Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Веленкин;Комбинаторика

.pdf
Скачиваний:
30
Добавлен:
05.06.2015
Размер:
9 Mб
Скачать
΀ y n otjnu ëzv wéq ëzvu wvsy·jnzx¹

 

-sjkj ,,, è¬fÇɬbÇÊ

 

 

 

 

 

 

Q éjosq·t€} ·jxzq|

uv

tv

éjxwénlnsqz•

wv P ¹·nprju PQ

xwvxvijuq cxsq kxn

ëzq

PQ

xwvxvivk wéq

ojljttvp ëtnémqq

quníz éjktyí knév¹ztvxz• zv mvkvé¹z v xzjzqxzqrn Îjrxkns

sj ² Èvs•|ujtj

Êoy·ntqn rkjtzvk€} ¹ksntqp wvrjojsv ·zv r y·jxzkyí•qu k tq} ·jxzq|ju {vzvtju ësnrzévtju q z l tn wéquntquj xzjzqxzqrj Îjrxknssj ² Èvs•|ujtj Íéq ëzvu kxn ·jxzq|€ éjxwjljízx¹ tj lkj rsjxxj Ç vltvuy qo tq} wéqtjlsn jz ·jxzq|€ tnéjosq·qu€n léym vz léymj Ívëzvuy ls¹ zjrq} ·jxzq| qunnz otj·ntqn sq¡• zv xrvs•rv ·jxzq| wvwjsv k zy qsq qtyí ¹·npry j tn zv rjrqn qunttv ·jxzq|€ k tnp tj}vl¹zx¹ ëzv wv}v n tj ojlj·y v éjolnsn ¹isvr xu w

P

&P+Qéjosq·t€}

xwvxvivk éjxwénlnsntq¹ ·jxzq| fzjzqxzqry tnéjosq·qu€} ·jx zq| k rvzvévp kxn ëzq xwvxvi€ x·qzjízx¹ éjktvknév¹zt€uq éjoéjivzjsq êpt¡znpt q qtlqpxrqp y·nt€p Èvon Ívëzvuy nn tjo€kjíz xzjzqxzqrvp Èvon ² êpt¡znptj cp wvl·qt¹ízx¹ {vzvt€ jzvut€n ¹léj q jzvu€ xvlné j•qn ·nztvn ·qxsv ësnuntzjét€} ·jxzq|

c•n tnvi€rtvknttnn xzjzqxzqrj rvzvévp wvl·qt¹ízx¹ zj rqn ·jxzq|€ rjr ësnrzévt€ wévzvt€ q tnpzévt€ bs¹ ëzq} ·jxzq| lnpxzkynz zjr tjo€kjnu€p ojwénz Íjysq wv rvzvévuy lkn ·jxzq|€ tn uvmyz vltvkénunttv wvwjxz• k vlty q zy n ¹·npry Ívëzvuy k xvvzknzxzkyí•np xzjzqxzqrn éjoéjivzjttvp jtmsqpxrqu {qoqrvu bqéjrvu q qzjs•¹txrqu y·nt€u Ðnéuq k rj lvp ¹·nprn tj}vlqzx¹ tn ivsnn vltvp ·jxzq|€ wéq·nu éjosq·t€n éjxwénlnsntq¹ ylvksnzkvé¹í•qn yrjojttvuy yxsv kqí x·qzjízx¹ éjktvknév¹zt€uq ïqxsv éjosq·t€} xvxzv¹tqp k xzjzqxzqrn Ðnéuq ² bqéjrj éjktv ·qxsy xwvxvivk k€iéjz•

Q ¹·nnr qo P z n &QP

djlj·q

fqxznuj ·jxzq| wvl·qtnttj¹ xzjzqxzqrn Èvon ² êpt¡znptj xvxzvqz qo qlntzq·t€} ·jxzq| Ívstj¹ ëtnémq¹ éjktj ( yévktq

ëtnémqq wéqtqujíz otj·ntq¹ N( wéq·nu yévknt• x ëtnémqnp N(

qunnz N + ¹·nnr frvs•rv éjosq·t€} rvt{qmyéj|qp qunnz ëzj

xqxznuj" èn¡qzn zy n ojlj·y nxsq ·jxzq|€ wvl·qtnt€ xzjzqxzqrn Ðnéuq ² bqéjrj wéq·nu yévktí ëtnémqq N( vzkn·jíz (N + )

xvxzv¹tqp

Êunízx¹ qlntzq·t€n ·jxzq|€ qo rvzvé€} éjxwvsv nt€ k vltvp wvznt|qjs•tvp ¹un j vltj ² k léymvp Ívstj¹ ëtnémq¹ ·jxzq| éjktj ( Ïévktq ëtnémqq quníz kql N( q lvwyxrjíz

(N + ) xvxzv¹tqp Ëjplqzn ·qxsv rvt{qmyéj|qp nxsq ·jxzq|€ wvl·qtnt€ xzjzqxzqrn Ðnéuq ² bqéjrj

 

 

èjxwénlnsntqn tjméyorq

 

 

