Lineynye_operatsii

Следовательно, по определению обратного оператора 1. Теорема доказана.

Определение 2.11. Пусть задан оператор L(V ,V ) . Ядром оператора (обозначение Ker ) называется множество

Ker {x V : (x) }.

Образом оператора (обозначение Im ) называется множество

Im {y V : x V , (x) y}.

Замечание 2.8. Если L(V ,V ) , то Ker − не пустое множество, т.к. всегда Ker (см. замечание 2.1).

Следствие к теореме 2.10. Если L(V ,V ) обратим, то

1)Ker { },

2)Im V.

Доказательство.

1.Ker в силу замечания 2.1. Если x Ker , то (x) , но ( ) также равно . Поэтому в силу взаимной однозначности отображения получаем x .

2.Утверждение Im V доказано в самой теореме 2.10 (см. утверждение 2).

многочленов Pn не имеет обратного, поскольку матрица этого оператора в базисе {1,t,t 2 ,...,t n} имеет вид (см. пример 2.3):

Она содержит нулевую строку и, следовательно, det A 0 .

торов, компланарных некоторой плоскости, имеет обратный, соот-

( x y) (x) ( y) .

Таким образом, x y Ker и по определению подпространства это означает, что Ker – подпространство пространства V .

2. Пусть y1, y2 Im . Это означает, что

x1, x2 V : y1 (x1), y2 (x2 ) .

Пусть , F– произвольные числа, тогда справедливы равенства

y1 y2 (x1) (x2 ) ( x1 x2 ).

Следовательно, y1 y2 Im , а значит Im – подпространство пространства V . Теорема доказана

Теорема 2.12 (о сумме размерностей ядра и образа линейного оператора). Пусть в линейном пространстве V , dimV n введен

базис {e1,..., en} и задан оператор L(V ,V ). Тогда:

1) Im L( (e1 ),..., (en )) – линейная оболочка векторов

(e1 ),..., (en ) ;

2)dimV dim Ker dim Im .

достаточно для утверждения, что оператор обратим. Доказательство. 1. Пусть Ker { }. Это означает, что –

взаимно однозначное соответствие. Действительно, если

x1, x2 V , x1 x2 , (x1 ) (x2 ) ,

то положим z x1 x2 . При этом

(z) (x1 x2 ) (x1) (x2 ) ,

но z Ker , что невозможно. С другой стороны, поскольку Ker { }, то dim Ker 0 . Тогда по только что доказанной теореме dim Im n , т.е. Im V , а это означает, что оператор отображает V на все V . Значит – биекция, а из этого в силу тео-

ремы 2.10 (критерия обратимости линейного оператора) вытекает, что оператор обратим.

2. Пусть Im V , тогда dim Im n и по доказанной теореме dim Ker 0, т.е. Ker { }. И в силу доказанного утверждения первого пункта данного следствия имеем обратимость L(V ,V ).

Определение 2.12. Число dim Im называется рангом оператора . Число dim Ker называется дефектом оператора .

Следствие 2. Ранг оператора равен рангу его матрицы A в

любом базисе , т.е. ранг матрицы оператора A является инва-

риантом по отношению к операции преобразования базиса. Кроме того, доказанная теорема утверждает, что сумма ранга оператораи его дефекта всегда равна n – размерности пространства V .

2.4. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора

есть L(V ,V ) .

матрицы линейного оператора не зависит от выбора базиса. Утверждение 2.2 доказано.

В дальнейшем, как и договаривались выше, если оператор и базис фиксированы, мы для простоты опускаем индексы в матрице A и пишем просто A.

Теорема 2.13 (о нахождении собственных значений и собственных векторов линейного оператора). Число 0 F является собст-

венным значением оператора тогда и только тогда, когда оно является корнем характеристического уравнения det A E 0

определению 2.13 система (2.13) имеет при 0 ненулевое ре-

шение, а поскольку необходимым и достаточным условием существования ненулевого решения однородной системы является равенство нулю ее определителя, то

Наоборот, если 0 F − корень характеристического уравнения, то выполнено (2.14), а, следовательно, однородная система (2.13) при0 имеет ненулевое решение. В силу определения 2.13 получаем, что тогда 0 собственное значение оператора . Первая часть теоремы 2.13 доказана.

Далее, пусть 0 собственное значение оператора , то есть0 корень характеристического уравнения, принадлежащий множеству F. Подставляя 0 в систему (2.12), получаем однородную систему линейных алгебраических уравнений с матрицей A 0E

2 к теореме 2.12 величина r не зависит от выбора базиса). Система (2.15) имеет n r линейно независимых решений, следовательно, оператор имеет n r линейно независимых собственных век-

торов, отвечающих собственному значению 0 . Вторая часть теоремы 2.13 доказана.

Определение 2.15. Множество всех собственных значений оператора называется спектром этого оператора.

Замечание 2.9. Если F= , то множество собственных значений совпадает с множеством корней характеристического уравнения, а

если F= , то только вещественные корни характеристического уравнения являются собственными значениями.

58 Глава 2. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Приведем алгоритм нахождения собственных значений и собст-

3. Для каждого собственного значения i решаем однородную

(здесь r rang A i E ). Записываем общее решение этой системы:

Это и будет множество собственных векторов, отвечающих собственному значению i .

Приведем примеры нахождения собственных значений и собственных векторов некоторых линейных операторов.

Пример 2.7. Пусть dtd оператор дифференцирования,

действующий в линейном пространстве V Pn многочленов степени меньшей или равной n.

Вычисляя определитель, получаем n 1 0 или 0 . Та-

ким образом, оператор дифференцирования имеет только одно собственное значение 0 . Найдем собственные векторы, отвечающие этому собственному значению. Они являются решениями системы

A 0 E 0 .

Перейдем от матричной формы записи этой системы

В этой системе переменная 1 является свободной, остальные

переменные равны нулю. Так как у нас оказалась только одна свободная переменная, то фундаментальная система решений состоит

из одного ненулевого решения. Положим 1 1 , тогда

60 Глава 2. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

f (1, 0,..., 0) . Записываем общее решение системы уравнений и

Таким образом, собственными векторами оператора дифференцирования являются константы, за исключением нуля.

Пример 2.8. Пусть V линейное пространство векторов плос-

кости, а оператор поворота векторов на угол 3 . В при-

мере 2.4 была получена матрица оператора поворота на произвольный угол в ортонормированном базисе i , j . Подстав-

ляя 3 , получим

Составим характеристическое уравнение: