top-book

Листок 1: Метрические пространства и норма.

Определение 1.7. Пусть V линейное пространство над R. Нормой на V называется такая функция : V ! R, что выполняются следующие свойства.

а.Для любого v 2 V имеем (v) 0. Более того, (v) > 0 для всех ненулевых v.

б. ( v) = j j (v)

в. Для любых v1; v2 2 V выполнено (v1 + v2) (v1) + (v2).

Норму вектора часто обозначают jxj или jxj.

Задача 1.11. Пусть V линейное пространство над R, и пусть : V ! R норма на V . Рассмотрим функцию d : V V ! R, d (x; y) = (x y). Докажите, что это метрика на V .

Задача 1.12 (*). Пусть d : V V ! R – метрика на V , инвариантная относительно параллельных переносов. Предположим, что d удовлетворяет условию

d( x; y) = j jd(x; y)

для всех 2 R. Докажите, что d получается из нормы : V ! R по формуле d(x; y) = (x y).

Задача 1.13. Пусть V линейное пространство над R, а : V ! Rнорма на V . Рассмотрим множество B1(0) всех точек с нормой 1. Докажите, что это множество выпукло.

Определение 1.8. Пусть V векторное пространство над R, а v ненулевой вектор. Тогда множество всех векторов вида f v; j > 0g называется лучом в V .

Определение 1.9. Центральная симметрия в V это отображение x 7! x.

Задача 1.14 (*). Пусть центрально симметричное выпуклое множество B V не содержит лучей и пересекается с каждым лучом f v; j > 0g. Рассмотрим функцию

v sup R>0 1v = B

! f 2 j 2 g

Докажите, что это норма на V . Докажите, что все нормы получаются таким образом.

Часть II. Задачи по топологии

Замечание. Эту функцию обыкновенно называют “функционал Минковского, построенный по телу”.

Задача 1.15. Пусть G абелева группа, а : G ! R функция, которая принимает неотрицательные значения, и положительные значения для всех ненулевых g 2 G. Предположим, что (a + b) (a) + (b), (0) = 0, а также что (g) = ( g) для всех g 2 G. Докажите, что функция d : G G ! R, d (x; y) = (x y) – это метрика на G.

Задача 1.16. Метрика d на абелевой группе G называется трансляционно инвариантной, если d(x + g; y + g) = d(x; y) для всех x; y; g 2 G. Докажите, что любая трансляционно инвариантная метрика d получена из некоторой функции : G ! R по формуле d(x; y) = (x y).

Определение 1.10. Зафиксируем простое число p 2 Z. Рассмотрим функцию p : Z ! R, которая ставит числу n = pkr (r не делится на p) в соответствие число p k, а p(0) = 0. Эта функция называется p-адическим нормированием на Z.

Задача 1.17. Докажите, что функция dp(m; n) = p(n m) задает метрику на Z. Эта метрика называется p-адической метрикой на Z.

Указание. Проверьте соотношение p(a + b) (a) + (b) и воспользуйтесь предыдущей задачей.

Определение 1.11. Пусть R кольцо, а : R ! R – функция, которая принимает неотрицательные значения, и положительные значения для всех ненулевых r. Предположим, что (r1r2) = (r1) (r2), а(r1 + r2) (r1) + (r2). Тогда называется нормированием кольца R. Кольцо, снабженное нормированием, называется нормированное кольцо.

Замечание. Как видно из вышеприведенных задач, нормирование на кольце R определяет инвариантную метрику на R. В дальнейшем любое нормированное кольцо будет рассматриваться как метрическое пространство.

Задача 1.18. Докажите, что p нормирование на кольце Z. Определите нормирование на Q, которое продолжает p.

Листок 1: Метрические пространства и норма.

1.2. Полные метрические пространства.

Определение 1.12. Пусть (X; d) метрическое пространство, а faigпоследовательность точек из X. Последовательность faig называется последовательностью Коши, если для каждого " > 0 найдется "-шар в X, содержащий все ai, кроме конечного числа.

