Задачи_В02_01(43)

вектор, - положительная постоянная. Найти: 1) скорость v и ускорение w частицы в зависимости от времени; 2) промежуток времени t , по истечении которого частицы вернется в исходную точку, а также путь S , который она пройдет при этом.

7. Частица движется в положительном направлении оси так, что ее скорость меняется по закону

v(t) 2t / 2 ; w(t) 2 / 2 ; v S / 2 )

8. Компоненты одного вектора равны (1,3,5) , другого (6, 4, 2) . Найти угол между векторами.

первые 2 секунды ее движения; б) модуль скорости v в момент времени t 2 с.

11. В момент t 0 частица вышла из начала координат в положительном направлении оси x . Ее скорость меняется со временем по закону v = v0 (1 t / ) , где v0 – вектор начальной скорости, модуль которого v0 10 см/с, 5, 0 с. Найти: а) координату x частицы в момент времени 6, 10 и 20 с; б) моменты времени, когда частица будет находится на расстоянии 10 см от начала координат; в) путь S , пройденный частицей за первые 4 и 8 с. (Ответ: x 24, 0, 200 см; t 1,1; 8,87 с; S 24, 34 см )

Занятие 2.

Тема: Кинематика материальной точки. Криволинейное движение.

1. Точка движется в плоскости xy по закону: x t , y at(1 t) , где и a – положительные постоянные, t – время. Найти: а) уравнение траектории точки y(x) , изобразить ее график; б) модуль скорости v и модуль ускорения w точки в зависимости от времени; в) момент , в которой вектор

1

w2aey , 1/ )

2.Тело бросили с поверхности Земли под углом к горизонту с начальной скоростью v0 .

Пренебрегая сопротивлением воздуха найти: а) время движения ; б) максимальную высоту подъема h и горизонтальную дальность полета L , при каком значении угла 0 они будут равны; в) уравнение траектории y(x) , где x и y – перемещения тела по вертикали и горизонтали соответственно; г) полное, тангенциальное и нормальное ускорение в начале и середине траектории; д) радиус кривизны R начала и вершины траектории.

3. Пушка и цель находятся на одном уровне на расстоянии 5,10 км друг от дуга. Через сколько времени снаряд с начальной скоростью 240 м/с достигнет цели в отсутствие сопротивления воздуха?

(Ответ: t 24 с)

воздуха, определите для момента времени t 1,5 с после начала движения: 1) нормальное ускорение; 2) тангенциальное ускорение.

9. Точка движется, замедляясь, по прямой с ускорением, модуль которого зависит от ее скорости v по закону w a v , где а – положительная постоянная. В начальный момент скорость точки равна v0 . Какой путь она пройдет до остановки? За какое время этот путь будет пройден?

10. Из пушки выпустили последовательно два снаряда со скоростью v0 250 м/с: первый - под

2

Занятие 3.

Тема: Кинематика вращательного движения.

1. Точка движется, замедляясь, по окружности радиусом R так, что в каждый момент времени ее тангенциальное и нормальное ускорение по модулю равны друг другу. В начальный момент t 0 скорость точки равна v0 . Найти: а) скорость точки в зависимости от времени и от пройденного пути S ; б) полное ускорение точки как функции скорости и пройденного пути.

3. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси так, что его угловая скорость зависит от угла поворота по закону 0 a , где 0 и a – положительные постоянные. В момент времени t 0 угол 0 . Найти зависимости от времени: а) угла поворота; б) угловой скорости.

начального положения, A и постоянные. Найти полное ускорение частиц в точках l 0 и l A . (Ответ: w(l 0) A2 2 / R ; w(l A) | A 2 | )

6. Колесо вращается вокруг неподвижной оси так, что угол его поворота зависит от времени какat2 , где a 0, 2 рад/с2. Найти полное ускорение w точки А на ободе колеса в момент t 2,5 с,

(Ответ: а) y(x) x2 / 2 ; б) R ( 2 2 x2 )3/ 2 / 2 )

8. Колесо вращается с постоянным угловым ускорением 3 рад/с. Определите радиус колеса, если через t 1с после начала движения полное ускорение колеса a 7,5 м/с2.

