top-book

1. Содержание

2.3.Как читать эту книгу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.4.Важное замечание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3.Отношения эквивалентности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.4.Аксиоматическая теория множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.1.Теорема Кантора-Бернштейна-Шредера . . . . . . . . . . . . . . 34

3.2.Мощность множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.3.Счетные множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.4.Диагональный метод Кантора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.5.Континуум-гипотеза . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.1.Сечение отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.2.Аксиоматическая теория множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.3.Аксиома выбора и ее конкуренты . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

1.1.Метрические пространства, выпуклые множества, норма. . . . . 58

1.2.Полные метрические пространства. . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.1.Компакты и произведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5.2.Теорема Тихонова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5.3.Основная теорема алгебры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

8.4.Фундаментальная группа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

8.5.Односвязные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

8.6.Накрытия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

9.1.Накрытия Галуа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

9.2.Накрытия линейно связных пространств . . . . . . . . . . . . . . 139

9.3.Существование универсального накрытия . . . . . . . . . . . . . 142

1. Содержание

1.4.Арифметика p-адических чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

1.5.Библиография, замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

2.1.Примеры нормированных пространств . . . . . . . . . . . . . . . 169

2.2.Непрерывные отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

2.3.Выпуклые множества и норма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

2.4.История, замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

3.2.Историческое отступление:

работы Хаусдорфа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

3.5.Историческое отступление:

расстояние Громова-Хаусдорфа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

4.1.Пространство с внутренней метрикой . . . . . . . . . . . . . . . . 192

4.2.Локально компактные метрические пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

4.3.Геодезические в метрическом пространстве . . . . . . . . . . . . 197

6.3.Произведение метрических пространств . . . . . . . . . . . . . . 210

6.4.Полуметрики и полунормы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

6.5.Тихоновская топология . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

6.6.Пространства Фреше . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

6.7.Тихоновский куб и гильбертов куб . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

6.8.История, замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

7.2.Функции Урысона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

7.3."Создатель советской топологии" . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

7.4.Нормальные пространства и нуль-множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

7.5.Теорема Урысона о метризации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

8.1.Компакты и слабо секвенциально компактные пространства . . 233

8.2.Компакты и нормальные пространства . . . . . . . . . . . . . . . 236

9.2.Конечные произведения компактов . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

9.3.Максимальные идеалы в кольцах . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

10.1.Банаховы пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

10.2.Примеры пространств Фреше . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

11.1.Топология равномерной сходимости на C(X; Y ) . . . . . . . . . . 262

11.2.Tопология, заданная окрестностями графика . . . . . . . . . . . 264

12.1.Свойства связных подмножеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

12.2.Компоненты связности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

1. Содержание

12.3. Линейная связность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

13.1.Примеры вполне несвязных пространств . . . . . . . . . . . . . . 274

13.2.Пространства Стоуна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

14.2.Теория категорий: история, замечания . . . . . . . . . . . . . . . 283

14.3.Булевы кольца и булевы алгебры . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

14.4.Спектр Зариского для булева кольца . . . . . . . . . . . . . . . . 287

14.5.Булевы алгебры: история, замечания . . . . . . . . . . . . . . . . 292

15.1.Гомотопные отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

15.2.Категория пространств с отмеченной точкой и пространства петель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

15.3.Фундаментальная группа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

15.4.Стягиваемые пространства, ретракты, гомотопическая эквивалентность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 15.4.1. История, замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

16.3.Односвязные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

16.4.Поднятие накрытия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

16.7.Накрытия Галуа и группа Галуа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

16.8.Теория Галуа для накрытий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

16.9.Универсальное накрытие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 16.10.Этальная фундаментальная группа . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 16.11.История, замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

17.2.Категория накрытий и фундаментальная группа . . . . . . . . . 334

17.3.Как восстановить фундаментальную группу по категории на-

17.8.История свободной группы и копроизведений . . . . . . . . . . . 344

17.9.Теорема Зейферта–ван Кампена . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 17.10.История, замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347

18.2.Деревья . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352

18.3.Унициклические графы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355

18.4.Фундаментальная группа графа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357

0.1.Фундаменальные последовательности. . . . . . . . . . . . . . . . 361

0.2.Дедекиндовы сечения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365

0.3.Супремум и инфимум. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366

0.4.Корни многочленов нечетной степени. . . . . . . . . . . . . . . . 367

0.5.Пределы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368

0.6.Ряды. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370

2. Введение

Введение

2.1. Краткое описание

Эта книга рассчитана на школьника или студента младших курсов, знакомого с основами математического мышления (хорошего школьного учебника математики достаточно).

Можно читать ее по частям или целиком; например, решать задачи, пропуская текст лекций. "Геометрическая" часть задач и лекций (первый том) не очень связана с алгебраической (второй том), а лекции дополняют листки с задачами. Задачи разбиты на две группы (простые задачи без звездочки и сложные со звездочкой), можно решать либо все простые задачи, либо все сложные, либо и те и другие.

Программа курса в немалой степени основана на программе матшколы, и содержит материал, который в общих чертах известен хорошему матшкольнику. Полный курс состоит из двух частей, алгебры и геометрии. В этом томе читатель найдет задачи и лекции по геометрии и топологии. В приложении приводятся необходимые определения и задачи по основам анализа (определение поля вещественных чисел).

