Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Lineynye_operatsii

.pdf

Скачиваний:

166

Добавлен:

05.06.2015

Размер:

5.31 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 1818

4.4. Функции от матриц. Многочлен Лагранжа−Сильвестра

171

Таким образом, для нахождения интерполяционного многочлена Лагранжа−Сильвестра rf (t) функции f (t) имеем систему линей-

ных алгебраических уравнений порядка s. Теорема 4.6 будет доказана, если мы докажем, что эта система имеет и притом только единственное решение. В силу известной теоремы Крамера для этого достаточно доказать, что определитель матрицы системы отличен от нуля, что, в свою очередь, эквивалентно тому, что однородная система имеет только нулевое решение. Докажем последнее утверждение.

Действительно, однородная система соответствует случаю, когда искомый многочлен принимает на спектре матрицы A нулевые значения. Но тогда в силу теоремы 4.5 он будет аннулирующим для матрицы A. Поскольку его степень меньше степени минимального многочлена, то он должен равняться нулю. Теорема доказана.

Теорема 4.7. Пусть характеристический многочлен Pn (t) матри-

цы A имеет n корней, лежащих в F, кратности 1, т.е. имеет вид

Pn (t) (t 1) ... (t n ) ,


1,..., n	– собственные значения матрицы A. Пусть функция f (t)
определена на спектре матрицы A. Тогда интерполяционный мно-
гочлен Лагранжа−Сильвестра для					f (t) имеет вид
				n	n
			rf (t) [ f ( j )			t i	]
			rf (t) [ f ( j )				]
				j 1	i 1 j i				(4.11)
					i j
				(t 1 ) (t j 1 )(t j 1 ) (t n )
n
f ( j		)							.
f ( j		)	( j	1 ) ( j j 1 )( j j 1 )				( j n )	.
j 1			( j	1 ) ( j j 1 )( j j 1 )				( j n )

Доказательство. В рассматриваемом случае минимальный многочлен mA (t) (t 1) ... (t n ) имеет степень n. Многочлен, определенный по формуле (4.11), имеет степень не больше чем

n 1. Условие равенства rf (t) и	f (t) на спектре матрицы	A в
нашем случае имеет вид
rf ( i ) f ( i ),	i 1, 2,..., n.	(4.12)

172 Глава 4. ФУНКЦИИ ОТ МАТРИЦ И ОПЕРАТОРОВ

Проверим, что условия (4.12) для многочлена, определенного в

(4.11), выполняются. Действительно,

j 1 ) ( i

n )

( i

1 ) ( i

j 1 )( i

rf ( i ) f ( j

)

. (4.13)

(

) (

)(

) (

)

j 1

j n

j 1

Все слагаемые в правой части (4.13) при

j i равны нулю, по-

скольку в числителе одна из скобок обращается в нуль. Таким образом, в сумме остается только одно слагаемое при j i :

( ) (

)(

) ( )

( i

) f ( j

)

i 1

f ( i ).

( j

1 ) ( j

i 1 )( j

i 1 ) ( j

n )

j i

Итак, многочлен

rf (t) , определенный по формуле (4.11), равен

функции f (t)

на спектре матрицы

имеет степень меньшую,

чем степнень минимального многочлена, поэтому это искомый многочлен Лагранжа−Сильвестра. Теорема доказана.

Замечание 4.6. Положим			(t)		A	(t)(t			j	) 1, тогда формула
		j			A				j
(4.11) принимает более компактный вид
	n			f ( j )
rf (t) j (t)							,			(4.14)
rf (t) j (t)				j ( j )			,			(4.14)
	j 1			j ( j )
где 1,..., n – простые (не		кратные)			корни характеристического
уравнения.
Теорема 4.8. Пусть минимальный многочлен										A (t) имеет вид
	k			(t	)h1			...	(t )hk ,
A	(t) (t )hi			(t	)h1			...	(t )hk ,
A	i 1	i					1			k
	i 1

где 1,..., k F – все собственные числа матрицы A . Обозначим

(t)

A (t)

(t λ )hi

(t j )

i 1

(4.15)

i j

(t λ )h1

... (t λ

j 1

)hj 1 (t λ

j 1

)hj 1

... (t λ

)hk , j 1,..., k.

