Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Веленкин;Комбинаторика

.pdf
Скачиваний:
31
Добавлен:
05.06.2015
Размер:
9 Мб
Скачать
☆

-sjkj ,, и¬dОcХcЛК‰ НcиcfТ¬ЛМЖЗК К fМпcТ¬ЛК‰

tn kj nt ïqxsv xv·nzjtqp rvzvé€n uv tv xvxzjkqz• qo Q ësnuntzvk wv N vivotj·jíz ·néno &NQ

fv·nzjtq¹ ² ëzv k zv·tvxzq wvlutv nxzkj qo N ësnuntzvk ojljt tvmv utv nxzkj qo Q ësnuntzvk Ìzunzqu olnx• n•n ·zv ls¹ ·qxsj

xv·nzjtqp qo Q ësnuntzvk wv N wéqunt¹nzx¹ zjr n vivotj·ntqn Q

N

Ðvéuysj ls¹ ·qxsj xv·nzjtqp snmrv wvsy·jnzx¹ qo k€knlnt tvp éjtnn {véuys€ ls¹ ·qxsj éjoun•ntqp Æ xjuvu lnsn xvxzjkqu xtj·jsj kxn xv·nzjtq¹ qo Q ësnuntzvk wv N ojwqxjk rj lvn k kqln tnrvzvévmv éjoun•ntq¹ z n ywvé¹lv·qk ësn untz€ rj lvmv xv·nzjtq¹ j wvzvu iylnu wnénxzjks¹z• k}vl¹ •qn k rj lvn xv·nzjtqn ësnuntz€ kxnuq kvouv t€uq xwvxvij uq Íéq ëzvu wvsy·jzx¹ kxn éjoun•ntq¹ qo Q ësnuntzvk wv N wéq·nu rj lvn zvs•rv wv vltvuy éjoy Ëv zjrq} wnénxzjtvkvr ls¹ rj lvmv xv·nzjtq¹ uv tv xlnsjz• N j ·qxsv ëzq} xv·nzj

tqp éjktv &N dtj·qz xwéjknlsqkj {véuysj N &N = $N

 

 

Q

 

 

 

 

 

 

Q

Q

 

Êo ëzvp {véuys€ tj}vlqu ·zv

 

 

 

 

 

 

 

 

 

$N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

&N =

Q =

Q

 

 

 

 

 

 

 

 

(Q − N) N

 

 

 

 

 

Q

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

djun·jzns•tv ·zv k€knlnttj¹ {véuysj xvkwjljnz x {véuy

svp

ls¹ ·qxsj

wnénxzjtvkvr

qo N

ësnuntzvk

vltvmv

zqwj q

Q − N

ësnuntzvk

kzvévmv

zqwj 3(N Q − N) =

 

Q

 

Êt€uq

(Q − N) N

xsvkjuq

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

&N = 3(N Q − N)

 

 

 

 

 

 

 

Q

 

 

 

 

 

 

 

 

êzv éjkntxzkv uv tv lvrjojz• q tnwvxénlxzknttv tn wéqinmj¹ r {véuysn ·qxsj éjoun•ntqp bs¹ ëzvmv wvxzjkqu wv wvé¹lry kxn Q ësnuntzvk qo rvzvé€} xvxzjks¹íz xv·nzjtq¹ q oj¡q{éynu rj lvn xv·nzjtqn éjxxzjtvkrvp tysnp q nlqtq| Êunttv nxsq tnrvzvé€p ësn untz k}vlqz k xv·nzjtqn zv tj nmv unxzn wq¡nu j nxsq vt tn k}vlqz zv wq¡nu Ëjwéquné nxsq xvxzjks¹ízx¹ xv·nzjtq¹ qo iyrk j i k m l n o q r zv xv·nzjtqí ^j k n o q` xvvzknzxzkynz éjxxzjtvkrj

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

i

k

m

l

n

o

q

r

j éjxxzjtvkrn ² xv·nzjtqn ^i k m r`

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

i

k

m

l

n

o

q

r

‰xtv ·zv wéq ëzvu rj lvuy xv·nzjtqí xvvzknzxzkynz éjxxzjtvkrj qo N nlqtq| q Q − N tysnp j rj lvp éjxxzjtvkrn qo N nlqtq| q Q − N

tysnp xvvzknzxzkynz tnrvzvévn xv·nzjtqn qo Q ësnuntzvk wv N wéq·nu éjosq·t€u éjxxzjtvkrju ² éjosq·t€n xv·nzjtq¹ Ìzxílj q xsnlynz

N ësnuntzvk ëzq}

fv·nzjtq¹ ino wvkzvéntqp

 

 

 