Геометрия (1-й том):

0. Метрические пространства. Последовательности Коши, пределы, пополнение метрических пространств. Теорема Хопфа-Ринова. Геодезические в полных метрических пространствах. Векторные пространства с нормой.

1. Теоретико-множественная топология (определение непрерывных отображений, компактность, отделимость, счетная база).

2. Лемма Урысона и теорема о метризации нормального топологического пространства со счетной базой.

3. Теорема Тихонова о компактности, равномерная сходимость, теорема Арцела-Асколи. Конструкция кривой Пеано.

4. Фундаментальная группа, свободные группы, гомотопическая эквивалентность, накрытия Галуа, конструкция универсального накрытия.

Алгебра (2-й том):

0. Группы, кольца, поля. Действительные и комплексные числа. Теорема Евклида-Гаусса об однозначности разложения на простые множители. Решение простейших диофантовых уравнений.

1. Конечномерные векторные пространства. Базис, размерность. Билинейные, полилинейные формы, двойственные пространства. Определение тензорного произведения векторных пространств. Симплектические и квадратичные формы.

2. Грассманова алгебра и определители.

3. Линейные операторы. Полупростота, нильпотентность. Теорема Кэли-Гамильтона. Жорданова нормальная форма.

3. Алгебраические расширения полей. Артиновы коммутативные алгебры. Расширения Галуа.

4. Представления конечных групп.

5. Основная теорема теории Галуа.

Последние 3-4 листка по геометрии и по алгебре повторяют друг друга, местами дословно. Дело в том, что группа Галуа устроена аналогично фундаментальной группе, а накрытие топологического пространстваконечному расширению полей. Пользуясь этой аналогией, Гротендик построил фундаментальную группу, пользуясь только алгебраическими методами (этот раздел математики называется этальной геометрией).

В. И. Арнольд прочел основанный на этой аналогии курс теории Галуа в физико-математическом интернате 18; впоследствии его лекции были записаны В. Б. Алексеевым ("Теорема Абеля в задачах и решениях").

В силу того, что методы топологии и алгебры в этих разделах столь схожи, теорию Галуа, фундаментальную группу и накрытия можно (и

2. Введение

нужно) изучать по одному плану. Взаимовлияние алгебраических и геометрических идей это магистральное направление всей математики (а в последнее время и теоретической физики), а математик, который владеет только одним из этих аппаратов, не лучше инвалида.

Материал этой книги должен быть в общих чертах известен хорошему матшкольнику и продвинутому первокурснику-математику.

Кроме этого, первокурсник должен знать основы анализа; их можно почерпнуть в учебнике В. А. Зорича "Математический анализ" и в учебнике Лорана Шварца "Анализ".

В этой книге анализа нет, потому что (в отличие от алгебры и геометрии) преподавание анализа на первом курсе университета ведется весьма интенсивно, и начала анализа непрерывных и гладких функций на прямой худо-бедно усваивает каждый студент. К тому же, изложить математический анализ в задачах не так просто.

Соавтором и редактором листочков с задачами был Дмитрий Каледин, которому автор безмерно благодарен. Спасибо Марине Прохоровой за редакторскую работу над задачами и А. Х. Шеню за ряд ценных замечаний. Структура книги отражает программу, составленную А. Х. Шенем, В. А. Гинзбургом и другими преподавателями маткласса 57 школы, где учился автор. Другим источником идей и вдохновения были учебники "Теорема Абеля в задачах и решениях" Алексеева и "Теоремы и задачи функционального анализа" Кириллова и Гвишиани.

2.2. Матклассы: обучение по листочкам

В 1970-е в московских матшколах кристаллизовалась необычная форма обучения математике. Ее возникновение обыкновенно связывают с именем Н. Н. Константинова, который работал в 57, 91 и 179 школах. По этой системе выучились сотни матклассов, и каждый преподаватель вносил нечто свое в программу и в подход к обучению. Самым известным на настоящий момент практиком матшкольного обучения по листочкам является Б. М. Давидович, завуч московской школы 57; автора этой книги учили А. Х. Шень, В. А. Гинзбург, Б. П. Гейдман и А. Ю. Вайнтроб, и он благодарен им сверх всякой меры.

Здесь был бы уместен исторический очерк матшкольного образования, но пока придется ограничиться этим куцым сообщением. Автор заранее приносит извинения всем, кого он не упомянул.

Николай Николаевич Константинов

Система эта в канонической форме устроена так. Обучение математике в матклассе разбито на два параллельных предмета. Обычная математика (алгебра и геометрия) преподается в рамках школьной программы и сверх того, при этом форма обучения не отличается от привычной чиновникам РОНО и проверяющим комиссиям. Параллельно с этим, профессиональные математики, аспиранты и студенты, не числящиеся формально учителями, ведут уроки “специальной математики”, или же “матанализа”. Часы делятся примерно поровну, но само обучение “специальной математике” мало соотносится со школьной программой, и занятия устроены принципиально иначе.

На уроках “специальной математики” никто не стоит у доски с указкой и мелом; все (или почти все) общение школьника с преподавателями ведется за партой и тет-а-тет, либо в походах. Школьникам выдается листок с задачами, обыкновенно по одному или два в неделю; через какое-то время после выдачи листочка, студенты должны “сдать задачи”, то есть рассказать их преподавателям на уроке. При такой системе