Занятие 4.

Тема: Динамика материально точки. Законы Ньютона. Вес.

1. Брусок массой m 2 кг движется по шероховатой горизонтальной поверхности с ускорением w 3 м/с2, когда на него действуют силой F 14 Н, направленной под углом 450 к горизонту. Найти коэффициент трения k и какой минимальной силой F0 и под каким углом 0 нужно

3

3. Шайбу положили на наклонную плоскость и сообщили направленную вверх начальную скорость v0 . Коэффициент трения между шайбой и плоскостью равен k . При каком значении угла наклона шайба пройдет вверх по плоскости наименьшее расстояние? Чему оно равно?

4. Аэростат массы m начал опускаться с постоянным ускорением w . Определить массу m0 балласта, который следует сбросить за борт, чтобы аэростат получил такое же ускорение, но направленное вверх. Сопротивлением воздуха пренебречь. (Ответ: m0 2m w/(w g) )

5. На столе стоит тележка массой m 4 кг. К тележке привязан один конец шнура, перекинутого через блок. С каким ускорением w будет двигаться тележка, если к другому концу шнура привязать гирю массой m2 1кг? Коэффициент трения k 0.2 .

6.Какова начальная скорость шайбы, пущенной по поверхности льда, если она остановилась через 40 с. Коэффициент трения равен 0,05.

7.Два соприкасающихся бруска скользят по наклонной доске. Масса первого

бруска m1 2 кг, масса второго бруска m2 3 кг. Коэффициент трения между бруском и доской равен k1 0,1 для бруска 1 и k2 0, 2 для бруска 2. Угол

наклона доски 450 . Определить: а) ускорение с которым движутся бруски; б) силу F , с которой бруски давят друг на друга.

постоянный вектор. Найти путь, пройденный телом за первые t секунд после начала действия этой силы. (Ответ: S a(t t0 )3 / 6m )

9. На небольшое тело массой m , лежащее на гладкой горизонтальной плоскости, в момент t 0 начала действовать сила, зависящая от времени по закону F at , где a – постоянная. Направление этой силы все время составляет угол с горизонтом. Найти: а) скорость тела в момент отрыва от плоскости; б) путь, пройденный телом к этому моменту.

10. Небольшое тело пустили снизу вверх по наклонной плоскости, составляющей угол 150 с горизонтом. Найти коэффициент трения, если время подъема тела оказалось в 2.0 раза меньше времени спуска.

11. С какой силой давит человек массой 70 кг на пол лифта, движущегося с ускорением 0,8 м/с2: 1)

вверх; 2) вниз? С каким ускорением должен двигаться лифт, чтобы человек не давил на пол? (Ответ:

740 Н; 630 Н; 9,8 м/с2)

4

Занятие 5.

Тема: Силы инерции. Закон всемирного тяготения. Космические скорости.

1.Два одинаковых однородных шара из одинакового материала, соприкасаясь друг с другом, притягиваются. Определите, как изменится сила притяжения, если массу шаров увеличить в 3 раза за счет увеличения их размеров.

2.На экваторе некоторой планеты (плотность планеты 3 г/см3) тела весят в два раза меньше, чем на полюсе. Определите период обращения планеты вокруг собственной оси.

3.Вагон под действием силы тяжести катится вдоль дороги, составляющей угол 300 с горизонтом. Сила трения составляет 10% от веса вагона. К потолку вагона на нити подвешен шарик массой 15 г. Определите: 1) силу F , действующую на нить; 2) угол отклонения нити от вертикали.

4.Самолет, летящей со скоростью 360 км/ч, описывает вертикальную петлю Нестерова радиусом 360 м. Определите силу, прижимающую летчика массой 80 кг к сиденью: 1) в нижней точке этой петли; 2) в верхней точке этой петли.

5.Тело массой 1 кг, падая свободно в течение t 6 с попадает на землю в точку с географической

широтой 300 . Учитывая вращение Земли, определите отклонение тела при его падении от вертикали.

6.Искусственный спутник Земли движется по круговой орбите на высоте 500 км. Определите скорость его движения.