·zv ·qxsv xv·nzjtqp qo Q ësnuntzvk wv N xvkwjljnz x ·qxsvu wnénxzj tvkvr qo N ësnuntzvk vltvmv zqwj nlqtq| q Q − N ësnuntzvk léymvmv

zqwj tysnp

Îv tv wévknxzq q léymvn éjxxy lntqn Ævo•unu tnrvzvévn xv·n zjtqn qo Q ësnuntzvk wv N wéq·nu ojwq¡nu nmv k kqln éjxxzjtvkrq kxn} Q ësnuntzvk xtj·jsj k tnrvzvévu wvé¹lrn k€wq¡nu N ësnuntzvk kv¡nl¡q} k xv·nzjtqn j ojznu k tnrvzvévu wvé¹lrn Q − N ësnuntzvk

tn kv¡nl¡q} k xv·nzjtqn Ònwné• iylnu x·qzjz• wnék€n N ësnuntzvk ©vlqtjrvk€uqª k zvu xu€xsn ·zv vtq kv¡sq k xv·nzjtqn q xsnlyí •qn Q − N ² zv n ©vlqtjrvk€uqª tv léymvmv zqwj ² vtq tn kv¡sq

k xv·nzjtqn Ònwné• iylnu wévqokvlqz• wnénxzjtvkrq x wvkzvéntq¹uq qo N ësnuntzvk wnékvmv zqwj kv¡nl¡qn k xv·nzjtqn q Q − N ësnuntzvk

kzvévmv zqwj tn kv¡nl¡qn k xv·nzjtqn q wnék€n wnénxzjtvkvr iylnu x·qzjz• tvk€uq xv·nzjtq¹uq

Énmrv kqlnz• ·zv wéq ëzvu u€ wvsy·qu kxn xv·nzjtq¹ qo Q ësn untzvk wv N q tqrjrvn tn wvsy·qu lkj l€ Ínénxzjtvkrq sq¡• ktyzéq wnék€} N q sq¡• ktyzéq wvxsnltq} Q − N ësnuntzvk tnkvouv t€ ²

ësnuntz€ k ëzq} méywwj} ©vlqtjrvk€ª wvëzvuy éjot€n wnénxzjtvkrq vzsq·jízx¹ sqiv ·qxsvu ©tvk€}ª ësnuntzvk kv¡nl¡q} k xv·nzjtqn sqiv unxzjuq éjxwvsv ntq¹ ëzq} tvk€} ësnuntzvk tv zvmlj vtq k€

znxt¹íz qo wén tnmv

xv·nzjtq¹ éjot€n ësnuntz€ ²

knl•

ësnuntz€

qx}vltvmv xv·nzjtq¹

xzv¹•qn tj éjot€} unxzj} kxn

n

éjosq·t€

Ìzxílj xtvkj xsnlynz ·zv ·qxsv xv·nzjtqp qo Q ësnuntzvk wv N xv kwjljnz x ·qxsvu wnénxzjtvkvr qo N ësnuntzvk vltvmv zqwj kv¡nl¡q} k qx}vltvn xv·nzjtqn q Q − N ësnuntzvk léymvmv zqwj tn kv¡nl¡q}

k tnmv

Íéqunt¹¹ {véuysy snmrv én¡qz• ojlj·q v rvzvé€} mvkvéqsvx• k tj·jsn ëzvmv wytrzj

ïqxsv éjosq·t€} qx}vlvk qmé k vzivév·tvp méywwn wnéknt

xzkj uqéj wv {yzivsy ljnzx¹ {véuysvp & =

 

=

 

 

ïqxsv éjosq·t€} ©wn·js•t€}ª qx}vlvk {yzivs•tvmv wnéknt

xzkj éjktv & =

 

=

 

 

-sjkj ,, и¬dОcХcЛК‰ НcиcfТ¬ЛМЖЗК К fМпcТ¬ЛК‰

& =

 

 

= xwvxvijuq

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Òv·tv zjr

n lvrjo€kjnzx¹ ·zv tj lvxrn qo P mvéqovtzjsnp

q Q

knézqrjsnp N sjlnp

uv tv wvxzjkqz• &N

=

(PQ)

N (PQ − N)

 

 

 

 

 

PQ

 

 

 

 

 

 

 

 

xwvxvijuq

 

 

 

 

 

cxsq

 

n

xzjkqz• tn N

vlqtjrvk€} sjlnp j

N

éjosq·t€}

{qmyé zv y

n qunnz otj·ntqn rjrj¹ {qmyéj rylj wvxzjksntj

Ævz n•n ojlj·j tj xv·nzjtq¹

 

 

frvs•rquq xwvxvijuq uv tv wvxzjkqz• tj ¡j}ujztyí

lvxry

sjlnp" Æ vzsq·qn vz ojlj·q éjxxuvzénttvp k w

olnx•

tn

tjsjmjnzx¹ yxsvkqn ·zv sjl•q tn uvmyz

iqz• léym

léymj Ívëzvuy tju tjlv wévxzv k€iéjz• qo rsnzvr ¡j}

ujztvp lvxrq síi€n rsnzvr ¬ ëzv uv nz i€z• xlnsjtv

Ívëzvuy olnx• wvsy·jzx¹ tn xv·nzjtq¹ j éjoun•ntq¹ q vzknz

ljnzx¹ {véuysvp $N =

(PQ)

 

(PQ − N)

PQ

 

Èqtvu Ë•ízvtj

Êo tj·js•tvp jsmnié€ qoknxztv ·zv

([ + D) = ([ + D)([ + D) = [ + [D + D

([ + D) = ([ + D)([ + D)([ + D) = [ + [ D + [D + D

èjxrévnu xrvirq k ëzq} éjkntxzkj} wéq·nu iylnu ojwqx€ kjz• kxn xvutv qznsq k xsjmjnu€} k zvu wvé¹lrn k rvzvévu vtq tju kxzénz¹zx¹

