Lineynye_operatsii

1) в силу единственности координат разным векторам x V соответствуют разные векторы x W , т.е. построенное отображение – взаимно однозначное соответствие;

Таким образом, – изоморфизм между пространствами V и W .

Теорема доказана.

Следствие. Каждое линейное пространство V размерности n

над множеством F изоморфно координатному пространству Fn – пространству строк длины n . Это вытекает из доказанной теоремы

и того факта, что dim Fn= n (см. пример 1.8).

Сам изоморфизм осуществляется путем выбора базиса в V . Именно, если {e1,...,en} – базис в V , x 1e1 ... nen , то, как показано в теореме 1.9, изоморфизм можно выбрать так:: x ( 1,..., n ) . Т.е., если дано линейное пространство V эле-

ментов произвольной структуры, то путем выбора в нем базиса можно отождествить элемент (вектор) x V и строку его коорди-

нат ( 1,..., n ) Fn. При этом также можно будет отождествить V и Fn (см. замечание 1.7). В дальнейшем мы часто будем писать равен-

Определение 1.10. Пусть V – линейное пространство над множеством F. Непустое подмножество L элементов линейного про-

Замечание 1.9. Подпространство L линейного пространства V само является линейным пространством. Действительно, в силу определения подпространства в L определены операции сложения элементов и умножения элемента на число, не выводящие за пределы множества L . Кроме того, аксиомы 1−8, (кроме 3 и 4), очевидно, выполнены для всех элементов из L, поскольку они выполнены для всех элементов из V . Остается проверить выполнение

также выполнены. Таким образом, L – линейное пространство. Замечание 1.10. Если L не совпадает с V , то L называется

собственным подпространством.

Замечание 1.11. Подмножество, состоящее из одного элемента, является, очевидно, подпространством V . Это простейшее, так

называемое, нулевое подпространство.

Теорема 1.10. Пусть L – подпространство пространства V , dimV . Тогда:

1)dim L dimV ;

2)если L – собственное подпространство пространства V ,

то dim L dimV.

входят в пространство V . Но по определению размерности любая система векторов из V в количестве, большем, чем n является линейно зависимой. Полученное противоречие подтверждает справедливость утверждения того, что m n.

2. Предположим, что L – собственное подпространство V , но

dim L dimV n (dim L не может быть больше n , это доказано в п.1 теоремы). Пусть x V , но x L, пусть {e1,..., en} – базис в L . Рассмотрим систему векторов {e1,...,en , x}. Эта система линейно зависима, поскольку в ней (n 1) векторов. Итак, {e1,..., en} – ли-

нейно независима, а {e1,...,en , x} – зависима. Тогда по теореме 1.3 (о добавлении вектора) 1,..., n F такие, что x 1e1 ... nen ,

но тогда x L. Получили противоречие. Таким образом dim L dimV. Теорема доказана.

Определение 1.11. Пусть {x1,..., xm}– семейство векторов про-

странства V . Линейной оболочкой L(x1,..., xm ) семейства векторов называется множество линейных комбинаций этих векторов:

L(x1,..., xm ) {x V : x 1x1 ... m xm}, 1,..., m F.

Элементы x1,..., xm называются порождающими элементами данной линейной оболочки.

Теорема 1.11. Линейная оболочка L(x1,..., xm ) является подпространством в V .

Доказательство. Пусть x, y L(x1,..., xm ). Тогда 1,..., m F

Теорема 1.12 (о размерности линейной оболочки). Размерность линейной оболочки L(x1,..., xm ) равна максимальному числу линейно независимых векторов x1,..., xm . При этом такие векторы образуют базис в L(x1,..., xm ).

24 Глава 1. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Доказательство. Пусть максимальное число линейно независимых векторов среди x1,..., xm равно k m. Поменяв, при необхо-

димости, индексы, будем считать, что это x1,..., xk . Поскольку {x1,..., xk } – максимально возможная система линейно независимых векторов среди x1,..., xk , xk 1,..., xm , система {x1,..., xk , xk 1} линейно зависима, а тогда по теореме о добавлении вектора xk 1 является линейной комбинацией векторов x1,..., xk . Аналогично, векторы xk 2 ,..., xm также являются линейными комбинациями векторов x1,..., xk . Пусть x L(x1,..., xm ) , тогда x является линейной комбинацией векторов x1,..., xk , xk 1,..., xm. Поскольку, xk 1,..., xm являются линейными комбинациями векторов x1,..., xk , то x тоже есть линейная комбинация векторов x1,..., xk . Итак, сис-

ek 1,..., en V такие, что система {e1,..., ek , ek 1,..., en} − базис в V . Доказательство. Рассмотрим линейную оболочку L(e1,...,ek ).

