsvk lvxrq q k€iéjz• sqiv knézqrjs•tvn sqiv mvéqovtzjs•tvn tjwéjksntqn ls¹ wvxsnlvkjzns•tvxzq Q Ívëzvuy qunnu éjxwvsv ntqp

Îjrxqujs•tvn ·qxsv ¡jéqrvk xénlq rvzvé€} tnz vlqtj rvk€} éjktv ins€} ·nét€} nsz€} q wv réjxt€} onsnt€} q xqtq} Ëjlv iéjz• ¡jéqrvk

Æ wévzqktvu xsy·jn tjxnsntqn Îvxrk€ tn wénkvx}vlqsv i€ ·qxsv =

& > = bs¹ wévknévr uv tv wvxzévqz• jsmvéqzu

>

Èylnu vivotj·jz• otjrvuxzkv ·nézv·rvp $²% Íyxz• Q >

Ëjplnzx¹ $²%²& cxsq $ q & tn otjrvu€ zv xénlq vxzjs•t€}Q ·nsvknr wv Q otjrvu€} $ q & otj·qz }vz• vlqt vi•qp

cxsq $²& zv xénlq vxzjs•t€} Q ·nsvknr wv Q otjrvu€} $ % q & otj·qz }vz• vlqt vi•qp rjrq} zv lkvq} fsy·jq Q = q Q = éjoiqéjízx¹ vzlns•tv

Íyxz• rzv zv qo xviéjk¡q}x¹ ² tjovknu nmv ; ² qunnz P otjrvu€} D DP Ív yxsvkqí tqrjrqn lkj ·nsvknrj qo ·qxsj D

DP léym x léymvu tn otjrvu€ wvxrvs•ry vtq otjrvu€ x ; Ívë zvuy ls¹ síi€} lky} ·nsvknr DL DM lvs nt tjpzqx• n•n vlqt vi•qp

otjrvu€p révun ; êzvz ·nsvknr tn uv nz i€z• otjrvu x ; j éjot€u wjéju xvvzknzxzkyíz éjot€n sílq nxsq i€ rzv tqiyl• i€s vi•qu otjrvu€u ls¹ lky} éjosq·t€} wjé (DL DM) q (DN DO) zv vt quns i€ x ; wv réjptnp unén zén} vi•q} otjrvu€} Òjrqu viéjovu ·qxsv kxn} sílnp tn otjrvu€} x ; tn unt•¡n ·nu ·qxsv kxn} wjé sílnp qo

·qxsj D DP z n tn unt•¡n ·nu &P

f léymvp xzvévt€ rj l€p ·nsvknr tn otjrvu€p x ; qunnz x tqu évktv lky} vi•q} otjrvu€} éjoyunnzx¹ qo ·qxsj D DP

Íéq ëzvu éjot€u síl¹u xvvzknzxzkyíz éjot€n wjé€ nxsq i€ vltj wjéj (DL DM) xvvzknzxzkvkjsj lkyu éjot€u síl¹u zv DL q DM qunsq i€

ivs•¡n lky} vi•q} otjrvu€} wvxrvs•ry vtq otjrvu€ q x ; Ìzxílj k€znrjnz ·zv ·qxsv sílnp tn otjrvu€} x ; tn ivs•¡n ·nu &P j

wvzvuy éjktv & Ëv zvmlj vi•nn ·qxsv wéqxyzxzkyí•q} éjktv

P

 

P(P − )

 

+ P + & èjxxujzéqkj¹ éjkntxzkv 1 = + P +

rjr rkjléjz

P

 

 

tvn yéjktntqn vztvxqzns•tv

P u€ kqlqu ·zv vtv qunnz zvs•rv vlqt

wvsv qzns•t€p rvént• j ëzv q votj·jnz ·zv ls¹ kxn} sílnp ·qxsv

P q} otjrvu€} vltv q zv

n

bs¹ 1 = $²% Ínén}vl vz 1 r 1 + cxsq k rvuwjtqq qo

1 ·nsvknr tnz tq x rnu tn otjrvuvmv ² lvijks¹nu tq x rnu tn otjrvuvmv cxsq nxz• ² lvijks¹nu vltvmv otjrvu¹ nmv xv kxnuq Ï wén tq} 1 ·nsvknr lvijkqzx¹ wv tvkvuy otjrvuvuy tv iylnz xjuvn ivs•¡nn 1 otjrvu€} vtq tn i€sq otjrvu€ x tq x rnu tn

otjrvu€u y tvkvmv iylnz 1 otjrvu€} Èvs•¡nmv tn wvokvs¹nz lv iqz•x¹ wéqt|qw bqéq}sn

ïqxsv vltv·sntvk

-sjkj ;

 

cxsq $²% q $²& zv %²& cxsq $²% tv $ & zv % & cxsq $ % q $ & zv %²& Ívëzvuy mvév jtn éjolnsnt€ tj lkn kéj lyí•qn méyww€ ktyzéq rvzvé€} kxn léy jz sqiv méywwj zvs•rv vltj Êxrvu€p mvév jtqt ² síivp qo unt•¡np méyww€

fqzyj|q¹ jtjsvmq·tj wénl€ly•np ojlj·n q vltvp méywwn |n sqrvu tjlv qountqz• vztv¡ntqn r vréy jí•qu