([ + D) = [[ + [D + D[ + DD

([ + D) = [[[ + [[D + [D[ + D[[ + [DD + D[D + DD[ + DDD

Æqltv ·zv k ëzq {véuys€ k}vl¹z kxn éjoun•ntq¹ x wvkzv éntq¹uq xvxzjksntt€n qo iyrk [ q D wv lkn iyrk€ k rj lvu

éjoun•ntqq ls¹ ([ + D) q wv zéq iyrk€ ls¹ ([ + D) Òv n xjuvn iylnz q k vi•nu xsy·jn cxsq ojwqxjz• ([ + D)Q k kqln

([ + D)Q = ([ + D)([ + D) ([ + D)

Q éjo

zv wvxsn éjxré€zq¹ xrvivr u€ wvsy·qu k kqln xsjmjnu€} kxn kvouv t€n éjoun•ntq¹ x wvkzvéntq¹uq iyrk [ q D xvxzv¹•qn qo Q ësnuntzvk rj lvn

Íéqknlnu znwné• wvlvit€n ·snt€ Ívlvit€uq iylyz ·snt€ xvlné j•qn vlqtjrvkvn rvsq·nxzkv iyrk [ zvmlj q iyrk D k

Èqtvu Ë•ízvtj

tq} iylnz wvévkty Ëjplnu xrvs•rv iylnz ·sntvk k rvzvé€n k}vlqz N iyrk [ q xsnlvkjzns•tv Q − N iyrk D êzq ·snt€

¹ks¹ízx¹ wnénxzjtvkrjuq x wvkzvéntq¹uq xvxzjksntt€uq qo

N iyrk [ q Q − N iyrk

D Ívëzvuy wv {véuysn q} ·qxsv

éjktv 3(N Q − N) = &N =

Q

Ìzxílj k€znrjnz ·zv wvxsn

N (Q − N)

Q

 

 

 

wéqknlntq¹ wvlvit€} ·sntvk k€éj ntqn [NDQ−N kvplnz x rvë{

{q|qntzvu &N =

Q

 

Êzjr u€ lvrjojsq ·zv

 

 

N (Q − N)

 

 

Q

 

 

 

 

 

([ + D)Q = &Q[Q + &Q− [Q− D + + &N[NDQ−N + + & DQ

 

Q

Q

 

 

Q

 

Q

 

΀ wéq¡sq r tvkvuy vwénlnsntqí ·qxns &N ² vtq vrjoj

sqx• rvë{{q|qntzjuq wéq [NDQ−N

 

Q

 

 

k éjosv

ntqq ([ + D)Q

 

èjkntxzkv wéqt¹zv tjo€kjz• {véuysvp iqtvuj Ë•ízvtj

}vz¹ vtv i€sv

qoknxztv oj tnxrvs•rv xvz snz lv

év lntq¹

Ë•ízvtj j rvë{{q|qntz€ &N =

Q

² iqtvuqjs•t€uq

N (Q − N)

 

 

 

Q

 

 

 

rvë{{q|qntzjuq

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ðvéuysy

uv tv

k€knxzq qtj·n èjxxuvzéqu wévqoknlntqn

([ + D)Q = ([ + D)([ + D) ([ + D) Íéq

éjxré€zqq xrvivr u€ lvs

t€

qo rj lvp xrvirq ko¹z•

k xvutv qznsq vltv·sntj sqiv

[ sqiv

D

Ìltv·sntvk xvlné j•q} [N iylnz xzvs•rv xrvs•rquq xwvxvijuq uv tv qo Q xrvivr k€iéjz• zn N qo rvzvé€} u€ kvo•unu [ qo vxzjs•t€}

Q − N u€ kvo•unu D dtj·qz xsjmjnu€} x [N q DQ−N iylnz &NQ

djlj·q

j frvs•rquq xwvxvijuq uv tv k€iéjz• zéq éjosq·t€n réjxrq qo quní•q}x¹ w¹zq éjosq·t€} réjxvr"

i frvs•rquq xwvxvijuq uv tv xlnsjz• zén}|knzt€p {sjm x zénu¹ mvéqovtzjs•t€uq wvsvxjuq nxsq qunnzx¹ ujznéq¹ w¹zq éjosq·t€} |knzvk" ¬ nxsq vlqt qo |knzvk lvs nt i€z• réjxt€u" ¬ nxsq |knzj uvmyz wvkzvé¹z•x¹ tv tn é¹lvu wvsvx€ lvs t€ i€z• éjosq·qu€ "

Ëj wsvxrvxzq wévknlnt€ Q wé¹u€} sqtqp qo rvzvé€} tqrjrqn lkn tn ¹ks¹ízx¹ wjéjssns•t€uq q tqrjrqn zéq tn wnénxnrjízx¹ k vltvp zv·rn" frvs•rv zv·nr wnénxn·ntq¹ quníz ëzq wé¹u€n"

Òéywwj xvxzvqz qo jézqxzvk frvs•rquq xwvxvijuq uv tv k€iqéjz• qo tnn k zn·ntqn lky} kn·névk wv ·nsvknr ls¹ y·jxzq¹ k xwnrzjrs¹} zjr ·zvi€ ëzq xvxzjk€ tn xvkwjljsq léym x léymvu"

