Шпоры по физике I поток от В. Макаренко

1.Линии напряженности электрического поля и эквипотенциальные поверхности. Работа силы электрического поля. Потенциал Связь между напряженностью и потенциалом. Поле вне и внутри объемно заряженного шара. Линией напряженности электрического поля называется линия, касательная к которой в каждой точке совпадает с вектором напряженности . Линии напряженности электростатического поля начинаются на положительных электрических зарядах и кончаются на отрицательных электрических зарядах или уходят в бесконечность. Распределение линий напряженности вокруг точечного заряда . Поверхность, во всех точках которой потенциал электрического поля имеет одинаковые значения, называется эквипотенциальной поверхностью. Между двумя любыми точками на эквипотзенциальной поверхности разность потенциалов равна нулю, поэтому работа сил электрического поля при любом перемещении заряда по эквипотенциальной поверхности равна нулю.Линии напряженности электростатического поля перпендикулярны эквипотенциальной поверхности. Эквипотенциальными поверхностями поля точечного электрического заряда являются сферы, в центре которых расположен заряд . F=qE; dA=Fdl=qEdlcos(E,dl); При перемещении заряда q из точки 1 в точку 2 эта работа равна ; ; Проекция отрезка dl на направление вектора E есть dr=dlcos(E,dl). => работа сил электрического поля не зависит от формы пути, а определяется только начальным и конечным положениями заряда q. Для электрического поля, созданного системой зарядов Q1, Q2,, Qn, работа перемещения заряда q равна алгебраической сумме работ составляющих сил: . Физическую величину, равную отношению потенциальной энергии электрического заряда в электростатическом поле к величине этого заряда, называют потенциалом φ электрического поля . A12=Wp1–Wp2=qφ1– qφ2=q(φ1–φ2). Потенциал φ∞ поля точечного заряда Q на расстоянии r от него относительно бесконечно удаленной точки . Пусть положительный заряд q перемещается силой электрического поля с эквипотенциальной поверхности, имеющей потенциал , на близко расположенную эквипотенциальную поверхность, имеющую потенциал Напряженность поля Е на всем малом пути dx можно считать постоянной. Тогда работа перемещения dA=qEdx. С другой стороны . Из этих уравнений получаем Знак минус обусловлен тем, что напряженность поля направлена в сторону убывания потенциала, тогда как градиент потенциала направлен в сторону возрастания потенциала. Поток вектора напряжённости электрического поля через любую произвольно выбранную замкнутую поверхность пропорционален заключённому внутри этой поверхности электрическому заряду. ; . заряд распределен равномернопо поверхности то поле, которое создавается им, обладает сферической симметрией. Значит линии напряженности направлены радиально (рис. 3). Проведем мысленно сферу радиуса r, которая имеет общий центр с заряженной сферой. Если r>R,ro внутрь поверхности попадает весь заряд Q, который создает рассматриваемое поле, и, по теореме Гаусса, 4πr2E = Q/ε0 , откуда(3) При r>R поле убывает с расстоянием r по такому же закону, как у точечного заряда. График зависимости Е от r приведен на рис. Поле объемно заряженного шара. Шар радиуса R с общим зарядом Q заряжен равномерно с объемной плотностью ρ (ρ= dQ/dV – заряд, который приходится на единицу объема). Напряженность поля вне шара имеет тот же результат, что и в случае (3). Внутри же шара напряженность поля будет иная. Сфера радиуса r'<R охватывает заряд Q'=(4/3)πr'3ρ . Поэтому, используя теорему Гаусса, 4πr'2E=Q'/ε0=(4/3)πr'3ρ/ε0 . Т.к. ρ=Q/(4/3πR3)) получае (4)Значит, напряженность поля вне равномерно заряженного шара описывается формулой (3), а внутри его изменяется линейно с расстоянием r' согласно зависимости (4). График зависимости Е от r для рассмотренного случая показан на рис. 5.