 

fqxznuj xvxzvqz qo 1 uvsnrys k rj lyí qo rvzvé€} k}vlqz

vlqt

$ jzvu q lkj % jzvuj ojtqují•q} lkj qo ·nz€én} kvouv t€}

wvsv

ntqp frvs•rv rvt{qmyéj|qp qunnz ëzj xqxznuj" èn¡qzn zy

n

ojlj·y nxsq uvsnrys€ uvmyz

oj}kjz€kjz• y

léymq} vlqt qsq

lkj

% jzvuj èn¡qzn zy

n ojlj·y nxsq kunxzv lky} % jzvuvk k uvsnrysy

k}vl¹z % jzvu q & jzvu

 

 

 

 

èjxwénlnsntqn tjméyorq

 

 

 

 

Ínénl tj·jsvu

y·nitvmv

mvlj un

ly

·sntjuq rj{nlé€

wévqx}vlqsv éjxwénlnsntqn

ryéxvk

Çj

l€p wénwvljkjzns•

uvm ·qzjz• síivp qo ëzq} ryéxvk

tv vi¹ojt i€s wév·nxz•

}vz¹ i€ vlqt ryéx frvs•rquq xwvxvijuq uv tv éjxwénlnsqz• tjméyory"

Ëvk€u k ëzvp ojlj·n ¹ks¹nzx¹ yxsvkqn ·zv rj l€p lvs nt wév·nxz• }vz¹ i€ vlqt ryéx ² qtj·n xéjoy wvsy·qsvx• i€ ·zv

tjméyory uv tv éjolnsqz• xwvxvijuq Ívëzvuy wvxzywqu zjr xtj·jsj oj{qrxqéynu xrvs•rv ryéxvk inénz rj l€p wén wvljkjzns• j wvzvu y n éjxwénlnsqu ryéx€ k xvvzknzxzkqq x

k€iéjtt€u ·qxsvu ryéxvk y rj lvmv ïqxsv uv tv éjoiqz• tj tjzyéjs•t€} xsjmjnu€} lkyu¹ xy•nxzknttv éjosq·t€uq xwvxvijuq + + + + q + + + + Ìxzjs•t€n xwv

xvi€ wvsy·jízx¹ qo ëzq} lky} wnénxzjtvkrjuq xsjmjnu€} Ëv éjxwénlnsqz• ryéxvk zjr ·zvi€ wnék€p wénwvljkjzns• wév·nsryéxj j vxzjs•t€n ² wv vltvuy uv tv rjr u€ y n otjnu 3( ) xwvxvijuq xu w Æ€ivé n wénwvljkjzns¹

·qzjí•nmv ryéxj wévqokvlqzx¹ 3( ) xwvxvijuq u€ wnén

xzjks¹nu ·qxsj q wvsy·jnu kxn kvouv

tvxzq

dtj·qz

·qxsv

éjxwénlnsntqp

wnékvmv

zqwj

éjktv

3( ) 3( )

 

 

 

Òv·tv

zjr n

tj}vlqu ·zv ·qxsv éjxwénlnsntqp

kzvévmv

zqwj éjktv 3( ) 3( ) ¬ vi•nn ·qxsv xwvxvivk éjktv 3( ) 3( ) + 3( ) 3( ) =

Òv·tv zjr

 

n éjxxujzéqkjnzx¹ vi•qp xsy·jp rvmlj ·qxsv

ryéxvk éjktv

Q j ·qxsv wénwvljkjznsnp ² P Æ ëzvu xsy·jn

vzknz ljnzx¹ {véuysvp

 

 

 

 

 

 

3(W

 

W

) 3(Q Q

)

 

 

 

 

N

 

P

 

Q + +QP=Q

Q Q ≥ ≥QP>

fyuuj éjxwévxzéjtntj tj kxn xwvxvi€ wénlxzjksntq¹ ·qxsj Q k kqln xyuu€ P tnkvoéjxzjí¡q} tjzyéjs•t€} ·qxns Q Q ≥ ≥ QP > Q + + QP = Q j 3(W WN) ² xvxzjk xwvxvij éjxwénlnsntq¹ ryéxvk wv wénwvljkjzns¹u (Q QP)

-sjkj ,,, è¬fÇɬbÇÊ

Ëjplnu tjwéquné ·qxsv xwvxvivk éjxwénlnsqz• éjosq· t€} wénlunzvk un ly sq|juq zjr ·zvi€ rj l€p wvsy·qs

}vz¹ i€ vlqt wénlunz èjoiqntq¹ ·qxsj tj tjzyéjs•t€}

xsjmjnu€}

zjrvk€

+ + + +

+ + + +

+ + + + + + + + + + + +

êzq xwvxvi€ quníz xvxzjk ²

² ² ²

²

Ív {véuysn wvsy·jnu ·qxsv xwvxvivk éjoiqntq¹ x zéniynu€uq xkvpxzkjuq éjktv

3( ) 3( ) + 3( ) 3( ) + + 3( ) 3( ) + 3( ) 3( ) +

+ 3( ) 3 ( ) =

Ívx€srj {vzvméj{qp

}v·y wvxsjz• xkvnuy léymy éjosq·t€} {vzvméj{qp frvs•rquq xwvxvijuq ¹ uvmy ëzv xlnsjz• qxwvs•ovkjk éjosq·t€} rvtknézvk"

