Lineynye_operatsii

3.3. Приведение матрицы к жордановой нормальной форме

111

Так как dimV 0

n

(теорема 3.5), то

базис p

содержит n

0

0

элементов (теорема 1.7). Он является объединением

рассмотрен-

ных выше систем корневых векторов:

p e11,

, el1

e12 ,

, el2

e1p 1,

, elp 1

e1p ,

, elp ,

1

2

p 1

p

l1 l2

lp n0 .

Для наглядности составим из

элементов базиса p табл. 3.1, в

e p ,

,

e p

,

1

l p

e p 1 ,

,

e p 1

,

1

l p 1

.

.

.

e1

,

,

e1 .

1

l

1

Для удобства

дальнейшего

изложения

введем

обозначения:

I , i I i . Тогда Ni Ker i , i 1, , p.

0

0

Теорема 3.7. Базис p удовлетворяет следующим свойствам:

1) элементы e1i

,…,

eli

являются

линейно

независимыми

i

корневыми векторами высоты i 1, i 2,

, p;

2) семейство i 2

1

,

li

ei

,

ei

−

линейно

независимо в

112

Глава 3. ЖОРДАНОВА НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА МАТРИЦЫ

Доказательство. Пусть ei ,

, ei

корневые векторы высоты i ,

1

l

i

1

li

входящие в базис p . Это означает, что L

.

ei ,

, ei

N i 1

Рассмотрим элементы e1i

,…, eli . Это корневые векторы

i

высоты

i 1, следовательно,

они

принадлежат

подпространству

ную комбинацию и приравняем ее нулевому элементу:

1 e1i

l

eli

.

i

i

В силу

линейности оператора , это равенство можно переписать

в

виде

1e1i

l

eli

.

Это

означает,

что

i

i

ei

ei N1.

Так

как

N1 Ni 1

и

1 1

l

l

i

i

i

i

i 1

то

и

i

i

1

поэтому

L

e ,

, e

N

,

L

e ,

, e

N

,

1

li

1

li

ei

l

ei .

С учетом линейной независимости

ei ,

, ei

,

1 1

l

1

l

i

i

i

получаем 1 2

l

0.

Следовательно, e1i ,…, eli

i

i

линейно независимы.

Теперь докажем,

что

L

ei

,

,

ei

N i 2

.

Будем

1

li

доказывать от противного.

Пусть есть ненулевой элемент x , кото-

1

,

li

N i 2. Разложим

рый принадлежит L

ei

,

ei

его по

базису пространства L

ei

,

,

ei

и воспользуемся линей-

1

li

ностью : x 1 e1i

l

eli

1e1i

l

eli

.

i

i

i

i

По

нашему

предположению

x ,

тогда

и

y ei

l

ei (линейный оператор нулевой элемент пе-

1 1

l

i

i

вым

элементом, принадлежащим подпространству

L e1i , , eli

.

i

Это

означает, что y является корневым вектором

высоты i,

а

3.3. Приведение матрицы к жордановой нормальной форме

113

x y

корневым

вектором

высоты

i 1.

В

силу

этого

x N i 2 .

Получили противоречие. Следовательно,

1

li

N i 2 .

L

ei

,

,

ei

1

,

li

Рассмотрим сумму

подпространств L

ei

,

ei

и

лежит

1

N i 1.

li

Поэтому,

во-первых,

семейство

i 2

, ,

линейно независимо в N i 1,

а во-вторых

ei

ei

Отсюда имеем l

l

. Свойства базиса p

доказаны.

i

i 1

Переходим

к построению жорданова базиса в корневом под-

пространстве V 0 .

Возьмем корневые векторы e p

,

, e p

максимальной высоты p

1

l p

из базиса p .

Вычислим e1p ,

, elp

. По теореме 3.7,

это

p

линейно независимые корневые векторы высоты

p 1 такие,

что

1

l p

p

p 1

L ep ,

,

ep

N p 2

и l

l

.

Возможны два случая.

1 случай: l

p

l

p 1

.

