Lineynye_operatsii
.pdf
3.3. Приведение матрицы к жордановой нормальной форме |
141 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
3 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
6 |
-6 -1 3 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
2 |
-2 -1 3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||||
g1 |
A E |
g1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
. |
|||||
2 |
-2 |
-2 |
4 |
2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
-3 -1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Жорданова |
цепочка |
|
длиной |
3 |
построена: |
|
g1 1,1, 0, 0 , |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
g2 1.5, 1.5, 2, |
1 , |
g3 |
0, |
0, |
0, |
0.5 . Дополнив эту цепочку |
|||||||||||||||
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
собственным вектором |
f |
1 , получим жорданов базис ˆ |
в простран- |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
1 |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
ˆ |
матрица оператора |
|||||||||
стве V : |
f1 |
g1 |
, g1 |
, g1 |
. В базисе |
||||||||||||||||
равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
-1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
J |
|
|
0 |
|
0 |
-1 0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
0 |
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Матрица перехода от исходного базиса к базису ˆ равна
|
2 |
1 |
1.5 |
0 |
|
|
ˆ |
|
1 |
1 |
1.5 |
0 |
|
|
|
|||||
T |
|
1 |
0 |
2 |
0 |
. |
|
|
1 |
0 |
1 |
0.5 |
|
|
|
|
||||
3.4. Единственность жордановой нормальной формы матрицы линейного оператора
При доказательстве теоремы единственности жордановой нормальной формы матрицы линейного оператора будут использованы следующие утверждения.
Пусть A квадратная блочно-диагональная матрица
142 |
Глава 3. ЖОРДАНОВА НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА МАТРИЦЫ |
||||||||
|
A1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
A2 |
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
diag |
A1, A2 |
, |
, Ad , |
|||
|
|
|
|
||||||
|
. . . |
. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
Ad |
|
|
|
|
||
где Ai |
квадратная матрица порядка mi |
, i 1, |
, d. |
||||||
Утверждение 3.8. rangA rangA1 rangA2 |
|
rangAd . |
|||||||
Доказательство. Воспользуемся следующими свойствами ранга матрицы:
1.Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях над ее строками;
2.С помощью элементарных преобразований над строками можно привести матрицу к ступенчатому виду;
3.Ранг ступенчатой матрицы равен количеству ненулевых строк. С помощью элементарных преобразований над первыми m1
строками матрицы A, в состав которых входит матрица A1, при-
ведем эту часть матрицы A к ступенчатому виду. Заметим, что количество ненулевых строк в этой части полученной матрицы
равно рангу матрицы A1. Аналогичным образом поступим со следующими m2 строками. И т.д., пока не дойдем до последних md строк, в состав которых входит матрица Ad . Приведем и эту часть
матрицы к ступенчатому виду. В результате мы получим матрицу, в которой количество ненулевых строк равно
rangA1 rangA2 rangAd .
Не меняя порядка следования ненулевых строк, поместим все нулевые строки в нижнюю часть матрицы. Полученная матрица будет иметь ступенчатый вид. По свойству 1 ее ранг совпадает с рангом матрицы A, а по свойству 3 ее ранг равен количеству ненуле-
вых строк. Так как при перестановке строк местами количество ненулевых строк не изменилось, то
rangA rangA1 rangA2 |
rangAd . |
Утверждение 3.8 доказано. |
|
3.4. Единственность жордановой формы матрицы |
143 |
|
Утверждение 3.9. A2 diag A12 , A22 , , A2d |
. |
|
Для доказательства этой формулы достаточно расписать левую и правую ее части в терминах обычных (числовых) элементов мат-
риц A1 , A2 , …, Ad (предоставляем это сделать читателю). |
|
Следствие. Al diag A1l , Al2 , |
, Ald . |
Утверждение 3.10. Произведением двух верхних треугольных матриц является верхняя треугольная матрица, причем элементы, стоящие на главной диагонали матрицы, равны произведению соответствующих элементов перемножаемых матриц.