êzj ojlj·j wv xyzq xvkwjljnz x én¡nttvp k wénl€ly•nu wytrzn wvzvuy ·zv wvx€sjz• wyxz€n rvtknéz€ tns•o¹ ² tq vlqt rvtknéz tn lvs nt i€z• wyxz€u tv én¡qu u€ nn qtj·n ² qxwvs•oy¹ {véuysy krsí·ntqp q qxrsí·ntqp

Ëjplnu xtj·jsj wéq xrvs•rq} xwvxvij} éjxwénlnsntq¹ ljt t€n N rvtknézvk vrjo€kjízx¹ wyxz€uq j vxzjs•t€n uvmyz i€z• rjr wyxz€uq zjr q xvlné jz• {vzvméj{qq Æ ëzvu xsy·jn {vzvméj{qq rsjlyzx¹ ino vméjtq·ntqp k N rvtknézvk q wv

lvrjojttvuy k€¡n ·qxsv zjrq} éjxwénlnsntqp éjktv ( − N)

Ëv N rvtknézvk uv tv k€iéjz• qo w¹zq &N xwvxvijuq

Ìzxílj wéqunt¹¹ {véuysy krsí·ntqp q qxrsí·ntqp k€kv lqu ·zv ·qxsv éjxwénlnsntqp wéq rvzvé€} tq vlqt rvtknéz tn vrjo€kjnzx¹ wyxz€u éjktv

&

+ &

&

+ & =

 

 

 

 

Ìi•j¹ ojlj·j xrvs•rquq xwvxvijuq uv tv wvsv qz• Q

éjosq·t€} wénlunzvk k P éjosq·t€} ¹•qrvk zjr ·zvi€ k rj lvu ¹•qrn sn js }vz¹ i€ vlqt wénlunz én¡jnzx¹ zv·tv zjrquq n éjxxy lntq¹uq ïqxsv xwvxvivk éjxwénlnsntq¹ k€ éj jnzx¹ {véuysvp

PQ & (P − )Q + & (P − )Q − +

 

P

P

 

 

+ (− )N&N (P N)Q + + (− )P&PQ

 

P

P

ïqxsj fzqésqtmj

 

 

 

Íénlvxzjks¹nu ·qzjznsí éjoviéjz• xsnlyí•yí ojlj·y

Êunízx¹ Q wénlunzvk wnékvmv kqlj Q wénlunzvk kzvévmv kqlj QN wénlunzvk N mv kqlj frvs•rquq xwvxvijuq uv tv

éjoljz• q} P sq|ju zjr ·zvi€ rj l€p wvsy·qs }vz¹ i€ vlqt wénlunz"

Ìzknz tj ëzy ojlj·y zjrvp

PP

P

 

& &P

P

P

+

&Q +P&Q +P&QN+P

 

P Q +P&Q +P&QN+P

 

+ & &P

P

P

 

+ (− )P&P

 

P Q +P&Q +P&QN+P

 

 

P

Ëjwéquné nxsq lns¹z ¹isvr méy¡ q jwns•xqtvk un ly éni¹zjuq q rj l€p lvs nt wvsy·qz• }vz¹ i€ vlqt {éyrz zv éjolns kvouv nt

 

 

 

+ &

 

=

 

& & &

& &

&

&

& &

&

&

 

 

xwvxvijuq

 

 

 

 

 

 

 

 

ïqxsj fzqésqtmj

Æ€knlnttj¹ tjuq k wénl€ly•nu wytrzn {véuysj ls¹ ·qxsj xwvxvivk wvsv qz• Q éjosq·t€} wénlunzvk k P éjosq· t€} ¹•qrvk zjr ·zvi€ k rj lvu ¹•qrn sn js }vz¹ i€ vlqt wénlunz tjkvlqz tj tnrvzvé€n éjou€¡sntq¹ Ïxsvkqn ·zv ¹•qrq éjosq·t€ olnx• xy•nxzknttv cxsq wénlunz€ rsjlyz k ¹•qrq vlqtjrvkvmv kqlj rvzvé€n wvxsn ëzvmv wnénun¡qkjízx¹ zjr ·zv tns•o¹ vwvotjz• ëzq ¹•qrj zv vzknz iylnz qtvp Êo rj lvmv xwvxvij éjxwénlnsntq¹ wénlunzvk wv P éjosq·t€u ¹•qrju uv tv wvsy·qz• P xwvxvivk unt¹¹ xvlné quvn ¹•q rvk unxzjuq xrj nu wnénrsjl€kj¹ xvlné quvn wnékvmv ¹•qrj kv kzvévp kzvévmv ² k zénzqp j zénz•nmv ² k wnék€p Íéq wnénun¡qkjtqq ¹•qrvk kxn ëzq P xwvxvivk ljíz vlqt q zvz

n énoys•zjz Ívëzvuy ·qxsv 6PQ xwvxvivk éjosv qz• Q éjosq·

t€} wénlunzvk k P tnéjosq·qu€} ¹•qrvk zjr ·zvi€ kxn ¹•qrq i€sq tnwyxz€uq qunnz kql

6P =

 

 

Q & (P − )Q + & (P − )Q + +

 

 

 

Q

P P

P

P

 

 

 

 

 

+ (− )N &N (P N)Q + + (− )P

&P

 

 

 

 

P

P

Êo ëzvp {véuys€ k€znrjnz ljsnrv tn v·nkqlt€p {jrz ·zv k€éj ntqn k rkjléjzt€} xrvirj} lnsqzx¹ tj P ino vxzjzrj

ïqxsj 6PQ tjo€kjíz ·qxsjuq fzqésqtmj kzvévmv évlj

 

-sjkj ,,, è¬fÇɬbÇÊ

 

 

Çvuiqtjzvéqrj rsjxxq{qrj|qp

Ævxtvkn síivmv tjy·tvmv qxxsnlvkjtq¹ sn qz zj qsq qtj¹ rsjxxq{qrj|q¹ vi~nrzvk ¹ksntqp xkvpxzk Èqvsvm rsjxxq{q

|qéynz qk€n xy•nxzkj wv kqlju kql€ ² wv évlju évl€ ² wv vzé¹lju vzé¹l€ ² wv rsjxxju rsjxx€ ² wv zqwju }quqr rsjxxq{q|qéynz ësnuntz€ wv q} wvsv ntqí k zjisq|n Întln snnkj {qoqr rsjxxq{q|qéynz éjosq·t€n ujznéqjs€ wv q} znwsvwévkvltvxzq q z l f zv·rq oéntq¹ ujznujzqrq síij¹ rsjxxq{qrj|q¹ xkvlqzx¹ r zvuy ·zv tnrvzvévn utv nxzkv ësnuntzvk éjoiqkjíz tj tnwnénxnrjí•qnx¹ léym x léymvu wvl utv nxzkj

ïjxzv wévqokvl¹z rsjxxq{qrj|qí wv zvuy qsq qtvuy xkvp xzky ² |knzy wsvztvxzq {véun éjounéju Æ ëzvu xsy·jn k vlqt q zvz n rsjxx vztvx¹z vi~nrz€ visjljí•qn vlqtjrvk€u otj·ntqnu ëzvmv xkvpxzkj ² vi~nrz€ vltvmv q zvmv n |knzj

vltvp {véu€ vlqtjrvk€} éjounévk Òjrqn vi~nrz€ tjo€kjíz

ërkqkjsntzt€uq wv |knzy {véun éjounéju ïjxzv wvl ërkq kjsntztvxz•í wvtqujíz wvstyí kojquvojunt¹nuvxz• lky} vi~

nrzvk vlqtjrvk€} rjr lkn mvév¡qt€ qo vltvmv xzéy·rj Òjr

ls¹ knsvxqwnlqxzj ërkqkjsntzt€ kxn ¡jéqrvwvl¡qwtqrq vltv

mv q zvmv

n éjounéj ² k ujmjoqtn vtq sn

jz k vltvp vi•np

rvévirn

ls¹ wvrywjzns¹ ² kxn rvxzíu€

vltvmv q zvmv n

éjounéj |knzj q jézqrysj vtq vi€·tv kqx¹z é¹lvu tj vltvp q zvp n xzvprn q z l

Ëv tn kxnmlj wvt¹zq¹ ërkqkjsntztvxzq q vlqtjrvkvxzq xvkwjljíz cxsq tjlv vzwéjkqz• wqx•uv zv mvlqzx¹ síij¹ ujérj quní•j¹ ljttyí xzvquvxz• tnojkqxquv vz zvmv ·zv tj tnp qoviéj ntv Ëv ls¹ {qsjznsqxzj lkn zjrqn ujérq uvmyz qunz• xvkné¡nttv tnxvqounéquyí |nttvxz• Æ€¹xtqu rjrquq

n xkvpxzkjuq lvs tv visjljz• vztv¡ntqn ërkqkjsntztvxzq ls¹ zvmv ·zvi€ vtv vinxwn·qkjsv wéjkqs•tyí rsjxxq{qrj|qí z n éjxwjlntqn utv nxzkj rsjxxq{q|qéynu€} vi~nrzvk tj tnwnénxnrjí•qnx¹ wvlutv nxzkj

Ínékvn qo ëzq} xkvpxzk tjxzvs•rv v·nkqltv ·zv {véuysq évkrj nmv uv nz wvrjojz•x¹ qosq¡tnp

Çj l€p ësnuntz xju xnin ërkqkjsntznt

Æzvévn xkvpxzkv zv n ¹xtv

cxsq ësnuntz D ërkqkjsntznt ësnuntzy E zv q ësnuntz E ërkqkjsntznt ësnuntzy D

Ëjrvtn| zénz•n xkvpxzkv ërkqkjsntztvxzq {véuysqéynzx¹ zjr

cxsq ësnuntz D ërkqkjsntznt ësnuntzy E j ësnuntz E ² ësnuntzy F zv D ërkqkjsntznt F

fkvpxzkj tvx¹z vxvi€n tjokjtq¹ Ê} tjo€kjíz xvvz knzxzknttv én{snrxqktvxz•í xquunzéq·tvxz•í q zéjtoqzqk tvxz•í vztv¡ntq¹ ërkqkjsntztvxzq

Ðsjmq tj uj·zj}

 

 

 