Заменим в базисе p элементы ep 1 ,

, ep 1

, elp

. Покажем,

1

l p 1

на элементы e1p

,

что объединение векто-

p

lp

1

l p

ров ˆ p p 2

1

V 0 .

ep

, ,

ep

ep ,

, ep

− базис в

114

Глава 3. ЖОРДАНОВА НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА МАТРИЦЫ

Рассмотрим

подпространства

N p 2 L p 2 ,

L L e p

,

,

e p

и M L

e p ,

, e p

.

По свойствам ба-

1

lp

1

lp

зиса p

N p 2

L { },

N p 2

M { },

M

L { }. Следова-

тельно, сумма этих подпространств является прямой,

а объедине-

ˆ p

является базисом этой суммы. Количество эле-

ние их базисов

ˆ p

совпадает с количеством элементов в

p

ˆ p

ментов в

, поэтому

является базисом

в V

0

.

Базис

ˆ p

для случая

lp lp 1 записан в

таблице 2. Он удовлетворяет тем же свойствам, что и базис p .

Таблица 3.2

e p ,

,

e p ,

1

l p

e1p ,

,

elpp ,

.

.

.

e1,

,

e1 .

1

l

1

2 случай: lp

lp 1 .

Дополним систему e1p ,

, elpp эле-

ментами из набора ep 1

,

, ep 1

так, чтобы, во-первых, получилось

1

l p 1

N p 2

состояло бы только из нулевого элемента.

Обозначим эти

элементы e p 1

,

, e p 1.

Покажем, что

l p 1

l p 1

l p

l p 1

1

l p

ˆ p

p 2

1

l p 1

e

,

,

e

, e

,

, e

e

,

, e

−

3.3. Приведение матрицы к жордановой нормальной форме

115

Рассмотрим подпространства N p 2 L p 2 ,

1

l

l p 1

l

и M L

1

l

L L

e p

,

,

e p

, e p 1

, , e p 1

e p ,

, e p

.

p

p 1

p

По

построению

N p 2

L { },

по свойствам

базиса

p

N p 2

M { } , M

L { }. Следовательно, сумма

этих

под-

падает с количеством

элементов

в p ,

то

ˆ p

является базисом

V 0 .

Базис ˆ p для случая

l

p

l

p

1

записан в таблице 3. Он удов-

летворяет тем же свойствам, что и базис p .

Таблица 3.3

e p ,

,

e p

,

1

l p

e1p ,

,

elp ,

elpp 11 ,

, elp 1

,

p

p 1

.

.

.

.

.

.

.

e1,

,

,

,

,

,

e1 .

1

l

1

полученную систему из

lp 2

элементов. И т.д.

Повторяя эту процедуру

p 1 раз,

построим базис p

подпро-

странства V 0 (табл. 3.4).

Таблица 3.4

e p ,.............,

e p ,

1

l p

e1p ,

,

elp

,

elpp 11 , ,

elp 1,

p

elpp 11 , ,

p 1

2 e1p ,

,

2 elp

,

elp 1 , elpp 12 1

,

, elp 2 ,

p

p 1

p 2

, p 2 elp , p 3 elpp 11 ,

, p 3 elp 1

,

,

p 2 e1p ,

, el23 1 ,

, el2 ,

p

p 1

2

p 1 e1p ,

, p 1 elpp ,

p 2 elpp 11 ,

, p 2 elpp 11 ,

, el23 1 ,

..., el2

, e1l2 1 ,

, e1l .

2

1

ве N1 V

. Их количество равно l

геометрической кратности

0

1

собственного значения 0 . Векторы двух последних строк

обра-

зуют базис

в подпространстве N 2

корневых векторов

высоты

3.3. Приведение матрицы к жордановой нормальной форме

117

Столбцы табл. 3.4 образуют жордановы цепочки:

1

1

1

1

p 1

e

p

p 1

e

p

,

p 2

e

p

,..., e

p

,...,

p 1

e

p

p 1

e

p

,

p 2

e

p

,..., e

p

,...,

1

e

1

.

e

l p

l p

l p

l p

l

l

1

1

базис подпространства V 0 :

p 1

p 1

1

.

e1

...

el

p

el

1

Он является объединением жордановых цепочек.