Доказательство. Пусть
c |
c |
c |
|
|
d |
||
|
11 |
12 |
1n |
|
|
11 |
|
C |
0 |
c22 |
c2n |
, |
D |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
cnn |
|
|
0 |
|
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
c |
|
|
c |
d |
||
|
|
11 |
|
12 |
|
|
1n |
11 |
|
CD |
|
0 |
|
c22 |
|
|
c2n |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
cnn |
0 |
|
|
|
|
c d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
c22d22 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Следствие. Пусть |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
c |
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
12 |
|
|
|
|
|
C |
|
0 |
|
c22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
d12 d22
0
d12 d22
0
.
cnn dnn
c1n c
2n ,
cnn
d1n d
2n ,
dnn
d1n d
2n
dnn
144 |
Глава 3. ЖОРДАНОВА НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА МАТРИЦЫ |
тогда |
|
|
|
|
c11 l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
||
|
Cl 0 |
|
|
|
|
|
. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
cnn |
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Определение 3.13. |
Ненулевая квадратная матрица A называет- |
|||||||||||
ся нильпотентной матрицей порядка m, |
если |
m |
такое, что |
|||||||||
Am , а Am 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Рассмотрим квадратную матрицу порядка m |
|
|
||||||||||
|
|
|
0 |
1 |
0 |
... |
0 |
0 |
|
|
||
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
... |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
. . . |
. . |
. |
, |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
для |
элементов |
|
которой |
|
справедливо |
соотношение |
||||||
1, |
если j i 1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bij |
если j i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Утверждение 3.11. Матрица является нильпотентной матрицей порядка m.
Доказательство. Рассмотрим последовательные степени матрицы B. Обозначим через bij элементы матрицы B2 .
b11 b11b11 b12b21 ... b1k bk1 b12b21 1 0 0,
b12 b11b12 b12b22 ... b1k bk 2 b11b12 b12b22 0 1 1 0 0, b13 b11b13 b12b23 ... b1k bk 3 b12b23 1 1 1
|
. . . . . . . . . . . . . . . |
b1k b11b1k |
b12b2k ... b1k bkk b12b2k b1k 1bk 1k 1 0 0 1 0 |
и т.д.
3.4. Единственность жордановой формы матрицы |
145 |
|||||||||
Таким образом, bij |
1, |
если j i 2 |
, и, следовательно, |
|
||||||
|
|
если j i 2 |
|
|||||||
|
|
0, |
|
|
|
|
||||
|
|
0 |
0 |
1 |
0 ... |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
1 ... |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
. |
. . . . . |
. |
. |
|
||||
|
|
0 |
0 |
0 |
0 ... |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 ... |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 ... |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Аналогично, получаем, что в каждой следующей степени матрицы B ее единичная диагональ смещается вправо-вверх, и окончательно имеем
0 |
0 |
... |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
... |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
, |
Bm . |
|||||
m 1 . |
. . . |
. |
|
|||||
|
0 |
0 |
... |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
0 |
0 |
... |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Утверждение 3.11 доказано.
