Действительно, пусть дифференциал функции ( 1, . . . , ),> 2, не равен нулю тождественно, т.е. среди е¨ частных производных есть отличные от нуля. Рассмотрим равенство

∑ ∂

∂ (x) = 0 (12.1.9)

=1

как линейное уравнение с неизвестными 1, . . . , . Уравнение (12.1.9) имеет ненулевые решения. Поэтому, для приращенияx = ( 1, . . . , ), где набор 1, . . . , является ненулевым решением уравнения (12.1.9), получим согласно (12.1.2)

= (| x|), x → 0.

Таким образом, в этом случае дифференциал не да¨ет никакой информации о знаке приращения функции.

§ 12.2. Касательная плоскость

Выясним геометрический смысл частных производных и полного дифференциала функций многих переменных.

Пусть задана функция переменных ( 1, . . . , ). Рассмотрим в пространстве E +1 множество точек с координатами ( 1, . . . , , ( 1, . . . , )). Это множество называется графиком функции = ( 1, . . . , ).

При определении частной производной

В этой плоскости, точки которой характеризуются координатами ( 1, ), рассматривается кривая, являющаяся графиком функции

= ( 1, 0, . . . , 0 ).

2

Согласно сказанному в § 5.2 существование производной функции ( 1, . . . , ) по переменной 1 равносильно существованию касательной к графику этой функции в точке 01, а значением производной является тангенс угла наклона касательной к оси1, прич¨ем угол берется со знаком + или −.

Это показывает геометрический смысл частных производных.

Выясним теперь, какому геометрическому свойству соответствует дифференцируемость функции многих переменных.

График функции = ( 1, . . . , ), т.е. множество точек ( + 1)-мерного пространства E +1 = {( 1, . . . , , )}, имеющих координаты

( 1, . . . , , ( 1, . . . , )),

будем назвать поверхностью в этом пространстве. Обозначим е¨. Подробно о поверхностях будет говориться в главе 22, сейчас достаточно интуитивных представлений.

( 1, . . . , , ( 1, . . . , )) поверхности до плоскости обозначим через ( , ). Плоскость называется касательной к поверхности в точке 0, если

( , ) = ( ( , 0)), ( , 0) → 0, (12.2.1)

где ( , 0) – расстояние точки до 0.

Напомним, что подобным образом может быть определена касательная к кривой на плоскости, см. (5.2.9).

Теорема 12.2.1. Функция ( 1, . . . , ) дифференцируема

касательная плоскость к поверхности = ( 1, . . . , ). Если такая касательная плоскость существует, то она опре-

деляется однозначно и имеет уравнение

Доказательство. Предположим, что касательная плоскость, о которой говорится в теореме, существует. Обозначим эту плоскость и пусть

∑

=1

С помощью неравенства Коши–Буняковского (6.8.4) и (12.2.4) находим

Поэтому из (12.2.8) следует, что

из которые следует, что уравнение касательной плоскости (12.2.3) имеет вид (12.2.2).

оси касательная плоскость, то функция ( 1, . . . , ) дифференцируема в этой точке и (12.2.2) является уравнением касательной плоскости.

Докажем теперь, что если функция ( 1, . . . , ) дифферен-

цируема в точке ( 0, . . . , 0 ), то плоскость (12.2.2), которую обо-

1

значим , является касательной к графику функции = ( 1, . . . ,