Ï uju€ lkj vlqtjrvk€} ¹isvrj q zéq vlqtjrvk€} méy¡q Çj l€p lnt• k zn·ntqn ltnp vtj k€ljnz x€ty wv vltvuy {éyrzy frvs•rquq xwvxvijuq ëzv uv nz i€z• xlnsjtv" èn¡qzn jtjsvmq·tyí ojlj·y nxsq ¹isvr Q j méy¡ N

-sjkj ,, и¬dОcХcЛК‰ НcиcfТ¬ЛМЖЗК К fМпcТ¬ЛК‰

Êo xwvézqktvmv rsyij tjx·qz€kjí•nmv ·sntvk tjlv xvxzjkqz• rvujtly qo ·nsvknr ls¹ y·jxzq¹ k inmn tj u frvs•rquq xwvxvijuq ëzv uv tv xlnsjz•"

¬ xrvs•rquq xwvxvijuq uv tv xvxzjkqz• rvujtly qo ·nsvknr ls¹ y·jxzq¹ k ëxzj{nzn + + + "

j Êo rvsvl€ xvlné j•np rjéz€ k€tysq rjéz Æv xrvs•rq} xsy·j¹} xénlq ëzq} rjéz nxz• }vz¹ i€ vlqt zyo" èvktv zyo" Ën untnn lky} zyovk" èvktv lkj zyoj"

i

frvs•rquq xwvxvijuq uv tv k€iéjz• qo wvstvp rvsvl€

xvlné

j•np rjéz€ rjéz zjr ·zvi€ xénlq tq} i€sq kxn ·nz€én

ujxzq"

 

͹z• lnky¡nr q zévn ítv¡np qméjíz k mvévlrq frvs•rquq xwvxvijuq vtq uvmyz éjoiqz•x¹ tj lkn rvujtl€ wv ·nsvknrj nxsq k rj lyí rvujtly lvs nt k}vlqz• }vz¹ i€ vlqt ítv¡j"

Êo xvxzjkj rvt{nént|qq tj rvzvévp wéqxyzxzkyíz ·nsvkn rj tjlv qoiéjz• wénoqlqyu k xvxzjkn ·nsvknr q lnsnmj|qí k xvxzjkn·nsvknr frvs•rquq xwvxvijuq uv nz i€z• wévqoknlnt k€ivé nxsq ·snt€ wénoqlqyuj uvmyz kvpzq k xvxzjk lnsnmj|qq" ¬ nxsq ·snt€ wénoqlqyuj tn uvmyz kvpzq k xvxzjk lnsnmj|qq"

Ï vltvmv ·nsvknrj nxz• rtqm wv ujznujzqrn j y léymvmv ²rtqm frvs•rquq xwvxvijuq vtq uvmyz viunt¹z• vlty rtqmy vltvmv tj vlty rtqmy léymvmv" ¬ rtqmq vltvmv tj rtqmq léymvmv"

Êo méyww€ xvxzv¹•np qo uy ·qt q

nt•qt tjlv k€iéjz•

·nsvknr zjr ·zvi€ xénlq tq} i€sv tn

untnn lky} nt•qt

frvs•rquq xwvxvijuq ëzv uv nz i€z• xlnsjtv"

èvzj xvxzvqz qo v{q|névk xné jtzvk q é¹lvk€} frvs•rquq xwvxvijuq uv tv k€lnsqz• qo tq} vzé¹l xvxzv¹•qp qo v{q|néj lky} xné jtzvk q é¹lvk€}" ¬ nxsq k vzé¹l lvs t€ kvpzq rvujtlqé évz€ q xzjé¡qp wv kvoéjxzy qo xné jtzvk"

Ï Îq¡q léyonp q n nltnktv k zn·ntqn ltnp vt wéqmsj¡jnz r xnin k mvxzq zévq} qo tq} zjr ·zv rvuwjtq¹ tq éjoy tn wvkzvé¹nzx¹ frvs•rquq xwvxvijuq vt uv nz ëzv xlnsjz•"

Íyxz• 0U ² ·qxsv éjoun•ntqp ino wvkzvéntqp qo P ësnuntzvk wv U D 1U ² ·qxsv éjoun•ntqp ino wvkzvéntqp qo Q ësnuntzvk wv U bvrj qzn ·zv ·qxsv éjoun•ntqp qo P + Q ësnuntzvk wv U k€éj jnzx¹ {véuysvp (0 + 1)U mln wvxsn kvoknlntq¹ k xznwnt• tjlv

ojuntqz• kxn wvrjojznsq qtlnrxjuq

bvrj qzn ·zv ( + [)Q + ( − [)Q ≤ Q wéq Q ≥ q _[_ ≤

Ívrywrj wqév t€}

Ærvtlqznéxrvu ujmjoqtn wévljkjsqx• wqév t€n kqlvk rvéoqtv·rq tjwvsnvt€ wnxv·t€n q ërsné€ frvs•rquq xwvxv ijuq uv tv rywqz• wqév t€}"

êzj ojlj·j qunnz qtvp kql ·nu zn rvzvé€n u€ y n én¡jsq Ìtj tn ¹ks¹nzx¹ ojlj·np tj éjoun•ntq¹ x wvkzvéntq¹uq zjr rjr wvé¹lvr k rvzvévu yrsjl€kjíz wqév t€n k rvéviry tnxy•nxzknt Ívëzvuy vtj isq n r ojlj·ju tj xv·nzjtq¹ Ëv vz ojlj· tj xv·nzjtq¹ vtj vzsq·jnzx¹ znu ·zv k rvuiqtj|qq uvmyz k}vlqz• wvkzvé¹í•qnx¹ ësnuntz€ tjwéquné uv tv