2.Электрический диполь в однородном и неоднородном поле (вращательный момент, энергия, сила). M = Flsin, F=qE; lsin- плечо этой силы. M=qlEsin, но ql=p- электрический момент диполя,следовательно, М=рEsin, (17.21)  - угол между направлениями p и E. Формула (17.21) может быть написана в векторном виде:   (17.22) Механический момент М (17.22) стремится повернуть диполь так, чтобы его электрический момент р установился по направлению напряженности электрического поля. Чтобы увеличить угол между векторами р и Е на d, нужно совершить против сил, действующих на диполь в электрическом поле, работу dA=Md = pEsind. Эта работа идет на увеличение потенциальной энергии W, которой обладает диполь в электрическом поле dW = pEsind (17.23). Интегрирование выражения (17.23) дает для энергии диполя в электрическом поле выражение W = - pEcos + const, полагая const=0 (благодаря произвольности выбора начального уровня отсчета), получаем W = - pEcos = - pE . (17.24) Проанализируем (17.24): а) если диполь устанавливается перпендикулярно к полю, т.е. рЕ, то W = 0; б) если р­­Е, то W=-pE - наименьшее значение энергии, что соответствует устойчивому положению диполя, к этому положению система диполь в электрическом поле стремится самопроизвольно; в) если р­ Е, то W = pE - энергия максимальна, что соответствует неустойчи­вому  положению диполя. Электрический диполь в неоднородном электрическом поле. Величина результирующей сил F+ и F- не равна нулю, так как F+ = qE2, а F-=qE1, где E1 и E2 - напряженности поля в точках, где находятся заряды q- и q+. Тогда Fx = q(E2-E1) = qE, но, из математического определения приращения функции и анализа рис.10, следует Е = (Е / x)  x = (Е / x) l cos  , так как  х = l cos . Следовательно,  Fx = q (Е / x) l cos  = p(Е / x)cos  (17.25) Величина Е / x является градиентом напряженности электрического поля в направлении Х/

3. Поле одной и двух заряженных плоскостей. Если заряд распределён по поверхности, удобно пользоваться понятием поверхностной плотности заряда. Выделим на плоской поверхности малый участок площадью ΔS; пусть его заряд Δq. Тогда поверхностная плотность заряда равна σ =Δq/ΔS. Если заряд распределён равномерно, то σ =q/S. найдем напряженность поля бесконечной заряженной плоскости с поверхностной плотностью заряда σ (рис. 5). Из симметрии понятно, что вектор  E⃗  всюду перпендикулярен плоскости. Выберем замкнутую поверхность в виде цилиндра, расположенного симметрично относительно плоскости. Поток вектора напряженности через боковую поверхность цилиндра равен нулю, а через каждое основание площадью S он равен ES, т. е. Φ=2ES .Но по теореме Гаусса  Φ=σSε0 .Приравнивая правые части обоих равенств, получаем E=σ2ε0 . Поле двух параллельных равномерно заряженных пластин. Складывая напряженности полей по принципу суперпозиции, получим, что в пространстве между пластинами напряженность поля  E=2E0=σε0 вдвое превышает напряженность поля одной пластины. Для однозначного определения распределения потенциала поля, необходимо выбрать уровень нулевого потенциала. Будем считать, что потенциал равным нулю в плоскости расположенной по средине между пластинами, то есть, положим φ = 0 при z = 0. Обозначим потенциал положительно заряженной пластины +φ₀, тогда потенциал отрицательно заряженной пластины будет равен -φ₀. Эти потенциалы легко определить, используя найденное значение напряженности поля между пластинами и связь между напряженностью и разностью потенциалов электрического поля. Уравнение этой связи в данном случае имеет вид φ₀ - (-φ₀) = Eh. Из этого соотношения определяем значения потенциалов пластин  φ0=σh2ε0 . Учитывая, что между пластинами поле однородное (поэтому потенциал изменяется линейно), а вне пластин поле отсутствует (поэтому здесь потенциал постоянен), зависимость потенциала от координаты z имеет вид

