Lineynye_operatsii

Рис. 1.1

1.7.Преобразование координат вектора при переходе

кдругому базису. Матрица перехода от базиса к базису

называется матрицей перехода от «старого» базиса к «новому»

базису . Столбцы матрицы T представляют собой координаты векторов нового базиса, записанных через старый базис.

Замечание 1.12. Используя правило умножения матриц, формулы (1.15) можно записать в матричной форме в виде

Замечание 1.13. Матрица T − невырожденная (det T 0). Действительно, столбцы матрицы T – это координаты линейно

независимых векторов e1,...,en . В силу указанного в §5 изоморфизма между векторами и их координатами и свойств изоморфизма (см. теорему 1.8, п.2) столбцы матрицы T линейно независимы, а, следовательно, в силу теоремы о базисном миноре det T 0.

Замечание 1.14. Из формулы (1.16), правила перемножения матриц и невырожденности матрицы T вытекает формула

можно разложить как по базису , так и по базису :

или же в силу установленного изоморфизма между векторами и их координатами x , x , в базисе и в базисе , соответст-

венно.

Отсюда в силу единственности координат имеем:

что в матричной форме, очевидно, запишется в виде T .

т.е. новые координаты вычисляются через старые координаты с помощью обратной матрицы перехода. Такой закон преобразования координат называется контравариантным (т.е. не таким, как закон преобразования базисных векторов (1.16)-(1.16,а), который носит название ковариантный закон преобразования).

Замечание 1.15. В процессе доказательства теоремы была получена формула

(см. (1.18)). Заметим, что искомая формула (1.17) получается из (1.19) путем формального «сокращения на базис», таким образом, установлено следующее свойство «сокращения», которое мы в

если – это базис.

Замечание 1.16. Иногда, чтобы подчеркнуть от какого базиса к какому матрица T является матрицей перехода у нее ставят индекс вида и матрицу перехода от базиса к базису записывают следующим образом: T . Тогда можно записать, что

T 1 T .

Пример 2.1. Рассмотрим простейшие линейные операторы.

1.W V 2. Оператор поворота плоскости на угол β. Линейность оператора очевидна.

2.W V Pn . Оператор дифференцирования dtd .

Линейность этого оператора вытекает из известных из курса математического анализа свойств дифференцирования функций.

3. V V1 V2 , W V1, где V1 и V2 – два линейных пространства, V V1 V2 – их прямая сумма. Из определения прямой сум-

причем такое представление единственно.

Введем оператор проектирования p : V V1 по формуле

p(x) x1, x x1 x2.

Корректность данного определения оператора вытекает из того, что

(x1* x1** x2* x2** ) x1* x1** (x* ) (x** ).

2)Пусть x V , F. Снова в силу (2.1) x x1 x2 , и тогда

( x) ( (x1 x2 )) ( x1 x2 ) x1 (x)..

Такой линейный оператор p : V V1 называется оператором проектирования на V1 параллельно V2 (рис. 2.1).

Рассмотрим множество L(V ,V ) , где V – линейное пространство, и введем в L(V ,V ) операции сложения и умножения на число.

Определение 2.2. Суммой линейных операторов 1 L(V ,V ) и

что x V (x) ( )(x) (x) .

Замечание 2.2. Из определений 2.2 и 2.3 вытекает, что операторы 1 2 и являются линейными операторами.

Рис. 2.1

Определение 2.4. Нулевым оператором называется оператор такой, что x V (x) .

Определение 2.5. Пусть L(V ,V ) . Противоположным оператором к называется оператор ( ) такой, что ( ) .

Замечание 2.3. Операторы и ( ) , где L(V ,V ) являются, очевидно, линейными операторами.

Легко проверить справедливость следующего утверждения. Утверждение 2.1. Множество с введенными указанным выше

способом операциями сложения операторов и умножения оператора на число само является линейным пространством.

Определение 2.6. Тождественным оператором I называется оператор такой, что x V I (x) x . Очевидно I L(V ,V ) .

Определение 2.7. Пусть , L(V ,V ). Произведением (компо-

что x V (x) ( (x)).

Теорема 2.1. Для композиции операторов

1)если , L(V ,V ) , то L(V ,V ),

2)имеют место свойства:

а) , L(V ,V ), F ( ) ( ) ( ) ; б) , , L(V ,V ) ,

( ) , ( ) ;

но L(V ,V ) , поэтому (x y) (x) ( y). Таким образом,(x y) ( (x) ( y)) . Но L(V ,V ) – также линейный оператор, поэтому ( (x) ( y)) ( (x)) ( ( y)) , следова-

тельно, (x y) ( (x)) ( ( y)) (x) ( y).

Аналогично проверяем, что x V , F ( x) (x). Таким образом, L(V ,V ) .

мент. Пользуясь определениями произведения операторов и суммы операторов, имеем:

( ) (x) ( )( (x))

( ( (x)) (( (x)) (x) (x)

( )(x).

Следовательно, ( ) .

2.2. Матрица линейного оператора

Пусть V – линейное пространство, dimV n и {e1,..., en} – произвольный базис в V .

для которого (ei ) bi , i 1, 2,..., n, причем такой линейный опе-

Оператор введен корректно, поскольку координаты вектора в базисе определены однозначно. Проверим линейность оператора. Пусть x, y V и x 1e1 ... nen , y 1e1 ... nen . Тогда x y ( 1 1)e1 ... ( n n )en и мы по определению введен-

ного оператора ( см. (2.2) ) имеем

(x y) ( 1 1 )b1 ... ( n n )bn

( 1b1 ... nbn ) ( 1b1 ... nbn ) (x) ( y).

Пусть теперь F. Тогда x 1e1 ... nen , а, следова-

тельно, в силу (2.2)

( x) 1b1 ... nbn ( 1b1 ... nbn ) (x) .

Оба свойства линейности оператора доказаны, следовательно,L(V ,V ). Наконец, опять же в силу (2.2)

(ei ) (0e1 ... 1ei ... 0en ) 0b1 ... 1bi ... 0bn bi .

Таким образом, (x) , определенный формулой (2.2), является ис-

комым линейным оператором.

Докажем единственность этого оператора. Предположим, что

Пусть x 1e1 ... nen – произвольный вектор из V . Тогда в силу линейности операторов и :

(x) ( 1e1 ... nen ) 1 (e1) ... n (en ) 1b1 ... nbn .

(x) ( 1e1 ... nen ) 1 (e1) ... n (en ) 1b1 ... nbn .

Таким образом, x V выполняется (x) (x), что означает. Теорема 2.2 доказана.

Следствие. Пусть в V задан произвольный базис . Тогда любой линейный оператор L(V ,V ) полностью определен своими

значениями (e1 ),..., (en ) на элементах базиса.

Векторы (e1 ),..., (en ) V , разложим их по этому же базису

Замечание 2.4. В дальнейшем, когда это не будет вызывать недоразумений, будем опускать значки и в обозначении матри-

цы линейного оператора.

Замечание 2.5. В матричной форме формулы (2.3) записываются в виде