Lineynye_operatsii

шений на множестве вещественных чисел (V вещественное линейное пространство). Следовательно, рассматриваемый оператор не имеет собственных значений и собственных векторов.

Пример 2.9. Пусть матрица линейного оператора в некотором базисе e1, e2 , e3 , e4 равна

Найдем собственные значения и собственные векторы этого оператора. Составим характеристическое уравнение:

Вычислим определитель, стоящий в левой части характеристического уравнения. Для этого к первой строке определителя прибавим, а из второй и третьей строк вычтем четвертую строку определителя:

Вынесем множитель 2 из первой, второй и третьей строк определителя:

Эта система эквивалентна уравнению

1 2 3 4 0 .

Будем считать 2 , 3 , 4 свободными переменными, а 1 главной переменной. Выразим главную переменную через свободные переменные: 1 2 3 4 . Выбирая свободные неизвестные 2 ,

и f3 1,0,0,1 . Они являются тремя линейно независимыми собственными векторами, отвечающими собственному значению1 2 . Запишем общий вид собственного вектора, отвечающего собственному значению 1 2 :

Найдем теперь собственные векторы, отвечающие собственному значению 2 2 . Они являются ненулевыми решениями одно-

Решая эту систему методом Гаусса, получаем

Полагая 4 1 , получаем фундаментальное решение f4 -1,1,1,1 . Записываем общий вид собственного вектора, отвечающего собственному значению 2 :

2 2 c f4 , c 0.

Из определения характеристического многочлена Pn ( ) опера-

P( ) 0 s P , причем P 0 0 .

Определение 2.16. Алгебраической кратностью собственного значения 0 называется его кратность как корня характеристиче-

ского многочлена.

Определение 2.17. Геометрической кратностью собственного значения 0 называется количество линейно независимых собст-

венных векторов, отвечающих этому собственному значению. Определение 2.18. Собственное значение называется простым,

если его геометрическая кратность равна 1, и кратным, если его геометрическая кратность больше 1.

Согласно определениям 2.16−2.18 в примере 2.7 собственное значение 0 является простым (его алгебраическая кратность

равна n , а геометрическая кратность равна 1), в примере 2.9 собственное значение 1 2 является кратным (его алгебраическая и геометрическая кратности равны 3), а собственное значение2 2 является простым (его алгебраическая и геометрическая кратности равны 1).

Заметим, что если F является множеством комплексных чисел, то любой линейный оператор , действующий в n -мерном про-

странстве, всегда имеет n собственных значений (с учетом их алгебраической кратности). Этот факт следует из основной теоремы алгебры, согласно которой любой многочлен степени n с комплексными коэффициентами имеет в множестве комплексных чисел ровно n корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность. Таким образом, у линейного оператора, действующего в комплексном линейном пространстве, всегда существует хотя бы одно собственное значение и, соответственно, хотя бы один собственный вектор.

Следующая теорема дает ответ на вопрос, как соотносятся между собой алгебраическая и геометрическая кратности.

Теорема 2.14. Геометрическая кратность собственного значения не превосходит его алгебраической кратности.

Доказательство. Пусть 0 собственное значение оператораL(V ,V ) , n0 и l0 , его алгебраическая и геометрическая кратности, соответственно. Надо показать, что l0 n0 . Согласно определению геометрической кратности, существует l0 линейно независимых собственных векторов e1 , e2 , …, el0 . Дополним их до ба-

зиса V элементами el0 1 , el0 2 , …, en . В этом базисе матрица оператора имеет вид

справедлива формула det G det B det D. Применяя эту формулу для матрицы A E , получим

Теорема 2.14 доказана.

Имеют место следующие свойства собственных векторов линейного оператора L(V ,V ) .

Свойство 1. Если x0 является собственным вектором оператора, отвечающим собственному значению 0 , то cx0 , c 0 , также является собственным вектором этого оператора, отвечающим собственному значению 0 .

Доказательство. По определению собственного вектора и собственного значения x0 0 x0 , x0 . Рассмотрим сx0 , c 0 . Так как x0 , c 0 , то сx0 . Пользуясь линейностью оператора , получаем cx0 c x0 c 0 x0 0 cx0 .

Следовательно, cx0 , c 0 , является собственным вектором оператора , отвечающим собственному значению 0 .

Свойство 2. Если x1 , x2 , …, xk являются линейно независимыми собственными векторами оператора , отвечающими собст-

го оператора, отвечающим собственному значению 0 . Доказательство. По определению собственного вектора и соб-

. . . . . . . . . . . .

является собственным вектором оператора , отвечающим собственному значению 0 .

Отметим, что представление собственных векторов в виде линейной комбинаций базисных, полученное в примерах 2.7 и 2.9, в точности соответствует доказанным свойствам 1 и 2.

Свойство 3 (теорема о линейной независимости собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям). Пусть

1 , 2 , …, k попарно различные собственные значения оператора ( i j при i j ), соответствующие собственным век-

торам x1 , x2 , …, xk . Тогда x1 , x2 , …, xk линейно независимы.

Доказательство этого свойства проведем методом математической индукции по количеству собственных векторов.

Основание индукции. При k 1 имеем одно собственное значение 1 и один собственный вектор x1 . Так как по определению x1 0 , то он линейно независим.

Индуктивный переход. Докажем, что если свойство 3 верно для k 1 собственных векторов, то оно будет верно и для k собственных векторов. Рассмотрим линейную комбинацию векторов x1 , x2 ,

…, xk и приравняем ее нулевому вектору:

зависимы и, следовательно, среди них не может быть нулевого