Пример 3.8. При m 4
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
, |
||||
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
||||
|
0 0 |
1 |
0 |
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|||||||
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
тогда 2 |
|
|
, |
3 |
|
|
, |
4 |
|
. |
||||||||||||
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Пусть теперь J0 |
жорданова клетка порядка m0 : |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
146 |
Глава 3. ЖОРДАНОВА НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА МАТРИЦЫ |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
|
. . . . |
. |
. |
. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 ... |
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 ... |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим матрицу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
J0 E . |
|
. |
. |
. |
|
. |
|
. |
. |
|
|
||||
|
|
|
|
0 |
|
0 |
0 |
... |
|
1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
0 |
|
0 |
0 |
... |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Утверждение 3.12. Если , то для любого натурального l |
||||||||||||||||
rang J0 |
E l m0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Доказательство. Так как J0 E |
верхняя треугольная мат- |
|||||||||||||||
рица, то по следствию к утверждению 3.10 |
J0 |
E l |
является |
|||||||||||||
верхней треугольной матрицей вида |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
J0 E |
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
. |
|
. |
|
. |
|
. |
|
|
. |
. |
|||||
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
... |
l |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
... |
|
0 |
|
|
||||
Определитель |
этой |
|
матрицы |
равен |
произведению |
элементов, |
||||||||||
стоящих на главной диагонали: det J0 |
E l |
m0 l . |
||||||||||||||
По условию , поэтому |
det J0 E l 0 . Из определе- |
|||||||||||||||
ния ранга матрицы следует, что rang J0 E l |
m0 . |
Утвержде- |
||||||||||||||
ние 3.12 доказано. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3.4. Единственность жордановой формы матрицы |
147 |
|||||||
Утверждение 3.13. Если , то для любого натурального l |
||||||||
l |
m l, |
если |
l m |
|
|
|
||
rang J0 E |
|
0 |
|
|
0 . |
|
|
|
|
0, |
если |
l m0 |
|
|
|
||
Доказательство. |
Так как |
, то |
|
|
|
|||
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|||||
|
J0 E . . |
. . . . |
. |
|||||
|
|
|
0 |
0 |
0 ... |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
0 |
0 |
0 ... |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|||||
Эта матрица имеет m0 1 линейно независимых строк, следовательно, ее ранг равен m0 1. Согласно утверждению 3.11
|
|
0 |
0 |
1 |
0 ... |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
1 ... |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
||||||
J0 E |
2 |
. |
. . |
. . . |
. |
|
|||
|
|
0 |
0 |
0 |
0 ... |
0 |
1 |
. |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 ... |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 ... |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
||||||
Эта матрица имеет m0 2 линейно независимых строк, следовательно, ее ранг равен m0 2 . И т.д.
Как было показано в утверждении 3.11, в каждой следующей степени матрицы J0 E ее единичная диагональ смещается вправо-вверх, и количество линейно независимых строк уменьшается на 1. При l m0 1 имеем
148 |
Глава 3. ЖОРДАНОВА НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА МАТРИЦЫ |
|||||||||||
|
|
|
|
0 |
0 |
... |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
... |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
J0 E m0 1 |
|
|
|
|
||||||
|
|
. . . . . |
|
, |
|
|||||||
|
|
|
|
|
0 |
0 |
... |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
0 |
0 |
... |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
следовательно, rang J0 E m0 1 1. |
|
|
|
|
|
|
||||||
Начиная |
с |
l m0 , |
J0 |
E l |
. |
|
В |
|
этом случае |
|||
rang J0 E l |
0 . Утверждение 3.13 доказано. |
|
|
|
||||||||
Теорема 3.10 (о единственности жордановой нормальной формы матрицы линейного оператора). Жорданова нормальная форма матрицы линейного оператора определена однозначно с точностью до перестановок жордановых клеток.