Задача 1.19. Пусть faig, fbig последовательности Коши в X. Докажите, что fd(ai; bi)g последовательность Коши в R.

Определение 1.13. Пусть (X; d) метрическое пространство, а faig, fbig последовательности Коши в X. Последовательности faig и fbig называются эквивалентными, если последовательность a0; b0; a1; b1; : : :

– последовательность Коши.

Задача 1.20. Пусть faig, fbig последовательности Коши в X. Дока-

жите, что faig, fbig эквивалентны тогда и только тогда, когда lim d(ai; bi) =

i!1

0.

Задача 1.21. Пусть faig, fbig эквивалентные последовательности Коши в X, а fcig еще одна последовательность Коши. Докажите, что

lim d(ai; ci) = lim d(bi; ci)

i!1 i!1

Задача 1.22 (!). Пусть (X; d) метрическое пространство, а X множество классов эквивалентности последовательностей Коши. Докажите, что функция

faig; fbig 7!lim d(ai; bi)

i!1

задает метрику на X.

Определение 1.14. В такой ситуации, X называется пополнением X.

Задача 1.23. Рассмотрим естественное отображение X ! X, x 7!x;f x; x; x; :::g. Докажите, что это вложение, которое сохраняет метрику.

Определение 1.15. Пусть A подмножество в X. Элемент c 2 X называется предельной точкой подмножества A, если в любом открытом шаре, содержащем c, содержится бесконечное количество элементов A.

Часть II. Задачи по топологии

Задача 1.24. Дана последовательность Коши. Докажите, что у нее не может быть больше одной предельной точки.

Определение 1.16. Пусть faig последовательность Коши. Мы говорим, что faig сходится к x 2 X, или имеет предел в x (пишется

lim ai = x), если x – предельная точка faig

i!1

Определение 1.17. Метрическое пространство (X; d) называется полным, если любая последовательность Коши в X имеет предел.

Задача 1.25 (!). Докажите, что пополнение метрического пространства полно.

Определение 1.18. Подмножество A X метрического пространства называется плотным, если в каждом открытом шаре в X содержится элемент из A.

Задача 1.26. Докажите, что X плотно в X.

Задача 1.27 (!). Пусть R кольцо, снабженное нормированием . Постройте сложение и умножение на пополнении R относительно метрики, соответствующей нормированию. Докажите, что R снабжено нормированием, продолжающем нормирование на R.

Определение 1.19. Нормированное кольцо R называется пополнением R относительно нормирования .

Задача 1.28 (*). Пусть R нормированное кольцо, а R его пополнение. Предположим, что R – поле. Докажите, что R тоже поле.

Задача 1.29. Докажите, что R получено пополнением Q относительно нормирования q 7!qj. Можно ли это использовать в качестве еще одного определения R?

Определение 1.20. Пополнение Z относительно нормирования p называется кольцо целых p-адических чисел. Это кольцо обозначается

Zp.

Листок 1: Метрические пространства и норма.

Задача 1.30. Пусть (X; d) метрическое пространство, а faig после-

P

довательность точек из X. Предположим, что ряд d(ai; ai 1) сходится. Докажите, что faig – последовательность Коши. Верно ли обратное?

Задача 1.31 (!). Докажите, что для любой последовательности целых чисел ak ряд Pakpk сходится в Zp.

Указание. Воспользуйтесь предыдущей задачей.

Задача 1.32. Докажите, что (1 p)(P1 pk) = 1 в Zp.

k=0

Задача 1.33 (*). Докажите, что любое целое число, которое не делится на p, обратимо в Zp.

Определение 1.21. Пополнение Q относительно нормирования, полученного продолжением p, обозначается Qp и называется поле p-адических чисел.

Задача 1.34 (*). Дано x 2 Qp. Докажите, что x = pxk0 , где x0 2 Zp.

p

Задача 1.35 (*). Докажите, что lim n n = 1 (здесь предел берется в

n!1

R, с обычной метрикой).