Énmrv wévknéqz• ·zv zjrqn vztv¡ntq¹ rjr ©qunz• vlqtj rvk€p |knzª ©qunz• vlqtjrvkyí {véuyª q z l visjljíz ëzquq zénu¹ xkvpxzkjuq z n ¹ks¹ízx¹ vztv¡ntq¹uq ërkqkj sntztvxzq f rj l€u vztv¡ntqnu ërkqkjsntztvxzq ls¹ ësnunt zvk rjrvmv zv utv nxzkj xk¹ojtv rjr u€ y n mvkvéqsq éjo iqntqn ëzvmv utv nxzkj tj tnwnénxnrjí•qnx¹ wvlutv nxzkj

tjo€kjnu€n rsjxxjuq ërkqkjsntztvxzq

Ìltv q zv n utv nxzkv uv nz i€z• éjoiqzv tj rsjxx€

ërkqkjsntztvxzq wv éjot€u wéqotjrju Ëjwéquné utv nxzkv

lnzjsnp k ¹•qrn uv tv éjosv

qz• tj mjprq kqtz€ ¡jpi€ q

z l j uv tv éjosv

qz• wv kqlju unzjssj qo rvzvé€}

qomvzvksnt€ ëzq lnzjsq

unl•

nsnov jsíuqtqp Ævotqrjnz

xsnlyí•j¹ ojlj·j xrvs•rquq

éjosq·t€uq xwvxvijuq uv tv

éjoiqz• utv

nxzkv $ qo Q ësnuntzvk tj rsjxx€ ërkqkjsntz

tvxzq" Íéq ëzvu u€ y·qz€kjnu q xjuvn méyivn éjoiqntqn

xvxzv¹•nn qo vltvmv rsjxxj ²

kxnmv

utv

nxzkj

$ q xjuvn

zvtrvn éjoiqntqn wéq rvzvévu

$ éjoiqkjnzx¹ tj vzlns•t€n

ësnuntz€

 

 

 

 

 

 

ïqxsv zjrq} xwvxvivk éjoiqntq¹ vivotj·jíz %Q

q tjo€kjíz

Q u ·qxsvu Ènssj Òjr rjr ·qxsv éjoiqntqp Q utv

nxzkj $ tj

P tnwyxz€} rsjxxvk ërkqkjsntztvxzq éjktv ·qxsy

fzqésqtmj

6P xu w zv ¹xtv ·zv %

Q

= 6 + 6 + + 6Q

 

Q

 

Q

Q

Q

 

Ðsjmq tj uj·zj}

bv xq} wvé éjxrsjl€kj¹ wénlunz€ wv ¹•qrju u€ tn y·qz€kjsq wvé¹lvr k rvzvévu uvmyz i€z• éjxwvsv nt€ wénl unz€ k rj lvu ¹•qrn Ëv tjwéquné nxsq én·• qlnz v éjokn¡qkjtqq xqmtjs•t€} {sjmvk tj uj·zj} zv qunnz otj·ntqn q wvé¹lvr k€kn¡qkjnu€} {sjmvk èn¡qu xsnlyí•yí ojlj·y

Êunnzx¹ Q éjosq·t€} xqmtjs•t€} {sjmvk q P uj·z tj rvzvé€n q} k€kn¡qkjíz dtj·ntqn xqmtjsj ojkqxqz vz zvmv k rjrvu wvé¹lrn éjokn¡nt€ {sjmq frvs•rquq xwvxvijuq uv tv éjoknxqz• {sjmq nxsq kxn {sjmq lvs t€ i€z• qxwvs•ov

kjt€ tv tnrvzvé€n qo uj·z uvmyz vrjojz•x¹ wyxz€uq" Çj l€p xwvxvi éjokn¡qkjtq¹ {sjmvk ¹ks¹nzx¹ rvuiqtj|qnp

lky} ëzjwvk Ínék€p ² vwénlnsntqn rvt{qmyéj|qq z n unxz tj rvzvé€} iylyz kqxnz• Q {sjmvk tj P uj·zj} Ëj ëzvu ëzjwn u€ tn y·qz€kjnu tq {véuy tq vréjxry {sjmj j x·qzjnu kxn {sjmq vlqtjrvk€uq Òvmlj rjr u€ yPn otjnu Q {sjmvk uv tv éjoknxqz• tj P éjosq·t€} uj·zj} &Q+Pxwvxvijuq

Æzvévp ëzjw ² ojwvstntqn kxn} ëzq} Q unxz rvtrénzt€uq {sjmjuq êzv uv tv xlnsjz• Q xwvxvijuq wvzvuy ·zv uv tv ojwvstqz• ëzq Q unxz {sjmjuq wévqokvs•t€u viéjovu j wvzvu wnénxzjks¹z• {sjmq léym x léymvu kxnkvouv t€uq xwvxvijuq tn unt¹¹ rvt{qmyéj|qq ïqxsv zjrq} wnénxzjtvkvr éjktv Q dtj·qz ls¹ rj lvp rvt{qmyéj|qq éjoun•ntq¹ {sjmvk

-sjkj ,,, è¬fÇɬbÇÊ

wvsy·jnzx¹ Q rvtrénzt€} xwvxvivk éjokn¡qkjtq¹ {sjmvk Ìi•nn n ·qxsv xwvxvivk éjokn¡qkjtq¹ {sjmvk éjktv

