Lineynye_operatsii

3.1. Корневые векторы и корневые подпространства

81

является подпространством и x U ,

0 I (x) U , то

(x) U. Теорема 3.2 доказана.

1 x1 2 x2

r 1 xr 1

r xr

(3.1)

возможно только в случае 1 2

r 0. Применим к ра-

венству (3.1)

оператор I mr 1 .

В силу линейности

этого

0

оператора и с учетом того, что I mr 1 , имеем:

0

I mr 1

(x )

2

I mr 1

(x )

1

0

1

0

2

82

Глава 3. ЖОРДАНОВА НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА МАТРИЦЫ

...

r 1

I

mr 1 (x

)

r

I mr 1

(x ) .

0

r 1

0

r

Из

определения

корневого

вектора

следует, что

0 I s xi при

s mi , поэтому

В результате получаем r 0 I mr 1 xr

, а

так

как

0 I mr 1 xr ,

то r 0 . Подставляя r

0 в (3.1),

по-

лучаем

1x1

2 x2

r 1xr 1 .

(3.2)

Применяя к равенству (3.2)

оператор 0 I mr 1 1

и проводя

аналогичные рассуждения, находим r 1 0. Повторяя

эту проце-

дуру (последовательно

применяя к получаемому на каждом шаге

1 2

r 0 . Теорема 3.3 доказана.

Утверждение 3.3. Пусть

x0 корневой

вектор оператора ,

отвечающий

собственному

значению 0 ,

высоты

m, тогда

0 I x0 , 0 I 2 x0

, …, 0 I m 1 x0

корневые

высоты m 1 , m 2 , …, 1, соответственно.

Доказательство.

Рассмотрим, например,

элемент

y0 0 I x0 .

Имеем

3.1. Корневые векторы и корневые подпространства

83

Теорема

3.4. Пусть 0 собственное значение оператора

L(V ,V ).

Пространство V раскладывается в прямую сумму

корневого подпространства V 0

и подпространства L, в котором

у оператора нет собственного

значения 0 , т.е. V V 0 L .

Доказательство. Пусть V 0

V. Покажем, что в этом случае

значению

. Тогда для любого x V 0

I p x , а для

0

0

условие I i x .

Введем

оператор I p

. Как

0

0

84

Глава 3. ЖОРДАНОВА НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА МАТРИЦЫ

гда,

когда V 0

L . Будем доказывать от противного. Пусть

x : x V 0

Ker ,

x L Im .

Так

как

x V 0 ,

то

0 I p x ,

а

так

как

x Im , то

x V :

x x 0 I p x.

Элемент x

удовлетворяет

условиям:

0 I p x x ,

0 I 2 p x 0 I p x .

Это озна-

чает, что x − корневой вектор высоты больше, чем p ,

а это

про-

тиворечит тому, что

p − максимальная высота корневого вектора.

Следовательно, V 0

L . Таким

образом, согласно

теореме

1.15,

сумма

V 0 L

прямая.

Кроме

того,

из

условия

V 0

L вытекает, что подпространство L не содержит соб-

3.1. Корневые векторы и корневые подпространства

85

Следовательно, V 0 L V. Теорема 3.4 доказана.

Следствие. Если в n -мерном линейном пространстве V

ли-

нейный оператор имеет только одно собственное значение

0

и его алгебраическая кратность равна n , то V V 0 .

Доказательство. Покажем,

что в этом случае L . Будем

доказывать от

противного. Пусть L .

Выберем

в подпро-

странствах V 0

и L базисы 1

e11 ,

el1 и

2 e12 ,

el2 ,

со-

1

2

ответственно. Так как V V 0

L, то базис V есть объединение

су 2 :

e11 a111 e11

al11el1 ,

1

1

…………………………..

el1

a11l e11

al1l

el1 ,

1

1

1 1

1

e12 a112 e12

al2 1el2

,

2

2

……………………………

el2

a12l e12

al2l

el2 .

2

2

2 2

2

86

Глава 3. ЖОРДАНОВА НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА МАТРИЦЫ

Следовательно, в базисе

матрица оператора имеет блочно-

диагональный вид

A

A1

,

A 2

ai

...

ai

11

1li

где Ai

.

.

.

, i 1, 2 .

a

i

...

a

i

li 1

lili

Запишем характеристический многочлен оператора :

Pn

( ) det A E

A1 - E1

A 2 - E2

det A1 E1 det A2

E2 ,

здесь Ei

единичная матрица порядка li , i 1, 2 .

Так как в подпространстве L у оператора нет собственного

значения

0 ,

то

det A2 0E2 0. Следовательно,

0 является

корнем многочлена det A1 E1 ,

имеющего степень l1 .