Æ wévzqktvu xsy·jn ·qxsv xvnlqtntqp éjkt¹svx• i€ lévitvuy

·qxsy

Çj l€p viunt éyrvwv jzq¹uq lvijks¹nz y·jxztqrju rvtménx xj lkj éyrvwv jzq¹

Ï rj lvmv éniéj rvt|j rj l€p rvtn| k kné¡qtn k rj lvp qo kné¡qt ryij x}vl¹zx¹ rvt|juq éniéj tv ylkvnttj¹ xyuuj ·qxns vz lv tj tn lnsqzx¹

 

Íyxz• ·qxsj D q

E viéjoyíz k ljttvp wnénxzjtvkrn qtknéxqí

cxsq q} wvunt¹z• unxzjuq zv wvsy·qzx¹ tvkj¹ wnénxzjtvkrj k rvzv

évp

vtq y

n tn viéjoyíz qtknéxqq ΀ qunnu Q wnénxzjtvkvr k

rj

lvp qo

rvzvé€} uv

tv & xwvxvijuq k€iéjz• ·qxsj D q E Æ

 

 

 

 

Q

wvsvkqtn xsy·jnk ëzq ·qxsj viéjoyíz qtknéxqí dtj·qz ·qxsv qtkné

xqp éjktv

Q

&

 

 

 

 

Q

 

Èylnz xlnsjtv ·nztvn ·qxsv wnénun•ntqp ¡j¡nr j zéniynzx¹ tn·nztvn

cxsq ©wsíxª ² ëzv j ©uqtyxª ² ëzv zv tj lvxrn tjwqxjtv wévqoknlntqn kxn} ·qxns

Ívsy·qz• nlqtq| uv tv qo qsq Ëv wnék€p tjivé tq·nmv tn unt¹nz j kzvévp tnkvouv nt q lvs t€ i€sq ·nénlvkjz•x¹ tv q} éjotvn ·qxsv

cxsq wjéy é¹lvu xzv¹•q} ©wsíxvkª qsq wjéy é¹lvu xzv¹•q} ©uqtyxvkª ojuntqz• tj vlqt otjr zv tj yunt•¡qzx¹ S q W qsq N q P cxsq W = P = zv S = N

[L[M éjkt€} q éjkt€} vlqtjrvkv

ïqxsv vltv·sntvk éjkt€} ·nztv wvzvuy ·zv votj·jnz wnénunty otjrj [N tv wvl rvtn| tjlv knétyz•x¹ r otjry [

Ëjwéquné cxsq xvnlqtqz• xrj nu xqtquq vzénorjuq

réy rq tn xvnlqtntt€n ·nét€uq vzénorjuq zv wvsy·qzx¹ ojlj·j v wvqxrn mjuqs•zvtvkj wyzq zvs•rv tnojurtyzvmv

QS lvs tv i€z• ·nzt€u wvxrvs•ry QS ² ·qxsv kxn} vzéno rvk q S Q − èjxwvsv qu kxn Q zv·nr k kné¡qtj} wéjkqs•tvmv

Q ymvs•tqrj Íéq S ·nztvu xvnlqt¹nu rj lyí zv·ry x S isq jp ¡quq k vin xzvévt€ wéq S tn·nztvu S = N + (N + ) ojtyunéynu kxn

zv·rq vz lv Q q xvnlqt¹nu rj wénl€ly•quq q n•n x wévzqkvwvsv

lyí zv·ry x N xsnlyí•quq q N tvp zv·rvp

Ëjlv wvxzévqz• méj{ qo qo kné¡qt q éniné utvmvméjttqrj q qxxsnlvkjz• nmv wvlvitv vxzévkju q uvxzju Ívlévitvn én¡ntqn uv tv tjpzq k ywvu¹tyzvp rtqmn - ‘znptmjyoj ©fzv ojlj·ª Ðqoujzsqz

ojlj·j ð j

1 > & zjrq} zévnr q (D E F) ² vltj qo tq} Òjr rjr

 

ÌÒÆcÒÔ

 

 

 

èjxxzjkqu k kné¡qtj} ymvs•tqrj wvlé¹l ·qxsj

 

fyuuj kxn} ·qxns wéq éjoén¡ntt€} wnén

untj} otjrvk vxzjnzx¹ éjktvp tysí wvëzvuy wvunt¹z• otjrq sq¡• y wnék€} lky} ·qxns tn yljxzx¹

Íévknérj wvrjo€kjnz ·zv wnénxzjtvkrj lky} é¹lvu xzv¹•q} iyrk ¬ q È tn qount¹nz wévqoknlntq¹ lvxzjzv·tv éjxxuvzénz• rvu iqtj|qq ¬¬È¬ ȬÈÈ q ¬¬ÈÈ Ívëzvuy uv tv x·qzjz• ·zv xtj·jsj qlyz kxn iyrk€ ¬ j wvzvu ² kxn iyrk€ È Ëv zvmlj yzkné lntqn xzjtvkqzx¹ v·nkqlt€u

