Lineynye_operatsii

4.3. Вычисление многочлена от матрицы с использованием жордановой нормальной формы

Вычисление многочлена от любой квадратной матрицы A возможно выполнить непосредственно, используя операции сложения и умножения матриц. Однако это вычисление значительно упрощается, если известна жорданова форма J матрицы A .

Всюду ниже будем предполагать, что корни характеристического многочлена матрицы A принадлежат F, а следовательно, жорданова форма матрицы A существует.

Напомним, что если в линейном пространстве V фиксирован некоторый базис, то всякая матрица A Mat(n) является матрицей некоторого линейного оператора L(V ,V ). В силу сделанных предположений для оператора существует жорданов базис.

Пусть T – матрица перехода от исходного базиса к жорданову,

т.е. J=T 1 T, A=TJT 1.

Утверждение 4.2. k , k TJk T 1.

Доказательство проведем по индукции. При k 1 A=TJT 1, т.е. утверждение справедливо. Предположим, что оно справедливо при k s, т.е. справедливо выражение s =TJsT 1, и покажем его справедливость для k s 1. Действительно:

s 1 s =(TJT 1 )(TJsT 1 ) TJ(T 1T)JsT 1 TJs 1T 1.

Утверждение 4.2 доказано.

Следствие.

r s =(TJT 1 )r (TJT 1)s (TJr T 1)(TJsT 1) TJr sT 1.

Замечание 4.4. По определению полагаем 0 =E (=TJ0T 1 ).

Пусть J – блочно-диагональная матрица, у которой диагональные блоки – жордановы клетки:

вы клетки. Поскольку при возведении в степень блочнодиагонольной матрицы ее блоки возводятся в степень независимо друг от друга (см. следствие к утверждению 3.9), т.е.

то для возведения в сепень жордановой матрицы надо уметь возводить в степень отдельную жорданову клетку.

Итак, пусть Jh ( ) Mat(h) – жорданова клетка порядка h , отвечающая собственному значению .

Jh ( ) Mat(h) , здесь – нильпотентная матрица, со-

держащая отличные от нуля элементы, равные единице только на первой диагонали, лежащей выше главной, т.е.

1, если j i 1

bij 0, если j i 1.

Например, при h равных 2, 3, 4 имеем, соответственно:

Учитывая представление (4.2) жордановой нормальной формы J матрицы A через ее жордановы клетки, получаем выражение для многочлена от жордановой формы матрицы pm (J) :

pm (J)=diag(pm (J1), ..., pm (Jd )) .

Как и выше, рассмотрим вначале вычисление значения многочлена pm (t) a0 a1t ... amtm от одной жордановой клетки, со-

pm (t) в виде точного разложения по формуле Тейлора в окрестно-

При m h 1 представление (4.6) в развернутом виде запишется следующим образом:

реме 4.5 можно считать равными hj 1, j 1,..., k.

для всех собственных значений 1,..., k матрицы, где h1,..., hk – максимальные размеры жордановых клеток, отвечающих собственным значениям 1,..., k .

Определение 4.5. Два многочлена p(t) и q(t) называются сов-

падающими на спектре матрицы A , если для них выполняются равенства (4.8).

4.4. Функции от матриц. Многочлен Лагранжа−Сильвестра

Рассмотрим матрицу Mat(n). Пусть 1,..., k – корни ха-

рактеристического многочлена матрицы A и все они лежат в F, т.е. являются собственными значениями матрицы A. Пусть h1,..., hk – максимальные размеры жордановых клеток, отвечающих

собственным значениям 1,..., k , соответственно.

Определение 4.6. Рассмотрим функцию f (t) : F→F. Будем говорить, что f (t) определена на спектре матрицы A, если определены значения

Отметим, что для вычисления функции от матрицы A по формулам (4.9), (4.10) необходимо знать жорданову нормальную форму матрицы A и матрицу T перехода к жорданову базису.

170 Глава 4. ФУНКЦИИ ОТ МАТРИЦ И ОПЕРАТОРОВ

В силу определения 4.7 для вычисления функции f от матрицы заменяем эту функцию многочленом, совпадающим с функцией f

на спектре матрицы.

Существует много многочленов, совпадающих с заданной функцией на спектре матрицы. Среди них выделим так называемый интерполяционный многочлен Лагранжа−Сильвестра.

Определение 4.8. Пусть функция f (t) определена на спектре матрицы A . Многочлен rf (t), степени меньшей, чем степень минимального многочлена mA (t) матрицы A, и совпадающий на спектре матрицы A с функцией f (t), называется интерполяционным многочленом Лагранжа−Сильвестра функции f (t).

Теорема 4.6. Пусть 1,..., k – корни характеристического многочлена матрицы A, и все они лежат в F, т.е. являются собственными значениями матрицы . Пусть функция f (t) определена на спектре матрицы A. Тогда интерполяционный многочлен Лагран- жа-Сильвестра функции f (t) существует и единственен.

Доказательство. В силу теоремы 4.4 минимальный многочлен

Значение многочлена и его производных в фиксированной точке – это линейная комбинация его коэффициентов. Поэтому условия того, что многочлен принимает на спектре матрицы A заданные значения, определяют систему линейных алгебраических уравнений относительно его коэффициентов. Количество таких уравнений в силу (4.8) равно h1 ... hk s, т.е. равно степени ми-

нимального многочлена.

В теореме требуется найти многочлен rf (t), степень которого

не превышает значения s 1, поэтому неизвестных коэффициентов будет тоже s.