Доказательство. Пусть V линейное пространство над мно-
жеством |
|
F, |
|
dimV n, J |
|
жорданова матрица |
оператора |
||||||||
L V ,V |
в некотором жордановом базисе |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
J diag J1, J2 , |
|
, Jd . |
|
||||
Здесь Ji |
жорданова клетка |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
i |
1 |
0 ... |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 ... |
0 |
|
|
|
|
|
|||
|
J |
|
. . . . |
. |
. |
|
, |
|
F, i 1, |
, d . |
|||||
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 ... |
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 ... |
0 |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Обозначим |
порядок |
матрицы |
Ji |
через |
mi , |
|
m1 m2 |
md |
n . Заметим, что в силу теоремы 3.6 числа 1 , |
||||
2 , …, d |
являются собственными значениями оператора . Сле- |
|||||
довательно, на диагонали матрицы J расположены |
собственные |
|||||
значения. |
Пусть 0 − одно из собственных значений оператора . |
|||||
3.4. Единственность жордановой формы матрицы |
149 |
Обозначим через si количество жордановых клеток порядка i , в которых на диагонали стоит 0 , i 1, , p. Здесь p максимальный порядок жордановой клетки, в которой на диагонали стоит
число |
. |
Положим |
r rang J E i |
, |
i 1, 2, , p. |
Так как |
|
|
0 |
|
i |
0 |
|
|
|
матрица |
J E i |
является |
матрицей |
|
линейного |
оператора |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 I i , то по утверждению 2.2 ее ранг ri |
не зависит от выбора |
||||
базиса. Выразив числа s1 , s2 , …, sp через инварианты r1 , r2 ,…, rp , |
|||||
мы докажем, что они сами являются инвариантами. |
|
||||
Вычислим ранг матрицы: |
|
|
|
|
|
J 0E diag J1 0E1, J2 0E2 , |
, Jd 0Ed , |
|
|||
здесь Ei единичная матрица порядка mi |
, i 1, |
, d . |
|
||
В силу утверждения 3.8 имеем |
|
|
|
|
|
r1 rang J 0E rang J1 0E1 rang J2 0E2 |
|||||
rang Jm 0Em . |
|
|
|
|
|
Согласно утверждениям 3.12 и 3.13 |
rang Ji |
0Ei mi |
, если |
||
на диагонали жордановой клетки |
Ji |
не |
стоит число |
0 , и |
|
rang Ji 0Ei mi 1, если на диагонали жордановой клетки Ji
стоит число 0 . По условию |
m1 m2 |
|
md n . |
Следова- |
||
тельно, ранг матрицы |
J 0E будет меньше ее порядка n на ко- |
|||||
личество жордановых клеток, в которых |
на диагонали стоит число |
|||||
0 (это число равно s1 |
s2 |
sp ), т.е. |
|
|
||
|
r1 n s1 s2 |
sp . |
(3.23) |
|||
Рассмотрим матрицу J E 2 . |
По утверждению 3.9 |
|
||||
J 0E 2 diag J1 |
0 |
|
|
|
, , Jd 0Ed 2 . |
|
0E1 2 |
, J2 |
0E2 2 |
||||
В силу утверждения 3.8 ее ранг равен
150 |
Глава 3. ЖОРДАНОВА НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА МАТРИЦЫ |
|
||||||
r2 |
rang J 0E 2 rang J1 |
0E1 2 rang J2 |
0E2 2 |
|||||
|
rang Jm 0Em 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
Согласно утверждению 3.12 |
|
rang Ji |
0Ei 2 |
mi , если на |
||||
диагонали жордановой клетки Ji |
не стоит число 0 . |
Согласно ут- |
||||||
верждению 3.13 rang Ji 0Ei |
2 |
0 , |
если на диагонали жорда- |
|||||
новой клетки Ji стоит число 0 |
и mi |
1 (по условию количество |
||||||
таких клеток равно s1 ), и rang Ji 0Ei 2 |
mi |
2 , |
если на диа- |
|||||
гонали жордановой клетки Ji |
стоит число 0 |
и mi |
2 (по усло- |
|||||
вию количество таких клеток равно s2 |
sp ). Следовательно, |
|||||||
ранг матрицы J 0E 2 будет меньше ранга матрицы J 0E на |
||||||||
s2 |
sp , т.е. r2 r1 s2 |
sp . Проводя аналогичные рассу- |
||||||
ждения, получим r3 r2 s3 |
|
sp |
, …, rp 1 rp 2 sp 1 sp , |
|||||
rp rp 1 sp . В результате мы получили систему уравнений отно-
сительно неизвестных s1 , s2 , …, sp . Перепишем эту систему в виде
s1 |
s2 |
... sp |
n r1 |
|
|
|
... sp |
r1 r2 |
|
|
s2 |
. |
||
|
|
|
|
|
. . . . . . . . . . . . . . . . . |
|
|||
|
|
sp rp 1 rp |
|
|
|
|
|
||
Определитель этой системы равен 1, поэтому она имеет единственное решение. Вычитая из каждого уравнения следующее за ним,
получаем формулы, по которым s1 , s2 , …, sp выражаются через инварианты r1 , r2 , …, rp :