P

=

(Q + P − )

= $Q

 

(P − )

 

Q &Q+P

 

Q+P

 

Ævvi•n nxsq qunnzx¹ Q éjosq·t€} wénlunzvk zv ·qxsv xwvxvivk éjxwénlnsntq¹ ëzq} wénlunzvk wv P éjosq·t€u ¹•q rju x y·nzvu wvé¹lrj q} éjxwvsv ntq¹ k ¹•qrj} éjktv

Q $Q+P

Ç zvuy n énoys•zjzy uv tv wéqpzq qt€u wyznu bvijkqu r éjxwénlns¹nu€u Q wénlunzju P vlqtjrvk€} ¡jévk q éjxxuvzéqu

kxnkvouv t€n wnénxzjtvkrq wvsy·ntt€} Q + P wénlunzvk Çj lj¹

zjrj¹ wnénxzjtvkrj vwénlns¹nz vlqt qo xwvxvivk éjxwénlnsntq¹ Êunt tv k wnék€p ¹•qr rsjlnu kxn wénlunz€ qly•qn k wnénxzjtvkrn lv wnékvmv lvijksnttvmv ¡jéj nxsq wnék€u wénlunzvu k wnénxzjtvkrn ¹ks¹nzx¹ vlqt qo lvijksntt€} ¡jévk zv wnék€p ¹•qr vxzjnzx¹ wyx z€u ‘jé vzrsjl€kjnu ëzv ² xqmtjs wnénpzq r ojwvstntqí xsnly í•nmv ¹•qrj kv kzvévp ¹•qr rsjlnu kxn wénlunz€ wvwjk¡qn un ly

wnék€u q kzvé€u ¡jévu k P p ¹•qr rsjlnu kxn wénlunz€ qly •qn wvxsn ¡jéj P ‰xtv ·zv wéq ëzvu wvsy·jízx¹ kxn éjxwénln

sntq¹ wénlunzvk visjljí•qn yrjojtt€uq xkvpxzkjuq Ëv ·qxsv wnén xzjtvkvr qo Q éjosq·t€} wénlunzvk q P vlqtjrvk€} ¡jévk éjktv

3( P − ) =

(Q + P − )

= $Q

(P − )

 

Q+P

Q éjo

 

 

cxsq tn kxn {sjmq éjosq·t€ j xénlq tq} nxz• Q {sjmvk vltvmv kqlj Q {sjmvk léymvmv kqlj QN {sjmvk N mv kqlj

zv wéquntntt€p k€¡n unzvl én¡ntq¹ ljnz xsnlyí•nn k€éj ntqn ls¹ ·qxsj éjosq·t€} xqmtjsvk 3(Q QN)&PQ+Pmln

Q = Q + Q + + QN

¬tjsvmq·tv én¡jízx¹ ojlj·q k xsy·jn rvmlj tj rj lvp uj·zn lvs nt kqxnz• }vz¹ i€ vlqt {sjm f wvuv••í {véuys€

k€knlnttvp k w u€ wvsy·jnu ·zv zvmlj rvt{qmyéj|qp iylnz &PQcxsq wéq ëzvu kxn {sjmq éjosq·t€ zv ·qxsv

xqmtjsvk éjktv 3Q &PQj k xsy·jn rvmlj xvxzjk {sjmvk qunnz kql (Q QN) ·qxsv xqmtjsvk éjktv

3(Q Q

)&P

 

 

N

Q

 

Ívstvn ·qxsv xqmtjsvk

 

 

 

djlj·q

frvs•rquq xwvxvijuq uv tv éjxxzjkqz• éjot€} rtqm k rtq tvu ¡rj{y x wvsrjuq nxsq rj lj¹ wvsrj uv nz kunxzqz• kxnrtqm"

frvs•rquq xwvxvijuq uv tv tjlnz• éjosq·t€} rvsn| tj wjs•|€ vltvp éyrq qxrsí·j¹ ivs•¡vp wjsn|"

Ìztv¡ntqnu k utv nxzkn ; tjo€kjnzx¹ síivn utv nxzkv 0 xvxzjksnttvn qo tnrvzvé€} wjé kqlj (D E) mln D ; E ;

Ìztv¡ntqn 0 tjo€kjnzx¹ én{snrxqkt€u nxsq kxn wjé€ kqlj (D D) k tnu xvlné jzx¹ D ; q xquunzéq·t€u nxsq qo (D E) 0 xsnlynz (E D) 0 frvs•rv vztv¡ntqp k Q utv nxzkn" frvs•rv k tnu

én{snrxqkt€} vztv¡ntqp" frvs•rv k tnu xquunzéq·t€} vztv¡ntqp" frvs•rv xquunzéq·t€} q én{snrxqkt€} vztv¡ntqp"

Ëj Q rjézv·rj} tjwqxjt€ kxn kvouv t€n Q otj·t€n ·qxsj qo |q{é q wv vltvuy tj rjézv·rn êzq rjézv·rq wévqokvs•t€u viéjovu wvsv nt€ k lkj ¹•qrj wv Qrjézv·nr k rj lvu bvrj qzn ·zv ·qxsv xwvxvivk k€zj•qz• vlty rjézv·ry qo wnékvmv ¹•qrj q qountqz• tj tnp vlty |q{éy zjr ·zvi€ ·qxsv tj tnp xzjsv éjktv vltvuy qo ·qxns kzvévmv ¹•qrj tn unt•¡n Q