Определение 1.22. Нормирование кольца R называется неархимедовым, если (x+y) max( (x); (y)) для всех x; y. В противном случае нормирование называется архимедовым.

Задача 1.36 (*). Пусть нормирование в Q. Докажите, что неархимедово тогда и только тогда, когда Z содержится в единичном шаре.

p

Указание. Воспользуйтесь пределом lim n n = 1. Оцените значение

n!1

p

n (( (x + y)n) для больших n, воспользовавшись оценкой на биномиальные коэффициенты: (Cnk) 1.

Задача 1.37 (*). Пусть неархимедово нормирование в Z. Рассмотрим множество m Z, состоящее из всех целых n с (n) < 1. Выведите из неархимедовости, что m это идеал в Z (идеал в кольце R есть подмножество, замкнутое относительно сложения и умножения на элементы из R). Докажите, что идеал m простой (простой идеал это такой идеал, что xy 2= m для всех x; y 2= m).

Часть II. Задачи по топологии

Задача 1.38 (*). Докажите, что любой идеал в Z имеет вид f0; 1m; 2m; 3m; :::g

для некоторого m 2 Z. Докажите, что любой простой идеал m в Z имеет вид f0; 1p; 2p; 3p; :::g, где p = 0; 1 либо p простое.

Указание. Воспользуйтесь алгоритмом Евклида.

Задача 1.39 (*). Пусть неархимедово нормирование Q, а

m= fp; 2p; 3p; 4p; :::g

идеал, построенный в задаче 1.37. Докажите, что существует такое вещественное число > 1, что (n) = k для каждого n = pkr, r 6...p.

Задача 1.40 (*). Пусть такое нормирование Q, что (2) 1. Докажите, что (a) < log2(a) + 1 для любого целого a > 0.

Указание. Воспользуйтесь представлением числа в двоичной системе счисления.

Задача 1.41 (*). Пусть такое нормирование Q, что (2) 1. Докажите, что (a) 1 для любого целого a > 0 (т.е. неархимедово).

Задача 1.42 (*). Пусть ai последовательность Коши рациональных чисел вида 2xn (“последовательность Коши” здесь понимается в обычном смысле, то есть как в вещественных числах). Предположим, что нормирование на Q архимедово. Докажите, что (ai) последовательность Коши.

Указание. Записав x в двоичной системе счисления, докажите, что

(x=2n) (2)log2(x)+1= (2)n (2)log2(x+1) n:

Листок 1: Метрические пространства и норма.

Задача 1.43 (*). Выведите из задачи 1.42, что любое архимедово нормирование продолжается до непрерывной функции на R, которая удовлетворяет (xy) = (x) (y). Докажите, что получается как x 7!xjj для какой-то константы > 0. Выразите через (2).

Задача 1.44 (*). Для каких > 0 функция x 7!xjj задает нормирование на Q?

Мы получили полную классификацию нормирований на Q: любое нормирование получается как степень p-адического нормирования либо модуля. Эта классификация называется теорема Островского.

Часть II. Задачи по топологии

Листок 2: Топология метрических пространств.

Определение 2.1. Пусть M метрическое пространство, X M подмножество. Подмножество X называется открытым, если оно вместе с каждой точкой содержит некоторый "-шар с центром в этой точке, и замкнутым, если дополнение к X открыто.

Задача 2.1. Докажите, что X открыто тогда и только тогда, когда для каждой последовательности faig, которая сходится к x 2 X, все ai, кроме конечного числа, содержатся в X.

Задача 2.2. Докажите, что объединение любого количества открытых множеств открыто. Докажите, что пересечение конечного числа открытых множеств открыто.

Задача 2.3. Докажите, что замкнутый шар

B"(x) = fy 2 X j d(x; y) "g

всегда замкнут.

Задача 2.4. Докажите, что множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит все свои предельные точки.

Определение 2.2. Замыкание множества A M есть объединение A и всех предельных точек A.

