Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Lineynye_operatsii

.pdf

Скачиваний:

171

Добавлен:

05.06.2015

Размер:

5.31 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 1816 17 18 > Следующая >>>

3.4. Единственность жордановой формы матрицы

151

s2.

si.sp 1sp

	n	2r1	r2
	r1	2r2	r3
. .		.	.
	ri 1	2ri	ri 1 .	(3.24)
. .		.	.
	rp 2	2rp 1	rp
	rp 1	rp

Таким образом, мы показали, что числа s1 , s2 , …, sp являются

инвариантами. Теорема единственности жордановой нормальной формы доказана.

Следствие. Количество жордановых клеток, отвечающих собственному значению 0 , равно его геометрической кратности.

Доказательство. Действительно, с одной стороны из формулы

(3.23) следует, что количество s1 s2	sp жордановых клеток,
отвечающих собственному значению 0	равно n r1.	С другой
стороны в теореме 2.13 было доказано, что количество		линейно
независимых собственных векторов также равно n r1.

Замечание 3.7. В теореме 3.10 получен алгоритм, позволяющий записать жорданову нормальную форму матрицы линейного оператора , не находя жорданова базиса.

Он заключается в следующем:

1)находим собственные значения 1 , 2 , …, k матрицы A линейного оператора ;

2)для каждого собственного значения i последовательно нахо-

дим ранги	r	, r	,	…, r	матриц A E,	A E 2		,	… ,
	1	2		p	i		i
A E p	, число		p	находится из условий:
i
		rang A E p rang A E p 1
				i	i

		rang A E p 1 rang A E p					;
				i	i

152 Глава 3. ЖОРДАНОВА НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА МАТРИЦЫ

3) по формулам (3.24) вычисляем s1 количество жордановых клеток порядка 1, s2 количество жордановых клеток порядка 2, …, sp количество жордановых клеток порядка p .

Пример 3.8. Пусть матрица оператора в некотором базисе

равна
3			-1	1	-7
	9	-3 -7			-1
A	9	-3 -7			-1	.
	0		0	4	-8

	0		0	2	-4

Не находя жорданова базиса, записать жорданову нормальную форму матрицы этого оператора.

Решение. Составим и решим характеристическое уравнение

3-	-1	1	-7
3-	-1	1	-7
9	-3- -7		-1	0
0	0	4-	-8
0	0	2	-4-

	3-	-1	4-	-8	0

	9	3-	2	-4-
2 9 9 2 16 16 0 4 0 .
Мы получили, что оператор имеет только одно собственное

значение 0. Следовательно, во всех клетках жордановой матрицы на диагонали будут стоять нули.

Найдем ранг r1	матрицы A 0 E:
	3		-1 1		-7	3		-1	1	-7
		0	0	-10 20			0	0	1	-2
A 0 E		0	0	-10 20		~	0	0	1	-2	.
		0	0	1	-2		0	0	0	0

		0	0	0	0		0	0	0	0

3.4. Единственность жордановой формы матрицы

153

Отсюда следует, что r1 2 . Вычислим общее количество жорда-

новых клеток:	n r1 4 2 2 .				Возведем матрицу				A 0 E в
квадрат:
3 -1 1			-7 3		-1 1	-7	0		0	0	0
	9	-3 -7	-1	9	-3 -7 -1			0	0	0	0
A 0 E 2							=					.
	0	0 4	-8	0	0 4	-8		0	0	0	0
	0	0 2	-4	0	0 2	-4		0	0	0	0

Отсюда получим, что			r2 0.		Очевидно, что в этом случае
r3 0 и, следовательно,			p 2. Найдем s1 (количество жордано-
вых клеток порядка 1) и			s2 (количество жордановых клеток по-
рядка 2):
s1 n 2r1 r2 4 4 0 0 , s2 r1 r2 2 0 2 .

