Самарченко Лабораторный практикум Оптика 1ч

ской поверхности не превышает 0,005λ. Зазор (обычно 1 — 100 мм) между пластинками, и их параллельность обеспечивается проложенным между ними кольцом. Внешние поверхности пластинок обычно изготовляются под небольшим углом (см. рис. 18) по отношению к рабочим внутренним. Это делается для того, чтобы отражения от внешних поверхностей не мешали измерениям. Таким образом, ИФП можно рассматривать как плоскопараллельную пластинку, на которой происходят многократные отражения и многолучевая интерференция.

Существуют и другие конструкции ИФП. Показанный на рис. 19, ИФП представляет собой плоскопараллельную стеклянную пластинку с нанесенными на обе стороны отражающими диэлектрическими покрытиями. Такой вариант исполнения ИФП имеет важное преимущество, заключающееся в жесткости конструкции, и не требует предварительной юстировки. Роль воздушного зазора в этом случае выполняет сама стеклянная пластинка.

Рис. 19

81

Познакомившись с особенностями конструкции ИФП, перейдем к исследованию условий интерференционного усиления света на выходе из ИФП. Рассмотрим сначала случай плоской монохроматической волны, падающей слева на ИФП под углом θ (см. рис. 19). Эта волна будет частично проникать внутрь, преломляясь на левой грани пластинки и частично отражаться. Волна, преломленная на левой грани пластинки, и волна, отраженная от нее, остаются плоскими. Отраженная волна нас не будет интересовать, поскольку она не участвует в формировании интерференционной картины справа от пластинки. Волна, проникшая внутрь пластинки, будет частично выходить из нее, преломляясь на правой грани, и частично отражаться от нее. Отраженная волна будет распространяться по направлению к левой грани пластинки, частично отражаться от нее, частично выходить наружу и т.д. В результате, между гранями пластинки формируется совокупность волн, обусловленных многократными отражениями от граней пластинки. Прохождение волной промежутка между гранями пластинки приводит к набегу фазы. Рассмотрим совокупность плоских волн, распространяющихся в направлении к правой грани пластинки. Сдвиг фазы любой из них кратен одной и той же величине, которую легко найти из геометрии задачи. Рассмотрим луч 1 на рис. 19, отвечающий волне прошедшей через пластинку интерферометра. Луч 2 возникает вследствие однократного отражения от правой и левой граней пластинки. Аналогично, луч 3 возникает при двукратном отражении на правой и левой гранях пластинки и т.д. Оптическая разность хода лучей 1 и 2 равна:

Здесь n — показатель преломления пластинки. Из геометрии рисунка следуют соотношения:

Из этих соотношений с использованием закона преломления (16) sin θ = n sin θ′ получим:

82

Оптическая разность хода лучей 2 и 3 и остальных, не изображенных на рисунке пар лучей, очевидно, равна этой же величине. Отметим также, что при каждом отражении происходит небольшое (вследствие незначительного отличия коэффициента отражения от 1) уменьшение амплитуды волны. Условие интерференционного усиления заключается в том, что разность хода должна быть кратна длине волны, т.е.

где m — целое число, называемое порядком интерференции. При выполнении условия (82) лучи, вышедшие за правую грань пластинки, будут интерференционно усиливать друг друга. Вышедший из ИФП пучок параллельных лучей 1, 2, 3, и т.д. пересекается в бесконечно удаленной точке. Эту точку можно придвинуть на конечное расстояние, поместив за ИФП собирающую линзу (рис. 20). Тогда вышедшие из ИФП параллельные лучи после прохождения линзы соберутся в соответствующей точке фокальной плоскости.

Рис. 20

Обычно в опытах с ИФП θ <<1. Поэтому с приемлемой точностью можно разложить cos θ' в формуле (81) в ряд Тейлора по ма-

83

лому параметру θ' . В результате получаем условие интерференционного усилении:

При выводе (83) мы воспользовались законом преломления (16), связывающим θ' и θ, и, кроме того, учитывая малость углов, заменили их синусы величиной самих углов.