Êtj·n uv tv iylnz réyzqz•x¹ wv vréy tvxzq q tjiqéjz• vz éq|jzns•tyí xyuuy Ívxsn tn ivsnn ·nu Q + vivévzvk u€ wéqlnu k

zv·ry k rvzvévp y n i€sq xvkné¡qk vz tnn |nsvn

·qxsv wvst€}

vivévzvk

 

cxsq ko¹z• zévprq xvlné j•qn vlqt q zvz

n ësnuntz xrj

nu D zv vtq ylvksnzkvé¹íz wvxzjksnttvuy yxsvkqí wéq·nu q} ·q xsv éjktv & = Ívrj nu ·zv tns•o¹ k€iéjz• ivs•¡nmv

·qxsj zévnr wvwjétv quní•q} vi•qp ësnuntz Íénlwvsv qu ·zv u€ k€iéjsq

síij¹ qo 1 vxzjk¡q}x¹ zévnr qunnz }vz¹ i€ vlqt vi•qp ësnuntz

x k€iéjttvp

zv wv réjptnp unén ls¹

vltvmv

qo

ësnuntzvk

D E F

xrj nu D

tjplnzx¹

1

xvlné

j•q}

nmv

zévnr

wéq·nu

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Òévnr kqlj (D E [)

qsq (D F [) kunxzn tn ivsnn ·nu wvëzvuy

tjplnzx¹ zévprj kqlj (D G H) mln G q H vzsq·t€ vz E q F Òv·tv zjr n tjplyzx¹ zévprq kqlj (D I J) q (D K M) wéq·nu I q J vzsq·t€

vz E F G H D K M ² vz E F G H I J

Éíij¹ qo ojljtt€} 1 zévnr qunnz }vz¹ i€ vlqt vi•qp ësnuntz x rj lvp qo ·nz€én} zévnr (D E F) (D G H) (D I J) (D K M) ‰xtv

·zv vltqu qo ëzq} vi•q} ësnuntzvk lvs nt i€z• ësnuntz D zjr rjr qtj·n zévprj xvlné jsj i€ ·nz€én éjosq·t€} ësnuntzj ·zv tnkvo uv tv Êzjr kxn zévprq xvlné jz ësnuntz D j wvzvuy q} ·qxsv tn

wénk€¡jnz & kvwénrq wénlwvsv ntqí

bs¹ [ = vltv én¡ntqn \ = ls¹ [ = zéq én¡ntq¹ \ = ± ljsnn én¡ntqp q zjr ljsnn lv én¡ntq¹ wéq [ = wvxsn ëzvmv viéjztv lv vltvmv én¡ntq¹ wéq [ = Æ€·qxs¹¹ xyuuy+ + + + + + + + + wvsy·jnu vzknz

dj ·nztvn ·qxsv }vlvk rvt• uv nz wvwjxz• tj rsnzrq zvmv n |knzj ·zv q zj mln vt xzvqz ktj·jsn Ëju iylnz ylvitnn wvknétyz• lvxry tj ° q qoviéj jz• sq¡• rsnzrq ëzvmv |knzj ojwqx€kj¹ k

rj lyí rsnzry ·qxsv }vlvk oj rvzvé€n rvt• uv nz k tnn wvwjxz• Òvmlj rsnzrq tj rvzvé€n rvt• Ç uv nz wvwjxz• oj }vlj qoviéj o¹zx¹ x}nuvp tj éqx ïqxsv ëzq} rsnzvr éjktv Çj lj¹ qo ëzq} rsnzvr ¹ks¹nzx¹ |ntzéjs•tvp zv·rvp Ç zjrvp n {qmyé€ wvrj o€kjí•np rylj uv nz wvwjxz• rvt• n•n oj lkj }vlj j kxnmv oj

Ìi~nlqt¹¹ ëzq {qmyé€ wvsy·qu {qmyéy qoviéj nttyí tj éqx

-sjkj ;

 

 

 

èqx

èqx

Ìtj ¹ks¹nzx¹ kvx•uqymvs•tqrvu xv xzvévtvp ksv ntt€u k rkjléjz xv xzvévtvp wéq·nu wv ymsju vxzjízx¹ tnojwvstntt€uq zénmvs• tqrq xv xzvévtvp Æxnmv wvsy·jnu − = wvsnp

Ívxsn Q }vlvk Q > wvsy·jnzx¹ kvx•uqymvs•tqr xv xzvévtvpQ + ksv ntt€p k rkjléjz xv xzvévtvp Q + wéq·nu wv ymsju

vxzjízx¹ tnojwvstntt€uq zénymvs•tqrq xv xzvévtvp Q Æxnmv wvsy ·jnzx¹ ( Q + ) − Q( Q + ) = Q + Q + wvsnp