Запишем жорданову нормальную форму матрицы оператора :

0			1	0	0
		0	0	0	0
J						.
		0	0	0	1
		0	0	0	0

Пример 3.9. Пусть A − матрица линейного оператора в неко-
тором базисе
-1			-2	-3		5
	0		-3 -3 5
A							.
	0		-4	-3		6
	-1		-5	-5		9

Не находя жорданова базиса, записать жорданову нормальную форму матрицы этого оператора.

Решение. Составим характеристическое уравнение и найдем собственные значения оператора :

154		Глава 3. ЖОРДАНОВА НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА МАТРИЦЫ
	-1-	-2	-3	5
	-1-	-2	-3	5
	0	-3- -3		5	0 1 1 3 0 .
	0	-4	-3-	6
	-1	-5	-5	9-

Таким образом, оператор имеет два различных собственных значения: 1 1 и 2 1 .

Так как 1 1 имеет алгебраическую кратность 1, то ему отвечает одна жорданова клетка порядка 1 (она состоит из одного

числа -1).
Рассмотрим 2	1 . Оно имеет алгебраическую кратность 3.
Вычислим ранг r1	матрицы A 1 E
	2	2	3	5		1		5	5	8
	0	4	3	5			0	2	2	3
A 1 E	0	4	3	5	...		0	2	2	3	.
	0	4	4	6			0	0	1	1
	1	5	5
	1	5	5	8			0	0	0	0

Отсюда следует, что r1 3. Вычислим общее количество жордано-

вых	клеток,	отвечающих	собственному					значению	2 1:
n r1	4 3 1. Так как получилась одна клетка, то ее порядок
равен	3 −	алгебраической		кратности				собственного	значения
2 1. В этом случае вычислять r2					не требуется.
Запишем жорданову нормальную форму матрицы оператора :
		1		0	0	0
			0	1	1	0
		J	0	1	1	0	.
			0	0	1	1

			0	0	0	1

155

Глава 4. ФУНКЦИИ ОТ МАТРИЦ И ОПЕРАТОРОВ

4.1. Многочлен от матрицы

Пусть V − линейное пространство над множеством F (где F= или F=), dimV n, L(V ,V ) − линейный оператор. Пусть

p(t) p	(t) a	a t ... a tm − числовой многочлен,		a F.
m	0	1	m	i

Определение 4.1. Многочленом от оператора назовем опера-

тор	p ( ) a I a ... a m				L(V ,V ) , где по определению
	m	0	1	m
0	I тождественный оператор, а k ... .
						k раз
Замечание 4.1. Нетрудно проверить, что если							p( ), q( ) два
многочлена		от	одного	и	того	же	оператора, то
p( )q( ) q( ) p( ), т.е.				два многочлена от одного и того же
оператора коммутируют между собой.
Определение 4.2. Пусть матрица A является квадратной матри-
цей порядка n		(A Mat(n)), тогда многочленом от матрицы A
назовем матрицу			p (A) a E a A ... a Am Mat(n) , где по-
				0	1	m
лагаем A0 E Mat(n) − единичная матрица порядка n .
Замечание 4.2. Если A − матрица оператора в базисе , то

				A	p(A	).	(4.1)
				p( )

156	Глава 4. ФУНКЦИИ ОТ МАТРИЦ И ОПЕРАТОРОВ
Определение 4.3. Будем говорить, что многочлен p(t) аннули-

рует оператор (или матрицу A ),			если p( ) (или, соответст-
венно, p(A) , здесь Mat(n)			− нулевая матрица).
Замечание 4.3. Из соотношения (4.1) следует, что p(t)					аннули-
рует оператор тогда и только тогда, когда				p(t) аннулирует A .