Перейдем теперь к случаю, когда на ИФП падает расходящийся пучок лучей. Среди лучей расходящегося пучка есть и такие, для которых выполнено условие интерференционного усиления (83). Совокупность лучей, падающих на пластинку ИФП под углом θ, образует поверхность конуса. Соответственно этому в фокальной плоскости линзы образуется светлое кольцо, точки которого видны под углом θ из центра линзы (см. рис. 20). Для другого значения m интерференционную картину в виде светлого кольца сформируют лучи, идущие уже под другим углом θ, снова определяемым условием (83). Таким образом, интерференционная картина полос равного наклона в рассматриваемом случае представляет собой совокупность концентрических колец, соответствующих разным порядкам интерференции. Причем больший порядок интерференции соответствует меньшим углам, как это следует из (83).

3.ДИФРАКЦИЯ СВЕТА

3.1.Дифракция световых волн

Дифракцией света называется совокупность явлений, наблюдаемых при распространении света в среде с резкими неоднородностями и связанных с отклонениями от законов геометрической оптики.

Например, при прохождении света через непрозрачный экран Э1 с отверстием на экране Э2, согласно законам геометрической оптики, должна находиться освещенная область, резко ограниченная тенью (указана штриховкой на рис. 21). Вследствие дифракции, на экране Э2 получается сложное распределение интенсивности I,

называемое дифракционной картиной.

84

Расстояние LД, на котором дифракционное уширение становится сравнимым с начальным размером пучка, называется длиной ди-

На расстояниях

L LД d 2/λ

имеем общий и наиболее сложный для анализа вид дифракции, называемый дифракцией Френеля. На больших расстояниях от диа-

фрагмы L >> LД размер пятна hД >> d . В этом случае распределение интенсивности на экране Э2 и расчет дифракционной картины существенно упрощаются. Лучи, идущие от открытых участков экрана Э1 в произвольную точку P экрана Э2, можно считать параллельными, а приходящую в точку P волну — плоской. Такой вид дифракции называют дифракцией Фраунгофера или дифракцией в параллельных лучах.

Область за экраном Э1 можно разбить на три участка:

1)L << LД; d 2/λL >> 1 — область геометрической оптики;

2)L LД; d 2/λL 1 — область дифракции Френеля или ближняя зона дифракции;

3)L >> LД; d 2/λL << 1 — область дифракции Фраунгофера или дальняя зона дифракции.

3.2. Принцип Гюйгенса — Френеля

Всякая дифракционная задача, если ее рассматривать строго, сводится к нахождению решения уравнений Максвелла, удовлетворяющего соответствующим граничным условиям. Однако в такой строгой постановке задачи, ввиду их сложности, допускают аналитические решения лишь в простейших случаях. В оптике, ввиду малости длин волн, большое значение имеют приближенные методы решения дифракционных задач, основанные на принципе Гюйгенса в обобщенной формулировке Френеля и Кирхгофа.

Согласно принципу Гюйгенса каждую точку волнового фронта можно считать центром вторичного возмущения, которое вызывает элементарные сферические волны, а волновой фронт в любой более поздний момент времени — огибающей этих волн. Этот принцип

86

дает качественное объяснение поведению света в ряде волновых оптических явлений и, в частности, явлению проникновения света в область геометрической тени. Френель смог объяснить явление дифракции, дополнив принцип Гюйгенса утверждением, что вторичные волны интерферируют между собой. Такое сочетание теории Гюйгенса и принципа суперпозиции называется принципом Гюйгенса — Френеля.

Рассмотрим распространение света в однородной изотропной среде. Будем характеризовать световое поле, например, напряжен-

ностью электрического поля E . Каждая из его проекций Ei удовлетворяет волновому уравнению (см. разд. 1.1):

Для монохроматической расходящейся сферической волны решение (87) имеет вид:

где ω — частота света; k = ω /v = 2π/λ — волновое число. В дальнейшем будем использовать уравнение (88) в комплексной форме:

где A = ar0 eikr — комплексная амплитуда колебаний поля в дан-

ной точке. Для плоских волн колебания напряженности E будут

также определяться (89) с амплитудами A = A0 eikr (см. разд. 1.2).