Ívrywrj wqév t€}

 

 

 

rywqz• ërsnévk Òjrqn ojlj·q tjo€kjíz ojlj·juq tj xv·n

zjtq¹ x wvkzvéntq¹uq

ïzvi€ én¡qz• tj¡y ojlj·y wvxzywqu xsnlyí•qu viéjovu dj¡q{éynu rj lyí wvrywry x wvuv••í nlqtq| q wjsv·nr Êunttv xtj·jsj tjwq¡nu xzvs•rv nlqtq| xrvs•rv rywsntv rvéoqtv·nr Ívzvu ·zvi€ vzlnsqz• rvéoqtv·rq vz tjwvsnvtvk wvxzjkqu wjsv·ry j ojznu ² xzvs•rv nlqtq| xrvs•rv rywsntv tjwvsnvtvk bjsnn xtvkj wvxzjkqu wjsv·ry nxsq tn i€sv rywsn tv tq vltvmv tjwvsnvtj zv k ojwqxq wv¹k¹zx¹ wvlé¹l lkn wjsv· rq bjsnn tjwq¡nu xzvs•rv nlqtq| xrvs•rv rywsntv wnxv·t€} wqév t€} xtvkj wvxzjkqu wjsv·ry q tjrvtn| tjwq¡nu xzvs• rv nlqtq| xrvs•rv rywsntv ërsnévk

Ëjwéquné nxsq rywsntv rvéoqtv·rq r tjwvsnvt twnxv·t€} w q ërsné ë zv wvsy·qu zjryí ojwqx•

_ _ _

rrr t ww ë

Æ ëzvp ojwqxq wjsv·rq vzlns¹íz vlty méywwy wqév t€} vz léymvp cxsq n rywsntv rvéoqtv·rq q wnxv·t€} zv wv sy·qzx¹ ojwqx• _ _ _ ‰xtv ·zv éjot€u wvrywrju xvvz knzxzkyíz wéq ëzvu éjot€n rvuiqtj|qq qo nlqtq| q wj sv·nr

Ìiéjztv rj lvp rvuiqtj|qq nlqtq| q wjsv·nr xvvz knzxzkynz rjrj¹ zv wvrywrj Ëjwéquné rvuiqtj|qq _ _ _ xvvzknzxzkynz wvrywrj tjwvsnvtvk q wnxv·t€} wqév t€}réjptqn méyww€ wqév t€} vzxyzxzkyíz

Òjrqu viéjovu ·qxsv éjosq·t€} wvrywvr éjktv ·qxsy wnénxzjtvkvr x wvkzvéntq¹uq rvzvé€n uv tv xvxzjkqz• qo nlqtq| q wjsv·nr ¬ ëzv ·qxsv rjr i€sv wvrjojtv k w

éjktv

 

3( ) =

 

=

=

 

 

 

 

 

 

 

Ç zvuy n

xjuvuy énoys•zjzy

uv

tv

i€sv i€ wéqpzq q qt€u

wyznu Êunttv

éjxwvsv qu k rj

lvp

wvrywrn wqév t€n k zjrvu

wvé¹lrn rvéoqtv·rq tjwvsnvt€ wnxv·t€n ërsné€ j wvzvu wnénty

unéynu q} Ëv wéq tyunéj|qq iylnu r tvunéju tjwvsnvtvk wéqijks¹z•r tvunéju wnxv·t€} ² q r tvunéju ërsnévk ² j r tvunéju rvéoqtv·nr tq·nmv tn iylnu wéqijks¹z• Ëjwéquné wyxz• rywsntv rvéoqtv·rq tjwvsnvtj wnxv·tvn q ërsné Òvmlj ëzq wqév t€n tyunéyízx¹ zjr

‰xtv ·zv xju€p ivs•¡vp tvuné wéq zjrvp tyunéj|qq tn ivs•¡n

sq¡• wvxsnltqp ërsné uv nz wvsy·qz• tvuné j xju€p ujsnt•rqp kvouv t€p tvuné éjknt ëzvz tvuné wvsy·jnz wnékj¹ rvéoqtv·rj Íéq ëzvu tq vlqt tvuné tn wvkzvé¹nzx¹ Ìiéjztv rj lvp kvoéjxzjí•np wvxsnlvkjzns•tvxzq ·qxns vz lv xvvzknz xzkynz tnrvzvéj¹ wvrywrj Ëjwéquné wvxsnlvkjzns•tvxz•

xvvzknzxzkynz wvrywrn qo tjwvsnvtvk q wnxv·t€} wqév t€} ïzvi€ yinlqz•x¹ k ëzvu tjlv vzt¹z• vz ojljtt€} tvunévk ·qxsj

-sjkj ,, и¬dОcХcЛК‰ НcиcfТ¬ЛМЖЗК К fМпcТ¬ЛК‰

΀ wvsy·qu ·qxsj z nnlqtq|€ q lkvprq Ëv nlqtq|y u€ wéqijks¹sq r tvunéju tjwv snvtvk j lkvpry ² r tvunéju wnxv·t€} wqév t€} otj·qz y tjx

tjwvsnvtj q wnxv·t€} wqév t€}

Íéq ëzvu y tjx wvsy·jízx¹ sq¡• kvoéjxzjí•qn wvxsnlvkjzns•tvx zq ·qxns q xsnlvkjzns•tv rj lj¹ wvxsnlvkjzns•tvxz• wvstvxz•í vw énlns¹nzx¹ xkvqu xvxzjkvu Ívëzvuy ·qxsv zjrq} wvxsnlvkjzns•tvxznp·qxns éjktv ·qxsy xv·nzjtqp qo ·qxns vz lv wv ¬ ·qxsv