7.Считая орбиту Земли круговой, определите линейную скорость движения Земли вокруг Солнца.

8.На наклонной плоскости с углом наклона 300 лежит тело. Коэффициент трения между телом и наклонной плоскостью 0,2. Определите наименьшее горизонтально направленное ускорение a , с которым должна двигаться наклонная плоскость, чтобы тело, лежащее на ней, поднималось по наклонной плоскости.

9.Определите численное значение второй космической для Луны.

10.Определите среднюю плотность Земли, считая известными гравитационную постоянную, радиус Земли и ускорение свободного падения на Земле.

после удара; 3) долю кинетической энергии шаров, превратившейся во внутреннюю энергию. Удар считать прямым, неупругим. (Ответ: u 3 м/с; T1 48 Дж; T2 18 Дж; 0, 62 )

2. Летевшая горизонтально пуля массой m попала, застряв, в тело массой M (баллистический маятник), которое подвешено на двух одинаковых нитях длиной l . В результате нити отклонились на

3. В результате лобового упругого столкновения частицы 1 массы m1 с покоившейся частицей 2, обе частицы разлетелись в противоположных направлениях с одинаковыми скоростями. Найти массу частицы 2. (Ответ: m2 3m1 )

4. После упругого столкновения частицы 1 с покоившейся частицей 2 обе частицы разлетелись симметрично первоначального движения частицы 1, и угол между их направлениями разлета 600 . Найти отношения масс этих частиц. m1 / m2 2

5

5. Ствол пушки направлен под углом 450 к горизонту. Когда колеса пушки закреплены, скорость снаряда, масса которого в 50 раз меньше пушки, v0 = 180 м/с. Найти скорость пушки сразу после выстрела, если колеса еѐ освободить.

6. Снаряд, выпущенный со скоростью v0 = 100 м/с под углом 450 к горизонту, разорвался в верхней точке О траектории на два одинаковых осколка. Один осколок упал на землю по точкой О со скоростью v1 = 97 м/с. С какой скоростью упал на землю второй осколок?

(Ответ: v 4 v02 cos2 v12 )

7. На покоящийся шар налетает со скоростью v1 = 2 м/с другой шар одинаковый с ним массой. В

результате столкновения этот шар изменил направление движения на угол 300 . Определить: 1) скорости u1 и u2 шаров после удара; 2) угол между вектором скорости второго шара и

первоначальным направлением движения первого шара. Удар считать упругим.

(Ответ: u1 v1 cos ; u2 v1 sin ; / 2 )

8. Определите, во сколько раз уменьшится скорость шара, движущегося со скоростью v1 , при его

соударении с покоящимся шаром, масса которого в n раз больше массы налетающего шара. Удар считать центральным абсолютно упругим.

Занятие 7. Контрольная работа №1

Занятие 8.

Тема: Законы сохранения импульса и энергии. Работа. Мощность.

1.Небольшая шайба соскальзывает без начальной скорости с вершины гладкой горки высоты H , имеющей горизонтальный трамплин. При какой высоте h трамплина шайба пролетит наибольшее расстояние s ? Чем оно равно? (Ответ: h H / 2 ; S H )

2.Небольшое тело массы m медленно втащили на горку, действуя силой F , которая в каждой точке направлена по касательной к траектории. Найти работу этой силы, если высота горки h , длина основания l и коэффициент трения k . (Ответ: A mg(h kl) )

3.Шайба массы m 50 г соскальзывает без начальной скорости по наклонной плоскости,

составляющей угол 300 , и пройдя по горизонтальной плоскости расстояние l 50 см, останавливается. Найти работу сил трения на всем пути, считая всюду коэффициент трения k 0.15 . (Ответ: | A | mgkl /(1 k ctg ) )

4. Тело массы m 1.5 кг, брошенное вертикально вверх с высоты h 4,9 м со скоростью v0 6 м/с, упало на землю со скоростью v 5 м/с. Определить работу сил сопротивления воздуха. (-80,2 Дж)

5.Конькобежец массой M 70 кг, стоя на коньках на льду, бросает в горизонтальном направлении гирю массой m 3 кг со скоростью v 3м/с относительно Земли. Найти, на какое расстояние S откатится при этом конькобежец, если коэффициент трения k 0.02 .

6.Маятник представляет собой прямой тонкий стержень длиной l 1.5 м, на конце которого

7. Пуля массой m 50 г, летевшая горизонтально со скоростью v0 600 м/с, ударилась в свободно подвешенной на длиной нити деревянный брусок массой m 50 кг и застряла в нем, углубившись га

6

S 10 см. Найти силу Fc сопротивления дерева движению пули. На какую глубину S1 войдет пуля,

пройдя по горизонтали путь l 35 м от основания горки. Найти коэффициент трения.( k h /(b l) )

9. Вычислить работу A , совершаемую при равноускоренном подъеме груза массой m 100 кг на

Занятие 9.

Тема: Динамика твердого тела. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. Теорема Штейнера.

1. Определить момент инерции I тонкого однородного стержня длиной l 30 см и массой m 100 г относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его: 1) конец; 2) точку,

отстоящую от конца стержня на 1/3 его длины. (Ответ: 1) I 13 ml2 310 3 кг·м2; I 19 ml2 10 3

кг·м2)

2. Два однородных тонких стержня: АВ длиной l1 40 см и m1 900 г и СД длиной l2 40 см и m2 400 г скреплены под прямым углом. Определить момент инерции I системы стержней: 1) относительно оси ОО/ , проходящей через конец стержня АВ, параллельно стержню СД; 2) когда ось

прикрепленным к одному из его концов диском массой m1 0.5m2 . Определить момент инерции I такого маятника относительно оси Oz, проходящей через точку О на стержне перпендикулярно плоскости чертежа. (Ответ: I 0,11m1l2 0,87m2l2 0,547 кг·м2)

4. Вал в виде сплошного цилиндра массой m1 10 кг насажен на горизонтальную ось. На цилиндр намотан шнур, к свободному концу которого подвешена гиря массой m1 2 кг. С каким ускорением

wбудет опускаться гиря, если еѐ предоставить самой себе? (Ответ: w 2m2 g /(m1 2m2 ) 2,8 м/с2 )

5.Через блок в виде диска, имеющий массу m 80 г, перекинута тонкая гибкая нить, к концам

6. Однородный шар массы m1 4, 0 кг движется поступательно по поверхности стола под действием

диском. Скольжение нити по блоку нет. В момент t 0 тело m2 начинает опускаться. Пренебрегая трением в оси блока, найти: 1) ускорение тела m2 ; 2) работу сил трения, действующей на тело m1 , за

8. На ступенчатый блок намотаны в противоположных направлениях две нити. На конец одной нити действуют постоянной силой F , а к концу другой нити прикреплен груз массой m . Известны радиусы R1 и R2 блока и его момент инерции I . Трения нет. Найти угловые ускорения блока.

(Ответ: (mgR2 FR1 ) /(I mR22 ) )

Занятие 10.

Тема: Динамика твердого тела. Кинетическая энергия вращающегося твердого тела.

летевшая в горизонтальном направлении со скоростью v0 500 м/с, и застревает в стержне. На какой угол отклонится стержень после удара.

2. Однородный шар массы m 5, 0 кг скатывается без скольжения по наклонной плоскости, составляющей угол 300 с горизонтом. Найти кинетическую энергию шара t 1, 6 с после начала

движения. (Ответ: T 145 mg 2t2 sin2 )

3. Сколько времени будет скатываться без скольжения обруч с наклонной плоскости длиной l 2 м и

v (10H 4h)g / 7 )

6. Маховик в виде диска массой m 50 кг и радиуса r 20 см был раскручен до частоты вращения480 мин-1 и затем предоставлен самому себе. Вследствие трения маховик остановился. Найти момент N сил трения, считая его постоянным. Маховик до полной остановки сделал n 200

оборотов. (Ответ: N mr2 2 1Н·м ) 4 2 n

7.Якорь мотора вращается с частотой 1500 мин-1. Определить вращающий момент , если мотор развивает мощность Р=500 Вт. (Ответ: N P / 2 3,18 Н·м)

8.На однородной сплошной цилиндр массы M и радиуса R плотно намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массы m . В момент t 0 система пришла в движение. Пренебрегая трением в оси цилиндра, найти зависимость от времени: 1) модуля угловой скорости цилиндра; 2)

8

9. Однородный тонкий стержень массы m1 0, 2 кг и длиной l 2 м может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси Oz, походящей через т.О. В точку А на стержне попадает пластилиновый

мезона; 2) расстояние, которое пролетел мезон в К-системе с «его точки зрения».

