Lineynye_operatsii

Теорема 2.15 доказана.

Следствие (достаточное условие приведения матрицы линейного оператора к диагональному виду). Если линейный оператор

, действующий в n -мерном линейном пространстве V , имеет n

различных собственных значений, то существует базис, в котором матрица этого оператора имеет диагональный вид.

ные векторы. По свойству 3 предыдущего параграфа они линейно независимы. Следовательно, они образуют базис. По теореме 2.15 в базисе из собственных векторов матрица оператора имеет диагональный вид.

некотором базисе. Требуется выяснить, можно ли привести матрицу этого оператора к диагональному виду путем перехода к новому базису. В случае положительного ответа найти этот базис и соответствующую ему матрицу.

Решение. Найдем собственные значения оператора го составим и решим характеристическое уравнение

Так как мы получили три различных собственных значения, то по следствию к теореме 2.15 существует базис из собственных векторов, в котором матрица оператора имеет диагональный вид.

Найдем их.

Обозначим базис, в котором задана матрица оператора , через

Таким образом, мы получили базис из собственных векторов

оператора из примера 2.9. Требуется выяснить, можно ли при-

вести матрицу этого оператора к диагональному виду путем перехода к новому базису. В случае положительного ответа найти этот базис и соответствующую ему матрицу.

Решение. В примере 2.9 мы нашли собственные значения оператора и отвечающие им линейно независимые собственные век-

f2 , f3 , f4 образуют базис. Составим матрицу, строками которой

являются координаты этих векторов, вычислим ее ранг, приведя матрицу к ступенчатому виду элементарными преобразованиями:

Мы получили, что ранг матрицы равен 4. Это означает, что векторы f1 , f2 , f3 , f4 линейно независимы и, следовательно, образуют базис. В этом базисе матрица оператора имеет вид

Заметим, что полученный результат (диагонализуемость оператора ) не является случайностью. Имеет место

Теорема 2.16 (критерий диагонализуемости линейного опера-

тора). Оператор L(V ,V ) диагонализуем тогда и только тогда, когда каждый корень характеристического многочлена принадлежит F и его геометрическая кратность совпадает с алгебраической

оператора алгебраической кратности ni , i 1, 2,..., k. Рассмотрим матрицу A i E . Ее ранг равен n ni . Тогда по теореме 2.13

собственному значению i отвечает n r n n ni ni линейно независимых собственных векторов, следовательно, геометрическая кратность i также равна ni .

Достаточность. Пусть любой корень характеристического уравнения оператора принадлежит множеству F (если F множество комплексных чисел, то это условие выполняется автомати-

чески, а если F множество вещественных чисел, то оно означает, что все корни характеристического уравнения являются вещественными числами). Тогда характеристический многочлен оператора имеет вид

Тогда, с одной стороны, они являются собственными векторами, отвечающими различным собственным значениям и, следовательно, по свойству 3 линейной независимости собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям, они линейно не-

зависимы. С другой стороны, имеем x1 x2 xm , что означает их линейную зависимость. Получили противоречие. Следо-

Итак, мы получили, что в равенстве (2.19) все коэффициенты равны нулю. Следовательно, собственные векторы e11 , e12 , …, e1n1 ,

…, e1k , e2k , …, enkk линейно независимы. А так как их количество равно размерности пространства V , то они образуют базис. Со-

гласно теореме 2.15 в базисе из собственных векторов матрица оператора имеет диагональный вид. Теорема 2.16 доказана.

Замечание 2.10. Линейная независимость собственных векторов f1 , f2 , f3 , f4 в примере 2.11 автоматически следует из доказанной выше теоремы.

77

Глава 3. ЖОРДАНОВА НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА МАТРИЦЫ

линейном пространстве в силу основной теоремы алгебры это требование выполнено автоматически).

Цель данной главы доказать, что в этом случае в пространстве V существует базис, в котором матрица оператора имеет спе-

циальный вид, называемый жордановой нормальной формой матрицы оператора :

L(V ,V ) , а x0 отвечающий ему собственный вектор. Покажем,

но независимые собственные векторы, отвечающие этому собственному значению. Тогда подпространство

собственным подпространством оператора , отвечающим собственному значению 0 , и обозначается

Из определения собственного подпространства V 0 следует, что его размерность равна геометрической кратности собственного значения 0 .

Теорема 3.2. Множество U , состоящее из всех корневых векторов оператора , отвечающих собственному значению 0 и ну-

левого элемента , является линейным подпространством, инвариантным относительно оператора .

Доказательство. Пусть x и y корневые векторы, отвечающие собственному значению 0 , высоты r и s, соответственно. Возьмем m max r, s . Вычислим 0 I m x y :

0 I m x y 0 I m (x) 0 I m ( y)

(здесь мы воспользовались линейностью оператора 0 I m ). Следовательно, x y либо нулевой элемент, либо корне-

вой вектор, отвечающий собственному значению 0 , высоты m .

Это означает, что множество U является подпространством линейного пространства V . Докажем, что U инвариантно относительно оператора . Возьмем произвольный элемент x U и по-

кажем, что (x) U. Если x , то в силу линейности оператора и, следовательно, ( ) U. Пусть теперь x . То-