Ëjplqzn ·qxsv xwvxvivk éjoiqz• Q éjosq·t€} wénlunzvk tj Utnrvzvé€} i€z• uv nz wyxz€} rsjxxvk zjr ·zvi€ k zv·tvxzq P rsjxxvk xvlné jsv wv N wénlunzvk

Ívstvn ·qxsv xqmtjsvk

bv xq} wvé u€ x·qzjsq ·zv kxn {sjmq lvs t€ i€z• qxwvs•ovkjt€ ls¹ wnénlj·q xqmtjsj Ëv uvmyz i€z• q xqmtjs€ ls¹ wnénlj·q rvzvé€} qxwvs•oynzx¹ sq¡• ·jxz• {sjmvk wéq·nu lvwyxrjízx¹ q wyxz€n uj·z€ Ëjplnu wvstvn ·qxsv xqmtjsvk

rvzvé€n uv tv wnénljz• x wvuv••í tn ivsnn ·nu Q xqmtjs•t€} {sjmvk k€kn¡qkjnu€} tj P uj·zj}

èjovi•nu ëzq xqmtjs€ tj rsjxx€ wv ·qxsy {sjmvk y·jxzky í•q} k xqmtjsn

Ív {véuysn x wvuv••í ojljtt€} N {sjmvk uv tv

N

wnénljz• $N+Pxqmtjsvk ·qxsv uj·z éjktv P Ëv N {sjmvk qo Q uv tv k€iéjz• &NQ xwvxvijuq Ívëzvuy ·qxsv éjosq·t€} xqmtjsvk k rvzvé€} qxwvs•oynzx¹ évktv N {sjmvk éjktv

N

N

 

 

 

 

&Q $N+Pdtj·qz wvstvn ·qxsv xqmtjsvk ljnzx¹ {véuysvp

 

 

+ & $ + + &Q$Q

 

 

 

&Q $P

Q P

Q Q+P

 

Ëjwéquné qun¹ éjosq·t€} {sjmvk tj uj·zj} uv

tv

wnénljz• + & $ + & $ + & $ + & $ +

& $ + & $ =

 

 

 

 

 

 

xqmtjsvk

 

-sjkj ,,, è¬fÇɬbÇÊ

 

 

cxsq tn lvwyxrjz• ·zvi€ tnrvzvé€n uj·z€ wyxzvkjsq zv kunxzv {véuys€ wvsy·jnu

P PP + &P+ &P(P + ) +

 

&Q &P

Q P

 

 

 

+ &P+ P(P + ) + + &Q&PQ

 

Q

&P+

Q Q

xwvxvivk

Ìi•j¹ ojlj·j v sjl•¹}

djlj·q v éjxwvsv ntqq {qmyé tj ¡j}ujztvp lvxrn uv tv éjxxujzéqkjz• rjr ojlj·q v éjxrsjlrj} dlnx• ësnuntz€ {q myé€ uvmyz i€z• éjosq·t€uq qsq vlqtjrvk€uq kxn ©¹•qrqªwvs¹ lvxrq éjosq·t€ tv nxz• wéq·ylsqk€n vméjtq·ntq¹ k kqln xk¹oq éjosq·t€} wvsnp Æwév·nu k ëzvu nxz• xkv¹ ©qoí uqtrjª

gqrs rvuiqtjzvét€} ojlj· tj ¡j}ujztvp lvxrn xk¹ojt x wvlx·nzvu ·qxsj éjxwvsv ntqp ¡j}ujzt€} {qmyé wéq rvzvé€} vtq uvmyz iqz• léym léymj qsq tjvivévz tn uvmyz iqz• léym léymj ‰xtv ·zv ëzq ·qxsj kojquvxk¹ojt€ ² knl• vi•nn ·qxsv éjxwvsv ntqp lky} {qmyé xéjoy wvlx·qz€kjnzx¹ wv {véuysn ls¹ éjoun•ntqp

Ënrvzvé€n ojlj·q zjrvmv zqwj u€ y n én¡qsq ² k w

i€sj éjoviéjtj ojlj·j v Q sjl•¹} tj ¡j}ujztvp lvxrn Q×Q Ìivi•qu ëzy ojlj·y q kvo•unu P×Q lvxry z n lvxry qo P

mvéqovtzjsnp q Q knézqrjsnp ΀ }vzqu yotjz• xrvs•rquq xwvxvijuq uv tv éjxxzjkqz• N sjlnp tj P×Q lvxrn zjr