4. Электрическое поле равномерно заряженного диска. Представив диск состоящие из ряда плоских колец толщиной dу заменив R на у = rtg а; Q — на r —расстояние от рассматриваемой точки до центра диска. Тогда Интегрируя и полагая получим . В центре диска r=o ; B=/2; S=R; ;

5. Дипольный электрический момент системы зарядов. Поле электрического диполя. |r-ri|=ab; φ=(1/4piε0)Σqi/|r-ri|= (1/4piε0)Σ(qi/r)(1+rier/r)|= (1/4piε0)Σqi/r+(1/4piε0)(1/r^2)Σqirier; p=Σqiri-дипольный момент системы зарядов; Диполь–сист из 2 зарядов = по величине, разн по +/-. Поле диполя обладает осевой симм. φ=(1/4piε0)q/(r+)-(1/4piε0)q/(r-)= (1/4piε0)((r-)+(r+))/(r-)(r+)= (1/4piε0)q/(r^2)lcosθ; p=ql-дипольный момент; напряж-ть поля диполя. E=-gradφ; Er=-(d/dr)(1/4piε0)pcosθ/r^2=(1/4piε0)pcosθ=2/r^3; Eθ=-(d/rdθ)φ=-(1/r)(1/4piε0)(p/r^2)(dcosθ /dθ)= (1/4piε0)(p/r^3)sinθ; E=((Er)^2)+(Eθ^2))^(1/2)= (1/4piε0)(p/r^3) (4cosθ^2+sinθ^2)^(1/2); 2) теорема гаусса для Е и поле диполя. Поток Е сквозь произвольную замкнутую поверх­ность S зависит только от алгебраической суммы зарядов, охватываемых этой поверхностью. А именно int(0)Eds=qвнутр/ε0. – суть теоремы Гаусса: поток вектора Е сквозь замкнутую поверхность = алгебраической Σ зарядов внутри этой поверхности, деленной на ε0; Поле диполя. Диполь–сист из 2 зарядов = по величине, разн по +/-. Поле диполя обладает осевой симм. φ= (1/4piε0)q/(r+)-(1/4piε0)q/(r-)= (1/4piε0)((r-)+(r+))/(r-)(r+)= (1/4piε0)q/ (r^2)lcosθ; p=ql-дипольный момент; напряж-ть поля диполя. E=-gradφ; Er=-(d/dr)(1/4piε0)pcosθ/r^2= (1/4piε0)pco sθ=2/r^3; Eθ=-(d/rdθ)φ=-(1/r)(1/4piε0)(p/r^2)(dcosθ /dθ)= (1/4piε0)(p/r^3)sinθ; E=((Er)^2)+(Eθ^2))^(1/2)= (1/4piε0)(p/r^3) (4cosθ^2+sinθ^2)^(1/2); 3) Закон Ома; Ом в дифф. I=U/R Для однор. цилиндр. проводника: R=ρl/S, где ρ - удельное эл. сопрот. Возьмем цилин. с образ. dl паралл. j и Е. Ток через попер. сеч: jdS. U=Еdl; jdS = dSEdl/ ρdl => j=E/ρ= σE, σ- удельная эл проводимость; Неоднородным называют участок цепи, на котором действуют сторонние силы. Рассмотрим частный, но практически важный случай, когда электрический ток течет вдоль тонких проводов. В этом случае направление тока будет совпадать с направлением оси провода и плотность тока j может считаться одинаковой во всех точках сечения провода. Пусть площадь сечения провода равна S, при­чем S может быть и не одинаковой по длине провода.Разделим уравнение j=σ(E+E*) на σ, полученное выражение ум­ножим скалярно на элемент оси провода dl, взятый по направ­лению от сечения 1 к сечению 2 (его мы примем за положитель­ное), и затем проинтегрируем по длине провода от сечения 1 до сечения 2: int(12) jdl/ σ.=int(12)Edl+int(12)E*d l(3);Преобразуем подынтегральное выражение у первого интег­рала: заменим σ на 1/ρ и jdl на j(l)dl, где j(l) — проекция вектора j на направление вектора dl. Далее учтем, что j(l) — величина ал­гебраическая; она зависит от того, как направлен вектор j по отношению к dl: если j сонапр l, то j(l)>0, если же j не сонапр l, то j(l) <0. И последнее, заменим j(l) на I/S, где I — сила тока, величина тоже алгебраическая (как и j(l)). Поскольку для постоянного тока I одинаково во всех сечениях цепи, эту величину можно вынести за знак интеграла. В результате получим int (12) jdl/σ=I int (12) ρdl/S; Выражение ρdl/s определяет не что иное, как сопротивле­ние участка цепи длиной dl, а интеграл от этого выражения — полное сопротивление R участка цепи между сечениями 1 и 2.Теперь обратимся к правой части (3). Первый интеграл здесь — это разность потенциалов φ1- φ2, а второй интеграл представляет собой электродвижущую силу (э.д.с.) ε, действующую на данном участке цепи: ε12=int(12)E*dl; Эта величина, как и сила тока I, является алгебраической: если э.д.с. способствует движению положительных носителей тока в выбранном направлении, то ε12>0, если же препятству­ет, то ε12<0; После всех указанных преобразований уравнение (3) бу­дет иметь следующий вид: RI=φ1- φ2+ε12; где + считается направление от т 1 к т 2.3)теорема гаусса для вектора В. Ф(B)= int (o)(S) Bds=0; int (V) divBdv=0; div=(d/dx+d/dy+d/dz); divB=0;