Интенсивность волны определяется квадратом модуля амплитуды колебаний (см. разд. 1.4):

87

Пусть Σ (рис. 22) — мгновенное положение сферического волнового фронта с радиусом r0, распространяющегося от точечного источника P0. Определим амплитуду колебаний поля AP в точке P.

Амплитуду колебаний в точке Q волнового сферического фронта представим в виде a0exp(ikr0)/r0. В соответствии с принципом Гюйгенса — Френеля каждый элемент волнового фронта рассматривается как центр вторичных когерентных сферических волн; вклад в амплитуду dAP, вносимый элементом поверхности dΣ, на котором располагается точка Q, запишем в виде

где s = QP, K(ϕ) — коэффициент наклона, описывающий изменение амплитуды вторичных волн в зависимости от направления, а ϕ — угол между нормалью в точке Q и направлением QP (угол ди-

фракции).

Коэффициент наклона K(ϕ) был введен Френелем как феноменологический коэффициент, имеющий следующие свойства. Модуль K(ϕ) максимален при ϕ = 0 и монотонно убывает с увеличением угла ϕ.

Рис. 22

88

Из теории Кирхгофа, основанной на том, что напряженность поля световой волны удовлетворяет волновому уравнению (87), следует для сферической волны

При малых углах дифракции ϕ << 1 можно положить cosϕ ≈ 1 и

K(ϕ) ≈ K(0) = − ik/2π.

3.3. Зоны Френеля

Разобьем поверхность Σ на такие области, чтобы расстояние от краев каждой области до точки P отличалось на половину длины волны λ/2 — такие участки волновой поверхности называются зонами Френеля. Построим вокруг точки P сферы с радиусами

b, b + λ/2, b + 2λ/2, b + 3λ/2, ..., b + mλ/2, ... и т.д.,

где b = CP, а С — точка пересечения P0P с волновым фронтом Σ, m — номер зоны Френеля (см. рис. 22).

Расстояния b и r0 велики по сравнению с длиной волны света λ, тогда коэффициент наклона в пределах одной зоны Френеля можно считать постоянным. Разобьем поверхности зон на узкие кольца, расстояние от границ которых до точки P отличается на величину ds. Используя теорему косинусов:

s2 = (b + r0)2 + r02 − 2(b + r0) r0cosθ,

получим:

sds = (b + r0) r0sinθdθ.

Площадь узкого кольца

dΣ = 2π r 2 sin θdθ = 2πr sds .

0 0 r0 + b

Подставив dΣ в (91), найдем вклад в амплитуду dAP, от узкого кольца:

где Km — среднее значение коэффициента наклона в пределах m-й зоны Френеля.

89

Амплитуду колебаний APm, созданную одной m-й зоной Френеля в точке P, найдем, проинтегрировав (93) по расстоянию s от

Коэффициент наклона K(ϕ) медленно убывает с ростом номера зоны и для последней N-й зоны Френеля, когда ϕ → π, согласно

(92), KN = 0.

Амплитуда AP от всех зон Френеля равна амплитуде колебаний А, созданной точечным источником на расстоянии b + r0:

При малых углах дифракции ϕ << 1, как следует из формулы (92), коэффициент Km можно положить равным значению коэффициента наклона при ϕ = 0:

т.е. приблизительно в два раза больше по модулю амплитуды колебаний А от всего волнового фронта. Множитель (−1)m+1 в (95) по-

казывает, что четные и нечетные зоны создают в точке P противоположные по фазе колебания.

Для решения дифракционных задач часто применяют графические методы сложения амплитуд. Построим векторную диаграмму колебаний, создаваемых волновым фронтом Σ. Разобьем поверхность Σ на такие узкие кольцевые зоны, аналогичные зонам Френеля, но гораздо меньшие по ширине, чтобы разность фаз dδ вторичных волн, пришедших от любых соседних колец, была одинакова. Так как dδ = kds, то одинаковым dδ соответствуют одинаковые ds, и согласно (93) кольца создают почти равные амплитуды колебаний.

90