Введем цикличе-

ские подпространства

1

l p

1

l p

0

p 1

e

0

Z

L

, …, Z

L

e

,…,

0

1

.

Zl1

L el1

V 0 Z 0

Z 0

Z 0 .

(3.15)

1

l

p

l

1

p 1

p 1

1

e1

...

el

p

el

1

является жордановым базисом в корневом подпространстве V 0 ,

то, согласно теореме 3.6, в этом

базисе

матрица оператора име-

Pn ( ) 1 n 1 n1 2 n2

k nk , n1

nk n.

Отсюда следует,

что оператор имеет k различных собствен-

ных значений 1 , 2

, …, k алгебраических кратностей n1 , n2 ,…,

nk , соответственно. Согласно теореме 3.5 пространство V разла-

гается в прямую сумму корневых подпространств V 1 , V 2 ,…,

V k : V V 1

V 2

V k ,

dimV i n ,i 1,

, k. По тео-

i

реме 3.8 каждое корневое подпространств V i ,

i 1,

, k , раскла-

дывается в

прямую

сумму

циклических

подпространств:

V i Z i

Z i . Здесь li геометрическая кратность собст-

1

li

1

1

V Z 1

Z 1

Z k Z k .

1

1

1

l

k

l

1

1

3.3. Приведение матрицы к жордановой нормальной форме

119

ратора, т.е.

d l1

l2

lk .

1

1

1

образует жорданову цепочку высоты p.

Нижний элемент этого

столбца p 1 e1p

является собственным

вектором оператора .

Обозначим его

e1

. Так как e1 собственный вектор оператора ,

1

1

отвечающий собственному значению 0 , то e11 ker 0 I .

Из

равенства

e11

p 1 e1p

следует,

что

e1 Im p 1

Im I p 1 .

Таким образом, e1 удовлетворяет

1

0

1

условиям e1

Ker I

Im I

p 1 .

Аналогично уст-

1

0

0

,…, el1 p 1 el

.

роены

собственные векторы

e21

p 1 e2p

p

p

Следовательно,

чтобы

построить

жордановы

цепочки длины

p

принадлежащих

линейному

подпространству

M

1

Ker I

Im I p 1

. Обозначим их

g1 ,

g1 ,

…,

0

0

1

2

g1 .

Затем

для

каждого такого

собственного

вектора

g1 ,

l

p

i

i 1,

,lp нужно

найти присоединенные

векторы

1-го, 2-го,…,

p 1 -го

порядка. Пусть gi2 присоединенный вектор 1-го по-

гебраических уравнений относительно gi2 A 0E gi2

gi1 .

Решив эту систему, найдем gi2 . Для нахождения gi3 присое-

диненного

вектора 2-го порядка

( gi3 gi2 ),

решим неодно-

родную

систему

линейных

алгебраических

уравнений

A 0E gi3

gi2 или A 0E 2

gi3 gi1 . И т.д., пока не дойдем

p 1

до gip

присоединенного вектора

-го

порядка

ную

систему

линейных

алгебраических

уравнений

A 0E gip gip 1

или A 0E p 1 gip gi1 .

Замечание 3.5. Для нахождения присоединенных к

g1 векторов,

i

иногда удобно сначала найти последний вектор gip ,

решив неод-

нородную систему A 0E p 1 gip

gi1, а затем вычислить осталь-

ные по формулам:

gip 1

A 0E gip , gip 2 A 0E gip 1

,…, gi2 A 0E gi3 .

M2 Ker 0 I

Im 0 I p 2 .

Его размерность

равна lp 1

количеству элементов во

второй

строке табл.3.4.

Имеет

место

вложение

M1 M2.

Если

dim M1 dim M2

(количество элементов в первой и второй стро-

ках табл.3.4 совпадает), то жордановых цепочек

длины p 1 не