С другой стороны, так как

алгебраическая кратность 0 равна

Тогда l1 n , а так как

l1 n , то l1

n и, следовательно, l2

0 .

Получили противоречие. Значит L , а V V 0 .

Пример 3.2. Найдем корневые подпространства линейного опе-

ратора, заданного в некотором базисе матрицей

3

3

1

A

-1

0

0

.

0

1

3

3.1. Корневые векторы и корневые подпространства

87

3-

3

1

det A E

-1

-

0

2 3

0 .

0

1

3-

Pn ( )

оператора L V ,V имеет вид

P ( )

1 n

n1 n2

nk ,

n

n n,

n

1

2

k

1

k

т.е. 1

, 2

, …, k собственные

значения оператора , а n1 ,

разлагается в прямую сумму корневых подпространств V 1 ,

V 2 , …, V k :

V V 1 V 2 V k ,

причем dimV

i n , i 1, , k.

i

Доказательство. По теореме 3.4 пространство V раскладыва-

подпространства L2 , в котором оператор

не имеет

собствен-

ных значений 1 и 2 :

L1 V 2 L2 . Тогда V V 1 V 2 L2.

Повторяя

эту

процедуру

k

раз,

получим

88

Глава 3. ЖОРДАНОВА НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА МАТРИЦЫ

k

k

V V 1

V 2

V k L .

Покажем,

что

L

,

а

dimV i

n ,i 1,

, k. Будем

доказывать от

противного.

Пусть

i

k

. Выберем в подпространствах V 1

,

V 2

, …, V k

k

L

и L

базисы i

e1i ,

eli , i 1, 2,

, k 1. Так как пространство V

i

является прямой суммой этих подпространств, то базис V

есть

объединение базисов V 1 , …, V k

и

L

:

1 2

k 1.

Рассмотрим матрицу оператора

k

в базисе . В силу инвариант-

ности подпространств V 1

, V 2

, …, V k

и

L

относительно опе-

k

ратора образы базисных элементов из базиса i

раскладывают-

ся по базису i :

e1i a11i

e1i

ali

1eli

,

i

i

…………………………..

eli a1il

e1i

ali l

eli , i 1, 2,

, k 1.

i

i

i i

i

Следовательно, в

базисе

матрица оператора имеет блочно-

диагональный вид

A1

A2

A

,

.

.

.

.

Ak 1

ai

ai

где Ai

11

1li

i 1, 2,

, k 1.

. .

.

,

a

a

i

i

li 1

lili

Запишем характеристический многочлен оператора :

Pn ( ) det A

E

det A1 E1 det A2 E2

det Ak 1

Ek 1 .

3.1. Корневые векторы и корневые подпространства

89

Здесь Ei единичная матрица порядка li , i 1, 2,

, k 1. Так как

в подпространствах V 2 , …, V

k , L

нет собственного значения

k

1, то det Ai 1Ei 0 при

i 2,

, k 1. Следовательно, 1

подпространств V 2 ,...,V k , получим

l n ,

i 2,

, k. Отсюда

i

i

следует, что

l1 l2

lk

n1 n2

nk

n . С другой сто-

роны,

l1 l2

lk

lk 1 n .

Это

возможно

тогда и

только тогда,

когда

lk 1 0 , l1

n1,

l

n

, …,

l

n

. Откуда следует, что

dimV i

n , i 1,

, k ,

2

2

k

k

i

Lk

. Теорема 3.5 доказана.

Следствие.

Максимальная высота

p корневого вектора опера-

тора , отвечающего собственному значению

0 , не превосходит

его алгебраической кратности n0 .

Доказательство.

Пусть x0 корневой вектор

оператора ,

отвечающий собственному значению 0 , высоты p,

тогда по тео-

реме 3.3 x , I

x ,

I 2

x

, …, I p 1 x

0

0

0

0

0

0

0

нейного оператора . Пусть 0 собственное значение опера-

тора

алгебраической кратности

n ,

V 0 отвечающее ему

0

корневое подпространство, dimV 0

n . Выберем в V 0

базис .

0

Обозначим через A матрицу оператора

в этом базисе, тогда

V 0 Ker 0 I p Ker A 0E p ,

где

p пока неизвестная нам максимальная высота

корневого

в этом базисе. Запишем определение Ker A 0E p :

: A 0E p 0 .

Ker A 0E p

Таким образом, корневое

подпространство V 0 является про-

ских

уравнений A 0E p 0 ,

где

p n .

Так как

размер-

0

ность

пространства решений

однородной

системы

равна

n rang A 0E p , то число

p находится из условий

n rang A E p 1 n

0

0

p

n0 .

n rang A 0E

Заметим, что пространства

Ker A 0E i : A 0E i 0 ,

i 1,

, p 1,