4.4. Функции от матриц. Многочлен Лагранжа−Сильвестра

173

Пусть функция

f (t) определена на спектре матрицы A, тогда

интерполяционный

многочлен

Лагранжа-Сильвестра

для f (t)

имеет вид

f ( j )

f (t)

rf (t) j

(t)

(t j ) ...

(

)

j 1

(t)

t j

(4.16)

f (t)

(hj 1)

(t j )

1)!

(t)

t j

Доказательство. Пусть rf (t) – интерполяционный многочлен

Лагранжа−Сильверстра функции f (t). Покажем, что он задается

формулой (4.16). Поскольку степень интерполяционного многочлена Лагранжа−Сильвестра меньше степени интерполяционного

многочлена A (t) , то дробь	rf	(t)	является правильной, и, следо-
	A (t)

вательно, ее можно представить в виде суммы элементарных дробей:

rf (t)	k		j1	j 2		jhj
					...		.	(4.17)
				(t j )hj 1	...		.	(4.17)
A (t)	j 1	(t j )hj		(t j )hj 1		(t j )

Фиксируем	j	1,..., k			и		выясним,			чему	равны числа
js , s 1, 2,..., hj		при данном фиксированном j.									Для этого умно-
жим (4.17) на (t			j	)hj ,	и воспользуемся тем, что из определения
			j
функции j (t) в (4.15) следует соотношение
					A	(t) (t		)hj	j	(t).
					A		j		j

Поэтому получаем

174

Глава 4. ФУНКЦИИ ОТ МАТРИЦ И ОПЕРАТОРОВ

rf (t)

) ...

)hj 1

j (t)

j 2

i 2

i h

(t j )

...

(4.18)

)

hi 1

(t )

i 1

(t )

i j

j 2

) ...

)hj 1

(t),

i 2

i h

где j (t) (t j )

...

(t )hi

(t )hi 1

(t )

i 1

i j

При этом из вида j (t) следует,

что j ( j ) ... (jhj 1) ( j ) 0 .

Но тогда из (4.18) с учетом формулы Лейбница (правила дифференцирования произведения функций) получаем

j 2	1	rf (t)

	1!			(t)
			j

(t)

t j

( j

)

(t)

t j

	r	(

			)
	f	j		,	(4.19)
	j	( j
			)
t j

j h				1		rf (t)

		(h		1)!
	j	(h		1)!	(t)
			j			j

(hj 1)

hj 1

Cs r( s)

s 0

hj 1 f

t j

( j		1		(hj 1 s)
	)				,
	)				,
		j	(t)
		j			t j
					t j

где Chsj 1 – биноминальные коэффициенты.

Формулы (4.19) показывают, что числа js выражаются через

значения			rf		(t) на	спектре матрицы		A, т.е. через числа
r (	j	), r (		j	),..., r(hj 1) (		). Но многочлен	r	f	(t) совпадает с функ-
f		f			f	j
цией		f (t) на спектре матрицы A, поэтому получаем, что

4.4. Функции от матриц. Многочлен Лагранжа−Сильвестра

175

f (t)

j 2

f (t)

,...,

(t)

t j

(4.20)

f (t) (hj 1)

1)!

(t)

t j

Формулы (4.20) справедливы для всех

1, 2,..., k . Тогда из

(4.17) с учетом полученных для чисел

выражений (4.20) имеем

представление для rf

(t) :

j 2

jhj

rf (t)

...

mA (t)

(t j )hj 1

j 1

(t j )hj

j )

j 2

...

j hj

(t j )hj j (t)

(t j )hj 1

(t j )

j 1 (t j )hj

j 2 (t j ) ... jhj (t j )

hj 1

j (t)

j 1

1 f (t)

f ( j )

(t)

(t j ) ...

(

(t)

j 1

) 1!

t j

(hj 1)

f (t)

(t j )

(t)

1)!

t j

что совпадает с формулой (4.16). Теорема 4.8 доказана.