Семейство {e1,..., ek , ek 1} линейно независимо. Действительно, если бы оно было линейно зависимо, то по теореме 1.3 о добавле-

1.6. Пересечение и сумма подпространств линейного пространства

Пусть V – линейное пространство над множеством F, и

два его подпространства.

Определение 1.12. Суммой подпространств называется множе-

ство V1 V2 {x V : x1 V1, x2 V2 : x x1 x2}.

Пересечением подпространств называется множество

Прямая сумма обозначается: V1 V2 .

Теорема 1.15 (о разложении линейного пространства в прямую сумму). Линейное пространство V является прямой суммой под-

пространств V1 и V2 (V V1 V2 ) тогда и только тогда, когда:

1)V1 V2 { },

2)dimV dimV1 dimV2 .

Доказательство. Необходимость. Пусть V V1 V2 . Это озна-

это семейство линейно независимых векторов. Действительно, предположим, что существуют числа 1,..., k m F не все равные нулю, такие, что

противоречие. Таким образом, семейство { f1,..., fk , g1,..., gm} линейно независимо. Пусть теперь x – произвольный вектор из V .

x2 1g1 ... m gm. Следовательно,

x ( 1 f1 ... k fk ) ( 1g1 ... m gm ).

Итак, векторы семейства линейно независимы, и любой вектор x V представляется в виде их линейной комбинации. Следовательно, – базис в V и dimV k m dimV1 dimV2. Необхо-

Покажем, что { f1,..., fk , g1,..., gm} – базис в V . Прежде всего, покажем, что – семейство линейно независимых векторов. Действительно, пусть при некоторых числах 1,..., k , 1,..., m :

комбинация в (1.10) является тривиальной, следовательно, семейство { f1,..., fk , g1,..., gm} – линейно независимо. Кроме того,

количество векторов в этом семействе k m dimV , поэтому в силу теоремы 1.7 о связи базиса и размерности семейство – базис

впространстве V . Тогда x V имеем

x( 1 f1 ... k fk ) ( 1g1 ... m gm ).

странств V1 и V2 является прямой. Теорема 1.15 доказана.

Теорема 1.16 (о размерности суммы подпространств). Пусть

1.13 о неполном базисе это семейство векторов можно дополнить

а поскольку 2 – базис в V2 , то

x2 1b1 ... kbk 1c1 ... mcm.

Следовательно,

x1a1 ... l al 1b1 ... k bk 1b1 ...k bk 1c1 ... mcm

1a1 ... l al ( 1 1 )b1 ... ( k k )bk 1c1 ... mcm .

Таким образом, любой вектор x V является линейной комбинацией векторов семейства .

Покажем теперь, что семейство линейно независимо. Дейст-

Заметим, что семейство {b1,...,bk } является базисом в V1 V2 ,

Из (1.14) и (1.13) и в силу теоремы 1.4 о единственности координат

следует, что 1 ... l 0 , 1 1, ..., k k . Тогда соотношение (1.12) запишется в виде

Векторы b1,...bk , c1,..., cm линейно независимы, поскольку они образуют базис в V2 , поэтому в соотношении (1.15) все коэффи-

циенты нулевые, т.е. 1 ... k 1 ... m 0 . Таким образом, линейная комбинация (1.12) является тривиальной, следовательно, семейство векторов – линейно независимо. Значит – базис в V V1 V2 , и для размерности пространства V получаем:

dimV dim(V1 V2 ) l k m (l k) (m k) k

dimV1 dimV2 dim(V1 V2 ).

Теорема доказана.

Пример 1.12. Пусть V – линейное пространство векторов (ЛПВ), V1 – подпространство векторов, параллельных плоскости Oxy, V2 –