Lineynye_operatsii

Таким образом, e12 является корневым вектором высоты 2, а

e22 − собственным вектором, т.е. корневым вектором высоты 1.

2 способ

Рассмотрим сначала собственное значение 1 4.

1) Решим однородную систему линейных алгебраических уравнений A 4E 0 методом Гаусса. Выше мы нашли, что

тор оператора , отвечающий собственному значению 1 4 , т.е.

корневой вектор высоты 1. Так как мы получили только один линейно независимый собственный вектор, то геометрическая крат-

ность собственного значения 1 4 равна 1.

102Глава 3. ЖОРДАНОВА НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА МАТРИЦЫ

2)Решим однородную систему линейных алгебраических урав-

нений A 4E 2 0 методом Гаусса. Выше, рассматривая 1-й

способ, мы уже решали эту систему и получили

1 4 .

2 0

Так как у нас две свободные переменные − 3 и 4 , то фундаментальная система решений этой системы состоит из двух линейно независимых решений. Одно из них берем e11 -1, 0, 2,1 решение системы, полученной на предыдущем шаге (ему отвечают свободные переменные 3 2 , 4 1). Это корневой вектор высоты 1. Чтобы получить второе решение, линейно независимое с пер-

Теперь рассмотрим собственное значение 2 1 .

1) Решим однородную систему линейных алгебраических уравнений A E 0 методом Гаусса. Выше мы нашли, что

чили только один линейно независимый собственный вектор, то геометрическая кратность собственного значения 2 1 равна 1.

2) Решим однородную систему линейных алгебраических уравнений A E 2 0 методом Гаусса. Выше, рассматривая 1 спо-

ментальная система решений этой системы состоит из двух линейно независимых решений. Одно из них берем e12 0,1, 2,1 решение системы, полученной на предыдущем шаге (ему отвечают свободные переменные 1 0 , 4 1). Это корневой вектор высоты 1. Чтобы получить второе решение, линейно независимое с пер-

Упражнение. Найти матрицу оператора в базисе, построен-

ном первым и вторым способом.

Возникает вопрос, можно ли в каждом корневом подпространстве научиться выбирать базис так, чтобы матрица оператора имела еще более простой вид? Ответ на этот вопрос будет дан в следующих параграфах.

104 Глава 3. ЖОРДАНОВА НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА МАТРИЦЫ

3.2. Циклические подпространства.

Жорданова нормальная форма матрицы линейного оператора

em x0. Согласно утверждению 3.3 элементы e1 , e2 , …, em жор-

дановой цепочки являются корневыми векторами высоты 1, 2,…, m, соответственно. В силу теоремы 3.3 они линейно незави-

симы.

Заметим, что первый элемент e1 жордановой цепочки имеет высоту 1, т.е. является собственным вектором оператора , отвечающим собственному значению 0 .

Определение 3.7. Векторы e2 ,…, em жордановой цепочки называются, соответственно, присоединенными векторами 1-го, 2-го,…,m 1 -го порядка к собственному вектору e1.

Выразим каждый предыдущий вектор жордановой цепочки че-

Получаем, что векторы жордановой цепочки удовлетворяют соотношениям

e1 0 e1 , ei ei 1 0ei , i 2,3,..., m . (3.6)

Определение 3.8. Линейная оболочка элементов жордановой цепочки называется циклическим подпространством, порожденным собственным вектором e1 .

В силу линейной независимости элементы e1 , e2 ,…, em образу-

ипроверим, что x L e1 :

x 0 I 0 I x 0 I x 0 I x

В процессе вычислений мы воспользовались формулами (3.4) и (3.5). Утверждение 3.5 доказано.

Утверждение 3.6. В циклическом подпространстве в базисеe1 матрица оператора имеет вид

Определение 3.12. Базис, в котором матрица линейного оператора L(V ,V ) имеет вид (3.9), называется жордановым базисом,

а сама матрица называется жордановой нормальной формой матрицы оператора .

108 Глава 3. ЖОРДАНОВА НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА МАТРИЦЫ

Теорема 3.6. Матрица линейного оператора L(V ,V ) имеет

жорданову нормальную форму тогда и только тогда, когда базис, в котором она задана, является объединением жордановых цепочек, причем на диагонали стоят собственные значения этого оператора.

числа 1 , 2 , …, d являются корнями характеристического многочлена, то они являются собственными значениями оператора , следовательно, на диагонали матрицы J стоят собственные значе-

нову цепочку.

Достаточность. Пусть базис является объединением жордановых цепочек

110 Глава 3. ЖОРДАНОВА НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА МАТРИЦЫ

Это корневые векторы высоты 1 (собственные векторы) опера-

тора , отвечающие собственному значению 0 . Обозначим ли-

нейную оболочку семейства 1 через N1 : N1 L 1 . Заметим,

что число l1 совпадает с геометрической кратностью собственного значения 0 , а N1 Ker 0 I V 0 − собственное подпро-

странство оператора , отвечающее собственному значению 0 .

дополняющие фундаментальную систему решений 1 системы (3.12) до фундаментальной системы решений 2 системы (3.13):

мыми корневыми векторами высоты p.