·zvi€ vtq tn uvmsq iqz• léym léymj

‰xtv ·zv ls¹ éjoén¡quvxzq ojlj·q ty

tv ·zvi€ k€wvs

t¹sqx•

yxsvkq¹

N P q

N Q ² qtj·n rjrqn zv lkn

sjl•q

wvwjlyz

tj vlty

q zy

n mvéqovtzjs• qsq

knézqrjs•

Íyxz•

ëzq yxsvkq¹ k€wvstnt€ Òvmlj éjxxzjtvkry sjlnp uv tv vxy •nxzkqz• k lkj ëzjwj ftj·jsj k€inénu mvéqovtzjsq tj rvzv é€} iylyz xzv¹z• sjl•q Òjr rjr vi•nn ·qxsv mvéqovtzjsnp éjktv P j tjlv k€iéjz• N mvéqovtzjsnp zv k€ivé uv tv

xlnsjz• &N

xwvxvijuq Òv·tv zjr n knézqrjsq tj rvzvé€}

P

 

iylyz xzv¹z• sjl•q uv tv k€iéjz• &NQ xwvxvijuq Ívxrvs•ry k€ivé knézqrjsnp tn ojkqxqz vz k€ivéj mvéqovtzjsnp zv wv wéjkqsy wévqoknlntq¹ wvsy·jnu &NP &NQ xwvxvivk k€ivéj sqtqp

mln xzv¹z sjl•q

Ìltjrv ëzqu n•n lnsv tn rvt·ntv Ænl• N mvéqovtzjsnp q

N knézqrjsnp wnénxnrjízx¹ wv N rsnzrju flkqmj¹ nxsq wv tjlviqzx¹ ëzq mvéqovtzjsq q knézqrjsq u€ wvsy·qu tvkyí lvxry qo N mvéqovtzjsnp q N knézqrjsnp ¬ u€ y n otjnu ·zv tj zjrvp lvxrn éjxxzjkqz• N sjlnp zjr ·zvi€ vtq tn uvmsq

èqx

fquunzéq·t€n éjxxzjtvkrq

 

 

 

iqz• léym léymj uv tv N xwvxvijuq Ívëzvuy vi•nn ·qxsv zéniynu€} éjxwvsv ntqp sjlnp éjktv

&N &N N =

Q P

 

N (Q N) (P N)

P Q

 

 

 

Ëjwéquné sjl•q tj vi€·tvp ¡j}ujztvp lvxrn uv

éjxxzjkqz• = xwvxvijuq

tv

Íéq N = P = Q {véuysj ljnz vzknz Q k xvvzknzxzkqq xv

xrjojtt€u k w

cxsq xt¹z• vméjtq·ntqn ·zv sjl•q tn uvmyz iqz• léym léymj zv vzknz i€s i€ qtvp Êunttv tju tjlv i€sv i€

k€iéjz• qo P×Q rsnzvr síi€n N rsnzvr ¬ ëzv uv tv xlnsjz•

&N =

(PQ)

xwvxvijuq ¬ nxsq i€

sjlnp éjosq·jsqx•

 

PQ

N (PQ N)

 

N

 

 

léym

vz léymj

zv wvsy·ntt€n vzknz€

tjlv i€sv i€ n•n

yutv

qz• tj N

 

 

fquunzéq·t€n éjxxzjtvkrq

Ïxsv tqu znwné• ojlj·y v sjl•¹} q wvzéniynu ·zvi€ vtq tn zvs•rv tn iqsq léym léymj tv n•n xquunzéq·tv xzv¹sq tj lvxrn Íéq ëzvu wvsy·jnzx¹ utvmv ojlj· k ojkqxquvxzq vz zvmv

rjrvn tjsjmjnzx¹ yxsvkqn xquunzéqq

 

 

fju€u wévxz€u ¹ks¹nzx¹ xsy·jp rvmlj zéniynzx¹ ·zvi€

sjl•q

xzv¹sq xquunzéq·tv

vztvxqzns•tv

|ntzéj

lvxrq

éqx

Ìivotj·qu ·néno

*Q

·qxsv én¡ntqp

ojlj·q

rvmlj

Q sjlnp xzv¹z tj lvxrn qo Q

mvéqovtzjsnp q Q knézqrjsnp ΀

wvrj

nu xnp·jx ·zv zvmlj qunnz unxzv énryééntztvn xvvztv¡n

tqn

 

 

 

 

 

 

* Q = Q* Q

 

 

Æ xjuvu lnsn iylnu xzjkqz• Q sjlnp tj ( Q× Q) lvxry

Éjl•¹ xzv¹•j¹ tj wnékvp knézqrjsq uv nz ojt¹z• tj tnp síivn qo Q wvsnp Ív yxsvkqí ëzqu vwénlns¹nzx¹ wvsv ntqn sjl•q xzv¹•np tj wvxsnltnp knézqrjsq

² vtj lvs tj éjxwvsv qz•x¹ xquunzéq· tv x wnékvp sjl•np vztvxqzns•tv |ntzéj lvxrq Æ€·nértnu wnékyí q wvxsnltíí knézqrjsq j zjr n ojt¹z€n xzv¹•quq tj tq} sjl•¹uq mvéqovtzjsq zjr rjr ·qxsv mvéqovtzjsnp ·nztv k€iéjx€kjnu€n sjl•q tn uvmyz xzv¹z• tj vltvp q zvp n mvéq ovtzjsq q nxsq mvéqovtzjsq tn réjptqn ©xvurtnu é¹l€ª tj lvxrn Ívsy·jnzx¹ lvxrj qo Q mvéqovtzjsnp q Q