Замечание 4.7. Легко видеть, что формула (4.14) для представления интерполяционного многочлена Лагранжа−Сильвестра в случае простых корней характеристического многочлена является частным случаем общей формулы (4.15).

A , матрица перехода

det( ) 0

176	Глава 4. ФУНКЦИИ ОТ МАТРИЦ И ОПЕРАТОРОВ
Пример 4.1. Найти e		2	-1
Пример 4.1. Найти e		, если	.
		0	1

Решение.

1 способ

Из характеристического уравнения собственные значения матрицы A: 1 1, Жорданова нормальная форма J матрицы к жорданову базису и обратная матрица 1

находим

2 2.

имеют вид

			1		0		1 1				, 1	0			1
		J				,					, 1						,
			0		2		1 0						1	-1
тогда eA eJ 1						1	1 e	0 0				1		e2			e-e2
тогда eA eJ 1									2									.
						1	0 0 e				1	-1			0		e
2 способ				t i ] e 1							(t 2 ) e 2					(t 1 )
	rf (t) [e j			t i ] e 1							(t 2 ) e 2					(t 1 )
		2			2
		j 1			i 1 j		i			( 1 2 )						( 2 1 )
					i j
e	(t 2)	e2	(t 1)			e(t 2) e2 (t 1) (e2								e)t (2e e2 ),
e	(1 2)	e2	(2 1)			e(t 2) e2 (t 1) (e2								e)t (2e e2 ),
	(1 2)		(2 1)

тогда

eA (e2 -e)A (2e-e2

2(e2 -e) (2e-e2 )

)E (e2	2		-1	1
)E (e2	-e)			(2e e2 )
		0	1		0

		-(e2 -e)			e2		e-e2
(e	2	-e) (2e-e	2			0	e	.
(e		-e) (2e-e		)		0	e

3		-1	0	-1

Пример 4.2. Найти e , если	1	1	0	-1 .
	0	0	2	-1

	0	0	1	0

4.4. Функции от матриц. Многочлен Лагранжа−Сильвестра																					177
Решение.
1 способ
Из	характеристического уравнения											det( ) 0								находим
собственные значения матрицы A: 1											1 алгебраической кратно-
сти 2 и 2		2 тоже алгебраической кратности 2. Жорданова нор-
мальная форма J				матрицы A ,			матрица перехода T к жорданову
базису и обратная матрица 1 имеют, соответственно, вид:
1 1 0			0		1 1 1				1							0			0 0 1

J	0 1 0		0	, 1 1 1					0			,	1					0	0 1 -1 .
	0 0 2		1		1 1 0				0									0	1 -1 0

	0 0 0		2		1 0 0				0									1	-1 0 0
Тогда
							f
					f (1)		f	(1)				0				0

							1!
							1!
						0	f (1)					0				0
						0	f (1)					0				0
			f (J)																.
						0		0			f (2)				f (2)
						0		0			f (2)					1!
																1!
						0		0				0				f (2)
						0		0				0				f (2)
Очевидно, что f (t) et					определена на спектре матрицы A , тогда
						e		e			0		0
							0 e				0 0
				J	1		0 e				0 0						1
		e	e				0 0			e2			e2
							0	0			0		e	2
							0	0			0		e
		1 1		1 1 e e 0					0				0 0 0 1
				1 0		0 e 0			0
		1 1		1 0		0 e 0			0				0 0 1 -1
		1 1		0 0		0 0 e2			e2				0 1 -1 0
		1 1		0 0		0 0 e2			e2				0 1 -1 0
				0 0		0 0 0			e		2		1 -1 0 0
		1 0		0 0		0 0 0			e				1 -1 0 0

178	Глава 4. ФУНКЦИИ ОТ МАТРИЦ И ОПЕРАТОРОВ

eee

2e e2		2e2		0 0			0	1	2e2		-e2	2e-e2
2e e	2	e	2		0 0		1		e	2	0	2e-e	2
								-1
2e 0		0			0	1	-1 0		0		0	2e

e 0		0		1		-1	0	0	0		0	e

-e

-e . -e 0

2 способ

det( ) 0

Из

характеристического

уравнения

находим

собственные значения матрицы A: 1

1, алгебраической кратно-

сти 2 и 2 2 алгебраической кратности 2.