Рассмотрим	линейное	пространство		квадратных	матриц
Mat(n) , тогда	dim Mat(n) n2 .		Пусть матрица A Mat(n) −
произвольная матица этого		пространства.		Рассмотрим	матрицы

E, A, A2 , ..., An2 . Их количество равно n2 1 n2 , поэтому они образуют линейно зависимую систему матриц. Следовательно, су-

ществуют числа		0 , 1	,...,	2 не все равные нулю, такие, что
			n
	E A ... 2 An2		. Это означает, что матрица A аннули-
0	1	n
		n

руется многочленом q(t) 0 1t ... n2 tn2 , который не равен

нулю тождественно.

Среди всех не равных тождественно нулю многочленов, аннулирующих A , выберем многочлен минимальной степени. Приходим к определению.

Определение 4.4. Минимальным многочленом матрицы A (оператора ) называется многочлен наименьшей степени со

старшим коэффициентом 1, аннулирующий матрицу A (оператор ).

Будем обозначать через А (t) минимальный многочлен матри-

цы A и через	(t) – минимальный многочлен оператора . Оче-
видно, (t)	А (t) , где A	- матрица оператора в базисе .

Отсюда следует, что минимальный многочлен матрицы операторане зависит от выбора базиса.

Теорема 4.1. Всякий аннулирующий многочлен делится на ми-

нимальный.
Доказательство. Пусть	p(t) − аннулирующий многочлен мат-
рицы A , т.е. p(A) .	Разделим p(t) на А (t) с остатком:

4.1. Многочлен от матрицы		157
p(t) q(t)	A (t) r(t) , степень многочлена r(t) меньше степени
многочлена	А (t) . Подставим в это равенство матрицу A .	Тогда

получим r(A) , т.е. r(t) аннулирует матрицу A. Но тогда r(t) 0 , т.к. иначе он ненулевой, аннулирующий многочлен, со степенью, меньшей, чем степень минимального многочлена А (t) ,

что противоречит определению минимального многочлена. Теорема доказана.

Следствие. Минимальный многочлен				А (t) единственен.
Доказательство. Пусть		(t) и
	A		A	(t) – два минимальных

многочлена. У них старший коэффициент равен 1 и они делятся друг на друга, поэтому, очевидно, они совпадают.

Теорема 4.2 (Гамильтона−Кэли). Всякая матрица			A Mat(n)
аннулируется	своим	характеристическим	многочленом

Pn ( ) det(A E).

Доказательство. Пусть B Mat(n) − матрица с элементами bij , которые равны алгебраическим дополнениям элементов

c ji матрицы A E . Значит bij – многочлен от степени n 1. Тогда матрица B B( ) запишется в виде

B( ) B(0) B(1) ... B(n 1) n 1,

где B(i) Mat(n) – числовые матрицы порядка n . По построению

матрицы B
(A E) 1	1	B( ) при ,


	det(A E)	i
	det(A E)

где i – собственные значения матрицы A. Следовательно,

B( )(A E) Pn ( )E, i .

Пусть Pn ( ) 0 1 ... ( 1)n n . Тогда имеем равенство

(B(0) B(1) ... B(n 1) n 1 )(A E)

(4.2)

( 0 1 ... ( 1)n n )E , i .

Матричное равенство (4.2) влечет за собой поэлементное равен-

158	Глава 4. ФУНКЦИИ ОТ МАТРИЦ И ОПЕРАТОРОВ

ство соответствующих многочленов при всех , кроме i . Но тогда, очевидно, многочлены равны при всех , а, следовательно,

равны коэффициенты при одинаковых степенях . Поэтому справедлива система равенств

B(0) A 0E,

B(1)A B(0)E 1E,

...........................

B(n 1) A B(n 2)E n 1E,

B(n 1) E ( 1)n E.

Умножим первое из этих равенств справа на A0 E , второе на A1

и т.д., последнее равенство умножим справа на An . Сложив все полученные равенства, получим следующее выражение:

0E 1A ... ( 1)n An Pn (A),

т.е. многочлен Pn ( ) аннулирует матрицу A . Теорема доказана. Следствие 1. Характеристический многочлен Pn ( ) делится на

минимальный.

