Lineynye_operatsii

Получим формулу преобразования координат вектора под дей-

(x) . С другой стороны, учитывая линейность L(V ,V ) ,

(x) ( 1e1 ... nen ) 1 (e1) ... n (en ) ( ) A .

Впоследнем переходе мы использовали матричную формулу (2.4)

«Сокращая на базис» (см. формулу (1.20) из замечания 1.15 предыдущей главы), приходим к требуемой формуле (2.5).

Замечание 2.6. В процессе доказательства теоремы получена

заданы в одном и том же базисе {e1,..., en}.

Итак, каждому линейному оператору L(V ,V ) при фиксированном базисе соответствует матрица A . Покажем, что и, наобо-

рот, при фиксированном базисе в V любой квадратной матрице D порядка n соответствует некоторый линейный оператор , для которого матрица D будет его матрицей в базисе .

По теореме 2.2 (о задании линейного оператора) существует линейный оператор L(V ,V ) такой, что (ei ) bi , i 1,2,..., n.

По определению матрицы оператора A ее столбцы являются ко-

ординатами векторов b1,...,bn . В силу (2.7) это и есть столбцы мат-

рицы D. Таким образом доказано существование искомого оператора. Докажем его единственность. Предположим, что имеются

теореме 2.2 отсюда вытекает равенство операторов и . Теорема доказана.

Следствие. Если в V фиксирован базис , то между пространством линейных операторов L(V ,V ) и пространством квадратных матриц Mat(n) n -го порядка имеется взаимно-однозначное соответствие.

Теорема 2.5 (об изоморфизме). Указанное в следствии к теореме 2.4 взаимно-однозначное соответствие является изоморфизмом между линейными пространствами L(V ,V ) и Mat(n) .

Доказательство. Итак, пусть в линейном пространстве V фиксирован базис . Выше, в следствии к теореме 2.4, было установ-

Последнее равенство в силу определения умножения матриц означает, что A A A . Теорема доказана.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 2.2. Пусть V – произвольное линейное пространство, dimV n, I L(V ,V ) – тождественный оператор ( I (x) x

46 Глава 2. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Следовательно, матрица этого оператора в данном базисе имеет вид

дом из этих базисов имеется своя матрица A и A .

Для определения связи между этими базисами существует

Теорема 2.7 (о преобразовании матрицы оператора при смене базиса). Пусть в V заданы два различных базиса {e1,..., en} и

Прежде чем доказывать теорему докажем важную лемму, которую будем неоднократно применять в дальнейшем.

Лемма 2.1 (о «сокращении» на произвольный вектор). Пусть A

и B – две квадратные матрицы порядка n . Пусть для любого

n -мерного столбца справедливо

тогда A B.

Доказательство леммы. Пусть A (aij ) , B (bij ) . Поскольку в

поненты равны нулю, кроме k -той компоненты, которая равна единице. Тогда (2.9) запишется в виде

лемме 2.1, можно «сократить» на этот столбец : A A T ,

но T , и получаем равенство TA A T. Проводя в последнем равенстве «сокращение на базис» (см. формулу (1.20) из замечания 1.15), получаем TA A T . Матрица преобразования

базиса T невырожденная и поэтому имеет обратную T 1. Умно-

жая последнее равенство слева на T 1, приходим к формуле (2.8).

Теорема 2.7 доказана.

Следствие. Определитель матрицы оператора не меняется при изменении базиса, т.е. является инвариантом.

Действительно, в силу (2.8)

det A det(T 1A T) det T 1 det A det T det A .

Поэтому является корректным следующее определение. Определение 2.9. Детерминантом (определителем) линейного

оператора называется определитель матрицы этого оператора в любом базисе.

2.3. Обратный оператор. Ядро и образ оператора

Определение 2.10. Пусть – линейный оператор из L(V ,V ) . Оператор называется обратным к оператору , если

I.

Оператор, обратный к , будем обозначать 1 . Если у оператора существует обратный, то говорят, что он обратим.

В дальнейшем мы увидим, что не всякий L(V ,V ) имеет об-

ратный. Однако, если обратный оператор существует, то он линеен и единственен. Покажем это.

Теорема 2.8 (о линейности и единственности обратного опе-

ратора). Если L(V ,V ) имеет обратный оператор 1 , то:

1)1 L(V ,V ) ;

2)1 определен однозначно.

1 (x y) 1 (I (x) I ( y)) 1 (( 1 )(x) ( 1 )( y))

1 ( ( 1 (x)) ( ( 1 ( y))) 1 ( ( 1 (x) 1 ( y)))

( 1 )( 1 (x) 1 ( y)) 1 (x) 1 ( y).

Аналогично, x V , F имеем

1 ( x) 1 ( I (x)) 1 ( ( 1 )(x)) 1 ( ( 1 (x)))

1 ( ( 1 (x))) ( 1 )( 1 (x)) 1 (x).

Таким образом, 1 L(V ,V ) .

2. Единственность обратного оператора докажем от против-

Теорема 2.9 (о матрице обратного оператора). Если у опера-

тора L(V ,V ) существует обратный оператор 1 , то в любом базисе {e1,..., en} пространства V матрица обратного оператора 1 равна обратной матрице самого оператора , т.е. справед-

вования обратной матрицы является неравенство нулю определителя матрицы, т.е. det A 0. Следствие доказано.

Теорема 2.10 (критерий обратимости оператора). Пусть

L(V ,V ) . Тогда следующие три утверждения эквивалентны:

1)1 , т.е. обратим;

2)– биекция, т.е. взаимно однозначное отображение про-

Доказательство. Докажем справедливость цепочки импликаций 1) 3) 2) 1) , что, очевидно, будет означать справедливость утверждения теоремы в целом. Импликация 1) 3) доказана в следствии к предыдущей теореме.

имеет единственное решение. В силу теоремы 2.3 о преобразовании координат под действием линейного оператора это означает, что

2)1) : Пусть – биекция. Это означает, что y V сущест-

x ( y) ( (x)) ( )(x) I, y (x) ( ( y)) ( )( y) I.