ëzq} xv·nzjtqp ljnzx¹ {véuysvp & =

 

= ΀ wvsy·qsq zvz

 

 

 

 

n xju€p énoys•zjz

 

 

fv·nzjtq¹ x wvkzvéntq¹uq

΀ y n mvkvéqsq ·zv éjoviéjttj¹ ojlj·j vztvxqzx¹ r zqwy ojlj· tj xv·nzjtq¹ x wvkzvéntq¹uq Ìi•j¹ {véuysqévkrj ëzq} ojlj· zjrvkj

Êunízx¹ wénlunz€ Q éjosq·t€} zqwvk frvs•rquq xwvxv ijuq uv tv xlnsjz• qo tq} rvuiqtj|qí qo N ësnuntzvk nxsq tn wéqtqujz• kv ktqujtqn wvé¹lvr ësnuntzvk k rvuiqtj|qq wéq ëzvu wénlunz€ vltvmv zqwj uvmyz wvkzvé¹z•x¹"

Êt€uq xsvkjuq éjosq·t€n rvuiqtj|qq lvs t€ vzsq·jz•x¹ rvsq·nxzkvu wénlunzvk }vz¹ i€ vltvmv zqwj

Òjrqn rvuiqtj|qq tjo€kjíz xv·nzjtq¹uq_x wvkzvéntq¹uq qo Q ësnuntzvk wv N j q} ·qxsv vivotj·jíz &NQ êzj ojlj·j k

vi•nu kqln én¡jnzx¹ zv·tv zjr n rjr q ojlj·j v wqév t€} Êunttv wén ln kxnmv tjlv ojtyunévkjz• kvouv t€n zqw€ ësnuntzvk ·qxsjuq vz lv Q qtj·n uv tv vrjojz•x¹ k wvsv ntqq uy j rvzvé€p tqrjr tn uvm kxwvutqz• ·zv nuy wvéy·qsj rywqz• ntj wjrnzvk uvsvrj q ijtrq wqkj qsqwjrnzj uvsvrj q ijtvr wqkj Ònwné• uv tv oj¡q{évkjz• rj lyí rvuiqtj|qí x wvuv••í wvxsnlvkjzns•tvxzq nlqtq| q wjsv·nr ls¹ rj lvmv zqwj x mv lv Q mv wv wvé¹lry tjwqxjz• xzvs•rv nlqtq| xrvs•rv wénlunzvk ëzvmv zqwj k}vlqz k rvu iqtj|qí j éjosq·t€n zqw€ vzlns¹z• léym vz léymj wjsv·rjuq Íéq ëzvu nxsq wénlunz€ rjrvmv tqiyl• zqwj xvkxnu tn kv¡sq k rvuiqtj|qí zv k ojwqxq wv¹k¹zx¹ wvlé¹l lkn qsq ivs•¡nn ·qxsv wjsv·nr Æ énoys•zjzn u€ wvsy·qu xzvs•rv nlqtq| xrvs•rv wénlunzvk k}vlqz k rvuiqtj|qí z n N j ·qxsv wjsv·nr iylnz tj unt•¡n ·nu ·qxsv zqwvk wénlunzvk z n Q − Òjrqu viéjovu u€ wvsy·qu wnénxzjtvkrq x wvkzvéntq¹

uq qo N nlqtq| q Q − wjsv·nr èjosq·t€u rvuiqtj|q¹u wéq

ëzvu xvvzknzxzkyíz éjosq·t€n wnénxzjtvkrq x wvkzvéntq¹uq j rj lvp wnénxzjtvkrn x wvkzvéntq¹uq xvvzknzxzkynz xkv¹ rvu iqtj|q¹

wv N − U ësnuntzvk rj lvn z n

_ fv·nzjtq¹ x wvkzvéntq¹uq

 

 

Êzjr ·qxsv &N

xv·nzjtqp x wvkzvéntq¹uq

qo ësnuntzvk

Q

 

 

Q zqwvk wv N éjktv ·qxsy 3(N Q − ) wnénxzjtvkvr x wvkzvéntq

¹uq qo Q − wjsv·nr q N nlqtq| ¬ 3(N Q − ) =

(N + Q − )

 

 

 

 

 

 

 

N (Q − )

Ívëzvuy

 

 

 

 

 

 

_

(N + Q − )

= &N

 

 

 

&N =

 

 

 

 

Q

N (Q − )

Q+N−

 