По формуле (4.16) имеем

f ( j )

1 f (t)

rf (t) j (t)

(t j ) ,

(

)

(t)

j 1

t j

здесь

(t)

A (t)

(t )2 ,

j 1, 2;

(t j )

i 1

i j

(t) (t )2 (t )2 .

Тогда

(t) (t )2

(t 2)2

(t) (t )2

(t 1)2

e j

rf (t) j

(t)

(t j )

(

)

(t)

j 1

t j

e 1

1 (t)

(t 1 )

1 ( 1 )

1 (t)

t 1

4.4. Функции от матриц. Многочлен Лагранжа−Сильвестра

179

e 2

2 (t)

(t 2 )

2 (t)

2 ( 2 )

t 2

(t 2)

(t 1)

(t 2)

t 1



(t 1)	2		e2		1	et			(t 2)

		(2	1)	2	1!	(t 1)	2
		(2	1)		1!	(t 1)
								t 1
								t 1

(t 2)2 e 3e(t 1) (t 1)2 e2 e2 (t 2) .

Раскрывая скобки и приводя подобные, имеем
r (t) t3	(3e e2 ) t2 ( 14e 5e2 ) t(20e 7e2 ) 8e 3e2.
f
Подставляя вместо t матрицу A , с учетом того, что
		8 -4 -1 -2		20 -12 -4 -3

A2		4 0 -1 -2	, A3	12	-4 -4 -3	,
		0 0 3 -2		0	0 4 -3
		0 0 2 -1		0	0 3 -2
		0 0 2 -1		0	0 3 -2

получили:

	2e2	-e2	2e-e2
	e2	0	2e-e2
e	e2	0	2e-e2
e	0	0	2e
	0	0	2e

	0	0	e
	0	0	e

-e

-e . -e 0

180	СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1.Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.: Наука, 1987.

2.Беклемишев Д.В. Дополнительные главы линейной алгебры. – М.: Наука, 1983.

3.Беллман Р. Введение в теорию матриц. – М.: Наука, 1977.

4.Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. – М.: Физматлит, 2010.

5.Ланкастер П. Теория матриц. – М.: Наука, 1978.

6.Лаппо-Данилевский И.А. Применение функций от матриц к теории линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. – М.: ГИТТЛ. 1957.

7.Пароди М. Локализация характеристических чисел матриц и ее применения – М.: ИЛ, 1960.

8.Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Наука, 1974.

9.Сандаков Е.Б. Основы аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.: МИФИ, 2005.

10.Шилов Г.Е. Математический анализ. Конечномерные линейные пространства. – М.: Наука, 1969.

Редактор Е.К. Коцарева

Подписано в печать 15.11.2013. Формат 60х84 1/16. Уч.-изд.л. 11,25. Печ. л. 11,25. Тираж 400 экз.

Изд. № 1/38. Заказ № 34

Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ». 115409, Москва, Каширское ш., 31.

ООО «Полиграфический комплекс «Курчатовский». 144000, Московская область, г. Электросталь, ул. Красная, 42.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 1818

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.202556.78 Кб0LE_AU_4.docx
#
04.06.20152.95 Mб4lichman.doc
#
26.09.20193.02 Mб4Linal.doc
#
04.06.201571.39 Кб14Linal.doc
#
27.09.2019322.75 Кб57LinAl_otvety.docx
#
05.06.20155.31 Mб166Lineynye_operatsii.pdf
#
19.09.20191.19 Mб26literature s art(1 группа).doc
#
04.06.20156.16 Mб45Literaturny_obzor.docx
#
04.06.201598.3 Кб101Makiavelli.doc
#
04.06.2015428.54 Кб22Makro.doc
#
01.03.2025307.71 Кб1makro.doc