Lineynye_operatsii

Продолжаем этот процесс до тех пор, пока суммарное количество элементов в жордановых цепочках не совпадет с размерностью

корневого подпространства V 0 .

Замечание 3.6. Если геометрическая кратность собственного значения 0 равна 1, то жорданов базис корневого подпространст-

ва V 0 состоит из одной жордановой цепочки длиной p dimV 0 (в табл. 3.4 будет только один столбец высоты p ). В этом случае

построение жорданова базиса сводится к нахождению собственного вектора и вычислению присоединенных к нему векторов способом, изложенным в замечании 3.5.

Рассмотрим, какой вид может иметь жорданова нормальная форма матрицы линейного оператора , если

Возможны следующие случаи.

1. У оператора имеется три различных собственных значения1, 2 , 3, . Тогда жорданова нормальная форма матрицы линейного оператора имеет вид

2. У оператора имеется два различных собственных значения1, 2 . Пусть алгебраические кратности собственных значений 1

и 2 равны 2 и 1, соответственно.

Если геометрическая кратность собственного значения 1 рав-

на 2, то жорданова нормальная форма матрицы линейного оператора имеет вид

1, то жорданова нормальная форма матрицы линейного оператораимеет вид

3. У оператора имеется одно собственное значение 1 алгебраической кратности 3. Если геометрическая кратность собственного значения 1 равна 1, то жорданова нормальная форма матрицы линейного оператора имеет вид

рав-

на 2, то жорданова нормальная форма матрицы линейного оператора имеет вид

рав-

на 3, то жорданова нормальная форма матрицы линейного оператора имеет вид

нормальной формы матрицы линейного оператора для dimV 4.

Перед тем как перейти к нахождению жордановой нормальной формы матрицы конкретных линейных операторов, напомним следующие ранее полученные факты:

1)количество жордановых клеток, отвечающих собственному значению i , равно его геометрической кратности l1i ;

2)размер жордановой клетки, отвечающей собственному зна-

чению i , не превышает его алгебраической кратности ni .

Пример 3.5. Пусть матрица линейного оператора в некотором базисе имеет вид

Найти жорданов базис и жорданову нормальную форму матрицы оператора .

Решение. Составим характеристическое уравнение:

ности n0 5, а корневое подпространство V 0 , отвечающее этому

методом Гаусса. Приведем матрицу системы к сильно ступенчатому виду:

геометрическая кратность собственного значения 0 1 равна 2: l10 2 . Это означает, что жорданов базис будет состоять из двух

Система (3.17) сводится к уравнению 1 3 2 5 0. Отсюда по-

лучим 1 3 2 5. Это уравнение имеет четыре свободных пе-

ременные: 2 , 3 , 4 , 5 . Следовательно, у него есть четыре ли-

нейно независимых решения. Два их них – это e11 и e12 . Чтобы получить линейно независимые с ними решения свободные переменные 2 и 5 (в предыдущей системе они были главными), берем по очереди 0 и 1 (остальные свободные переменные берем равными

(N 2 Ker I 2 Ker A E 2 ) .

Заметим, что A E 3 нулевая матрица (проверьте непосред-

ственным вычислением). Действительно, так как размерность пространства решений системы (3.17) оказалась равной 4, то размер-

решений этой системы также равна 5, что возможно только в случае, когда A E 3 является нулевой матрицей. Фундаменталь-

ной системой решений однородной системы линейных алгебраических уравнений с нулевой матрицей системы являются любые 5 линейно независимых векторов. Нам надо найти вектор не принад-

Теперь очевидно, что вектор e13 0, 0, 0, 0,1 N 2.

Получили базис из корневых векторов: e13 корневой вектор

высоты 3, e12 , e22 корневые векторы высоты 2, e11 , e12 корневые

векторы высоты 1 (собственные векторы).

Перейдем к построению жорданова базиса. Возьмем корневые векторы максимальной высоты. В нашем случае это e13. Положим e13 e13 , вычислим корневой вектор e12 ( I )e13 высоты 2:

корневые векторы высоты 1. Сгруппируем полученные базисные

мерность всего корневого пространства равна 5, то у рассматриваемого оператора имеется только один линейно независимый корневой вектор высоты 3, а корневых векторов высоты больше 3 быть не может. Таким образом, максимальная длина жордановой цепочки p 3 . Кроме того, так как у оператора только один ли-

нейно независимый корневой вектор высоты 3, то жорданова цепочка длиной 3 будет одна.

Найдем собственный вектор g11 , входящий в эту цепочку:

тор 1-го порядка. Он является решением неоднородной системы

A E g12 g11 .

Решим эту систему методом Гаусса:

этой системы g12 0,1, 0, 0, 0 .

Найдем g13 присоединенный вектор 2-го порядка. Он является решением неоднородной системы

A E g13 g12 .

Решим эту систему методом Гаусса

этой системы g13 1, 0, 0, 0, 0 . Жорданова цепочка длины 3 по-

строена: g11 1, 0,1, 0, 0 , g12 0,1, 0, 0, 0 , g13 1, 0, 0, 0, 0 .