êzy n {véuysy uv _tv lvrjojz•

q qt€uq

xwvxvijuq ² xéjoy

wéqkvl¹•quq r {véuysn &NQ = &NQ+N− ïzvi€ ojljz• xv·nzjtqn x wvkzv

éntq¹uq qo ësnuntzvk Q zqwvk zqw€ ojtyunévkjt€ wv N tjlv k€ wqxjz• k é¹l Q + N − nlqtq|y j ojznu k€iéjz• qo ëzq} Q + N −

wvoq|qp Q − q tj k€iéjtt€} wvoq|q¹} wvunt¹z• tj _ êzvz k€ivé

N

uv tv xlnsjz• &Q+N− xwvxvijuq Ívsy·nttj¹ ojwqx• wénviéjoynzx¹ k

rvsq·nxzkv ësnuntzvk rj lvmv zqwj ·qxsv nlqtq| xzv¹•q} un ly xvxnltquq wjsv·rjuq

¬ uv tv k€wqxjz• k é¹l ·qxsj vz lv Q + N − k€iéjz• N qo

N

tq} &Q+N− xwvxvijuq j ojznu wnékvn tjqunt•¡nn k€iéjttvn ·qxsv

ko¹z• rjr nxz• vz kzvévmv vzt¹z• vz zénz•nmv vzt¹z• vz N mv vzt¹z• N − féjoy wvsy·qzx¹ tjivé zqwvk k€iéjtt€} ësnuntzvk éjx

wvsv ntt€} wv kvoéjxzjtqí

Ðjrzq·nxrq u€ xnp·jx vwénlnsqsq rvsq·nxzkv rvézn np qo Q ësn untzvk kqlj (N NQ) mln N NQ ² tnvzéq|jzns•t€n |ns€n ·qxsj

xyuuj rvzvé€} éjktj N z n ·qxsv xwvxvivk wénlxzjkqz• ·qxsv N k kqln xyuu€ Q tnvzéq|jzns•t€} xsjmjnu€} Ìtv éjktv &NQ = &NQ+N−

Æxzén·jízx¹ ojlj·q k rvzvé€} tj xv·nzjtq¹ x wvkzvéntq¹ uq tjsjmjnzx¹ lvwvstqzns•tvn yxsvkqn ² k tq} vi¹ojzns•tv lvs t€ k}vlqz• ësnuntz€ U {qrxqévkjtt€} zqwvk mln U ≤ Q

êzq ojlj·q snmrv xkvl¹zx¹ r y n én¡nttvp ïzvi€ vinxwn·qz• wéqxyzxzkqn ësnuntzvk ojljtt€} zqwvk kvo•unu x xjuvmv tj ·jsj wv vltvuy ësnuntzy rj lvmv zjrvmv zqwj Ònu xju€u k xv·nzjtqq x wvkzvéntq¹uq qo ësnuntzvk Q zqwvk wv N vrj yzx¹ ojt¹z€ U unxz Ìxzjs•t€n n N − U unxz uv tv ojwvst¹z•

síi€uq ësnuntzjuq wéqtjlsn

j•quq wv yxsvkqí r Q zqwju

Ívëzvuy rvuiqtj|qp qxrvuvmv

kqlj xzvs•rv n xrvs•rv q

xv·nzjtqp x wvkzvéntq¹uq qo ësnuntzvk Q zqwvk xvlné j•q} &NQ−U = &NQ−+UN−U− Æ ·jxztvxzq

nxsq N ≥ Q q zéniynzx¹ ·zvi€ k xv·nzjtq¹ x wvkzvéntq¹uq qo

ësnuntzvk Q zqwvk wv N

k}vlqs wv réjptnp unén vlqt ësnuntz

 

N−Q = &Q−

rvuiqtj|qp

rj lvmv qo Q zqwvk zv wvsy·qzx¹ &N−

N−

 

-sjkj ,, и¬dОcХcЛК‰ НcиcfТ¬ЛМЖЗК К fМпcТ¬ЛК‰

djlj·q

Æ wv·zvkvu vzlnsntqq wévljízx¹ vzré€zrq kqlvk frvs• rquq xwvxvijuq uv tv rywqz• k tnu vzré€zvr" frvs•rquq xwvxvijuq uv tv rywqz• vzré€zvr" frvs•rquq xwvxvijuq uv tv rywqz• éjosq·t€} vzré€zvr"

frvs•rquq xwvxvijuq uvmyz k€wjxz• zéq éjosq·t€n qméjs•t€n rvxzq" Æv xrvs•rq} xsy·j¹} }vz¹ i€ tj vltvp rvxzq k€wjlnz v·rvk" Æv xrvs•rq} xsy·j¹} évktv tj vltvp rvxzq k€wjlnz v·rvk" Æv xrvs•rq} xsy·j¹} évktv tj vltvp rvxzq k€wjlnz v·rvk j tj léymvp ² v·rj" ¬ nxsq rvxzq tnéjosq·qu€"

Æ kvxzv·tvp qmén ©tjél€ª ins€} q ·nét€} ¡j¡nr xzv¹z tj wvs¹} zjr ·zv rj lvn wvsn qsq wyxzvn qsq ojt¹zv tnxrvs•rquq ins€uq ¡j¡rjuq qsq ojt¹zv tnxrvs•rquq ·nét€uq ¡j¡rjuq frvs•rquq xwvxvijuq uv tv zjr wvxzjkqz• ¡j¡rq"

frvs•rv xy•nxzkynz zénymvs•tqrvk y rvzvé€} lsqtj rj lvp xzvévt€ wéqtqujnz vltv qo otj·ntqp "

frvs•rv uv tv wvxzévqz• éjosq·t€} wé¹uvymvs•t€} wj éjssnsnwqwnlvk y rvzvé€} lsqtj rj lvmv éniéj ¹ks¹nzx¹ |ns€u ·qxsvu vz lv "