Следствие 2. Если все корни характеристического многочлена

лежат в F, то и все корни минимального многочлена лежат в F, а, следовательно, минимальный многочлен разлагается на линейные множители.

4.2. Минимальный многочлен жордановой нормальной формы

Пусть J0 – жорданова клетка порядка h , соответствующая собственному значению 0 , т.е.

4.2. Минимальный многочлен									159
		0		1	0 ...	0	0
			0		1 ...	0	0
				0
J	0	. . . . .					.	E Mat(h) ,
	0								0
			0	0	0 ...	0	1
			0	0	0 ...	0	1
			0	0	0 ...	0
							0

0		1	0	...	0	0
	0	0	1	...	0	0

. . .				. .		.	.
	0	0	0	0	0	1

	0	0	0	0	0	0

		Теорема 4.3. Для минимального многочлена жордановой клетки
J	0	справедливо соотношение	J0	(t) (t )h , где h − размер
	0		J0	0
жордановой клетки.
		Доказательство. Матрица	J0 0E является нильпотент-

ной матрицей порядка h и тогда в силу утверждения 3.11 матрица

E)h

− нулевая матрица,

но

то

же время

матрица

E)h 1

Следовательно,

(t )h

аннулирует

матрицу

J0 ,

поэтому

(t)

должен быть

его

делителем,

а значит

(t) (t )m

m h . Однако,

(t )h 1

не аннулирует мат-

рицу J

, поэтому

(t) (t )h

. Теорема доказана.

Приведем без доказательства следующее утверждение. Утверждение 4.1. Пусть матрица является блочно-

диагональной матрицей, т.е.

160	Глава 4. ФУНКЦИИ ОТ МАТРИЦ И ОПЕРАТОРОВ
	A1		0 ...	0	0
		0	A2 ...	0	0
		0	A2 ...	0	0
	A .		. .	.	.	,
		0	0 ...	Ad 1	0
		0	0 ...	Ad 1	0
		0	0 ...	0
		0	0 ...	0	Ad

и пусть A	(t) − минимальный многочлен клетки Ai . Тогда спра-
	i	A (t) HOK A (t), i 1, 2,..., d .
ведливо равенство
				i
Теорема 4.4. Пусть 1,..., k				− корни характеристического мно-
гочлена матрицы		A и все они лежат в F, т.е. являются собствен-
ными значениями матрицы A. Приведем матрицу A к жордановой
форме J. Пусть hj		− максимальный размер жордановой клетки, от-
вечающей собственному значению j ,					j 1, 2,..., k, тогда для ми-
нимального многочлена матрицы A справедливо равенство
		A	(t) (t )h1 ... (t )hk .
				1	l
Доказательство. Действительно,					A (t) J (t) и в силу ут-

верждения 4.1 равно наименьшему общему кратному (НОК) минимальных многочленов всех жордановых клеток. В то же время в

силу теоремы 4.3 минимальный многочлен клетки, отвечающий j

и размера mi равен (t j )mi , откуда и следует справедливость утверждения теоремы 4.4.

Следствие. Пусть корни характеристического многочлена мат-

рицы A принадлежат F. Жорданова форма матрицы A имеет диагональный вид тогда и только тогда, когда минимальный многочлен не имеет кратных корней.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 1816 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.202556.78 Кб0LE_AU_4.docx
#
04.06.20152.95 Mб4lichman.doc
#
26.09.20193.02 Mб4Linal.doc
#
04.06.201571.39 Кб14Linal.doc
#
27.09.2019322.75 Кб58LinAl_otvety.docx
#
05.06.20155.31 Mб171Lineynye_operatsii.pdf
#
01.07.2025557.06 Кб0Linking words. English.doc
#
01.07.2025449.02 Кб1Linux.doc
#
19.09.20191.19 Mб28literature s art(1 группа).doc
#
04.06.20156.16 Mб46Literaturny_obzor.docx
#
04.06.201598.3 Кб102Makiavelli.doc