Задача 2.5. Дано метрическое пространство, а в нем открытый шар B"(x) и замкнутый шар B"(x). Всегда ли B"(x) замыкание B"(x)? Докажите, что замыкание любого подмножества всегда замкнуто.

Задача 2.6. Пусть A подмножество в M, не имеющее предельных точек (такое подмножество называется дискретным). Докажите, что MnA открыто.

Определение 2.3. Пусть M компактное метрическое пространство, а " > 0 число. Пусть R M таково, что M покрывается объединением всех "-шаров с центрами в R. Тогда R называется "-сетью.

Листок 2: Топология метрических пространств.

Задача 2.7. Пусть каждая последовательность в M имеет предельную точку. Докажите, что для каждого " > 0 в M найдется конечная "-сеть.

Указание. Пусть такой сети нет; тогда для каждого конечного множества R найдется точка x, отстоящая от R больше, чем на ". Присоединим x к R, воспользуемся индукцией, и мы получим бесконечное дискретное подмножество M.

Определение 2.4. Пусть X M – подмножество, а Ui M набор открытых подмножеств. Говорят, что Ui покрытие X, если X [Ui. Если из fUig выкинуть какое-то количество открытых множеств, и оно останется покрытием, то, что получится, называется подпокрытие.

Задача 2.8. Пусть M метрическое пространство, S открытое покрытие M. Пусть каждая последовательность элементов M имеет предельную точку. Докажите, что тогда существует такое " > 0, что любой шар радиуса < " полностью содержится в одном из множеств покрытия

S.

Указание. Пусть для каждого " найдется точка x", такая, что соответствующий "-шар не содержится целиком ни в одном из множеств покрытия. Возьмем сходящуюся к нулю последовательность f"ig, и пусть x предельная точка последовательности fx"i g. Докажите, что x не содержится ни в одном из множеств покрытия S.

Задача 2.9 (!). (теорема Гейне-Бореля) Пусть X M подмножество метрического пространства. Докажите, что следующие условия равносильны

а.Каждая последовательность точек из X имеет предельную точку в X.

б.Каждое покрытие X открытыми множествами имеет конечное подпокрытие.

Указание. Чтобы вывести (а) из (б), воспользуйтесь задачей 2.6. Чтобы вывести (б) из (а), возьмем любое покрытие S, число " из задачи 2.8 и конечную "-сеть. Каждый из шаров "-сети содержится в каком-то из элементов Ui 2 S. Докажите, что fUig конечное подпокрытие.

Часть II. Задачи по топологии

Определение 2.5. Пусть M, M0 метрические пространства, а f : M ! M0 функция. Функция f называется непрерывной, если f переводит любую последовательность, сходящуюся к x, в последовательность, сходящуюся к f(x), для каждого x 2 M.

Задача 2.10 (!). Пусть X любое подмножество в M. Докажите, что

f

функция f : M ! R, x 7!d(fxg; X), непрерывна, где d(fxg; X) (расстояние от x до X) определяется как d(fxg; X) := infx02X d(x; x0).

Определение 2.6. Пусть M метрическое пространство, X M – подмножество. Говорят, что подмножество X компакт, или компактное множество, если выполнено любое из условий задачи 2.9. Заметим, что это условия не зависит от вложения X ,! M, а зависит только от метрики на X.

Задача 2.11 (!). Рассмотрим пополнение Z относительно нормы p, определенное выше (оно называется “кольцо целых p-адических чисел” и обозначается Zp). Докажите, что оно компактно.

Указание. Докажите, что любое p-адическое число можно представить в виде Paipi, где ai целое число от 0 до p 1.

Задача 2.12. Докажите, что компактное подмножество M всегда замкнуто.

Указание. Докажите, что оно содержит все свои предельные точки.

Задача 2.13. Докажите, что замкнутое подмножество компакта всегда компактно.

Задача 2.14. Докажите, что объединение конечного числа компактных подмножеств компактно.

Задача 2.15 (!). Пусть f : X ! R непрерывная функция на компакте. Докажите, что f достигает максимума.