Æ€wqxjt€ kxn xv·nzjtq¹ x wvkzvéntq¹uq qo Q iyrk wv Q

Q

Ívrj qzn ·zv rj lj¹ iyrkj kxzénzqzx¹ & Q− éjo

-ntyëoxrj¹ svznén¹

Æwév¡s€n knrj wév|knzjsj zjr tjo€kjnuj¹ mntyëoxrj¹ svznén¹ xv}éjtqk¡j¹x¹ x tnrvzvé€uq qountntq¹uq k tnrv zvé€} xzéjtj} lv xq} wvé fyz• nn ojrsí·jsjx• k xsnlyí•nu Ï·jxztqrq svznénq wvrywjsq iqsnz€ tj rvzvé€} xzv¹sv ·qxsv vz lv Îv tv i€sv rywqz• q iqsnz€ tj rvzvé€} i€sv xéjoy lkj zéq ·nz€én qsq w¹z• ·qxns Æ lnt• évo€m逡j

svznénq qo un¡rj xvlné jk¡nmv nzvt€ x ·qxsjuq vz lv

k€tqujsq w¹z• nzvtvk Æ€qmé€kjsq zn iqsnz€ tj rvzv é€} kxn ·qxsj i€sq xénlq k€tyz€} Ëjwéquné nxsq tj iqsnzn i€sq ·qxsj j k€tyz€uq vrjojsqx• ·qxsj

zv iqsnz k€qmé€kjs nxsq n k€tyz€uq i€sq xrj nu

-ntyëoxrj¹ svznén¹

 

 

 

·qxsj zv iqsnz wévqmé€kjs ² knl• ·qxsj xénlq k€tyz€} tn vrjojsvx•

cxsq y·jxztqr svznénq wvrywjs iqsnz x vltqu ·qxsvu zv vt wvsy·js wéq k€qm逡n k éjo ivs•¡n xzvquvxzq iqsnzj nxsq x lkyu¹ ·qxsjuq juiv zv k éjo ivs•¡n nxsq x zénu¹ ·qxsjuq znét zv k éjo ivs•¡n nxsq x ·nz€é•u¹ ·qxsjuqrjznét ² k éjo ivs•¡n j nxsq xv kxnuq w¹z•í ·qxsjuqrkqt zv k éjo ivs•¡n ·nu xzvquvxz• iqsnzj

Îtvmqn sílq w€zjsqx• vivmjzqz•x¹ y·jxzky¹ k ëzvp svznénn q xzjk¹ k rj lvu évo€m逡n tj znét qsq juiv Ëv ujsv rvuy yljkjsvx• ëzv xlnsjz• ² svznén¹ i€sj éjxx·qzjtj zjr ·zvi€

nn yxzévqznsq k wévqm逡n tn vxzjkjsqx•

ïzvi€ wvt¹z• k ·nu lnsv wvwéviynu xvx·qzjz• rjrvkv vztv¡ntqn ©x·jxzsqk€}ª qx}vlvk svznénq r vi•nuy ·qxsy nn qx}vlvk wéq éjosq·t€} xwvxvij} qmé€ Ìi•nn ·qxsv qx}vlvk svznénq xéjoy tj}vlqzx¹ wv {véuysn Ænl• qo un¡rj x nzvtjuq k€tqujíz nzvtvk wéq·nu q} wvé¹lvr tn qméjnz tqrjrvp évsq Ívsy·jízx¹ xv·nzjtq¹ qo ësnuntzvk wv

·qxsv rvzvé€} éjktv

& =

 

=

 

=

 

 

 

 

 

Íénlwvsv qu znwné• ·zv y·jxztqr svznénq rywqs iqsnz x vltqu tvunévu Æv xrvs•rq} xsy·j¹} vt k€qméjnz" bs¹ k€qm 逡j tnvi}vlquv ·zvi€ vlqt qo k€tyz€} tvunévk xvkwjs x tvunévu tj iqsnzn Ìxzjs•t€n n tvunéj uvmyz i€z• síi€ uq Ëv ëzq ·nz€én tvunéj k€iqéjízx¹ qo vxzjk¡q}x¹ tvunévk Ívëzvuy ·qxsv isjmvwéq¹zt€} rvuiqtj|qp k€éj j nzx¹ {véuysvp

&

=

 

 

 

 

 

Ìzxílj xsnlynz ·zv vztv¡ntqn ·qxsj isjmvwéq¹zt€} rvu iqtj|qp r vi•nuy ·qxsy rvuiqtj|qp éjktv

&

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

=

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

&

 

 

 

 

 

 

 

 

 

êzv votj·jnz ·zv nxsq qmévr iylnz qméjz• ·jxzv zv k€qm é€kjz• vt iylnz vlqt éjo qo kvxnutjl|jzq Êt€uq xsvkjuq vt ojwsjzqz oj iqsnzvk j k€qméjnz sq¡• xzvquvxz• iqsnzvk

Ínén qkjtq¹ y·jxztqrvk svznénq ¹érv vwqxjt€ qzjs•¹txrvp wqxjzns•tq|np Îjzqs•lvp fnéjv k tvknssn ©èvo€m逡 svznénqª xu rtqmy ©Êzjs•¹txrqn tvknss€ mm ª -Ê®É