2.Найти скорость, при которой кинетическая энергия частицы равна еѐ энергии покоя?

3.Частица с массой покоя m0 в момент t 0 начинает двигаться под действием постоянной силы F .

Найти зависимость от времени скорости частицы и пройденного пути.

4.Найти скорость v протона, если его кинетическая энергия: 1) T 1МэВ; 2) T 1ГэВ.

5.Электрон движется со скоростью v 0,6c . Определить релятивистский импульс p электрона.

6.В лабораторной системе отчета (К-система) -мезон с момента рождения до момента распада

этого треугольника в системе отсчета, движущейся относительно него с постоянной скоростью v вдоль одной из биссектрис. Исследовать полученные результаты при v c и v c .

8. С какой скоростью двигались в К-системе отсчета часы, если за время t 5, 0 с (в К-системе) они отстали от часов этой системы на t 0,10 с?

9. Собственной время жизни некоторой нестабильной частицы t0 10 нс. Какой путь пролетит эта

частица до распада в лабораторной системе отсчета, где еѐ время жизни t 20 нс?

10. Две частицы, двигавшиеся в лабораторной системе отсчета по одной прямой с одинаковой

период колебаний, изобразить график x(t) ; 2) проекцию скорости vx как функцию координаты x ,

пружины пренебрежимо малой, найти период малых вертикальных колебаний тела. (T 2 l / g )

9

5. Частица массы m находится в однородном силовом поле, где еѐ потенциальная энергия зависит от координаты x U (x) U0 (1 cos x) , U0 и - постоянные. Найти период малых колебаний частицы около положения равновесия.

6. Частица массы m находится в однородном силовом поле, где еѐ потенциальная энергия зависит от

частицы около положения равновесия.

7. Найти круговую частоту и амплитуду гармонических колебаний частицы, если на расстояниях x1 и

Определите: 1) амплитуду колебаний; 2) циклическую частоту; 3) частоту колебаний; 4) период колебаний.

9. Материальная точка совершает гармонические колебаний с амплитудой A 4 см и периодом T 2 с. Напишите уравнение движения точки, если ее движение начинается из положения x0 2 см. 10. Тело массой m 10 г совершает гармонические колебания по закону x 0,1cos(4 t / 4) , м. Определите максимальное значение: 1) возвращающей силы; 2) кинетической энергии.

Занятие 13.

Тема: Механические колебания. Затухающие и вынужденные колебания.

1.Амплитуда затухающих колебаний за время t1 5 мин уменьшилась в 2 раза. За какое время t2 , считая от начального момента амплитуда уменьшится в 8 раз. (Ответ: t2 15 мин)

2.За время t 8 мин амплитуда затухающих колебаний маятника уменьшилась в 3 раза. Определить коэффициент затухания. (Ответ: ln(1/ 3) / t 0, 0023 1/с)

3.Амплитуда колебаний маятника длиной l 1м за время t1 5 мин уменьшилась в 2 раза. Найти

4. Пружинный маятник (жесткость пружины k , масса груза m ) совершает вынужденные колебания в

колебаний системы, характеризуемой коэффициентом затухания 400 с-1. ( p 1 2 /(2 2 02 ) )

7.Колебательная система совершает затухающие колебания с частотой 1000 Гц. Определить частоту 0 собственных колебаний, если резонансная частота рез 998 Гц. (Ответ: 0 2 2 p2 )

8.Математический маятник совершает колебания в среде, для которой логарифмический декремент затухания 0 1,5 . Каким будет значение , если сопротивление среды увеличить в n 2 раза? Во

сколько раз следует увеличить сопротивление среды, чтобы колебания стали невозможны.

10