6. Энергия системы точечных зарядов. Энергия заряженного проводника. Электростатические силы взаимодействия консервативны; значит, система зарядов обладает потенциальной энергией. Точечные заряды Q₁ и Q₂, на расстоянии r. Каждый из этих зарядов в поле другого обладает потенциальной энергией (используем формулу потенциала уединенного заряда): где φ₁₂ и φ₂₁ — соответственно потенциалы, которые создаются зарядом Q₂ в точке нахождения заряда Q₁ и зарядом Q₁ в точке нахождения заряда Q₂. Согласно, и поэтому W₁ = W₂ = W и Добавляя к нашей системе из двух зарядов последовательно заряды Q₃, Q₄, ... , можно доказать, что в случае n неподвижных зарядов энергия взаимодействия системы точечных зарядов равна (1) где φ_i — потенциал, который создается в точке, где находится заряд Q_i, всеми зарядами, кроме i-го. Энергия заряженного уединенного проводника. Рассмотрим уединенный проводник, заряд, потенциал и емкость которого соответственно равны Q, φ и С. Увеличим заряд этого проводника на dQ. Для этого необходимо перенести заряд dQ из бесконечности на уединенный проводник, при этом затратив на это работу, которая равна ");Чтобы зарядить тело от нулевого потенциала до φ, нужно совершить работу (2) Энергия заряженного проводника равна той работе, которую необходимо совершить, чтобы зарядить этот проводник: (3) Формулу (3) можно также получить и условия, что потенциал проводника во всех его точках одинаков, так как поверхность проводника является эквипотенциальной. Если φ - потенциал проводника, то из (1) найдем где Q=∑Q_i - заряд проводника.

7.Проводник в электрическом поле. Распределение заряда в проводнике. Условия на границе двух диэлектриков для векторов Е и D. Вещество или материальное тело, в котором имеются заряды, способные переносить электрический ток, называется проводником. Для. Если проводнику дать некоторый дополнительный заряд Q, то нескомпенсированные заряды разместяться только на поверхности проводника. поскольку во всех точках внутри замкнутой поверхности D=0. Обычно распределение зарядов σ по поверхности проводника неизвестно. Так как одноименные заряды (заряды одного знака) отталкиваются, они стремятся разойтись в проводнике как можно дальше. Это приводит к накоплению зарядов на наиболее удаленных участках проводников, например на остриях. Поле вблизи острия можно приближенно представить, как поле заряженной сферы того же радиуса кривизны r. Выделим вблизи границы раздела замкнутую поверхность в виде цилиндра, образующая которого перпендикулярна к границе раздела, а основания находятся на равном расстоянии от границы (рис. 2.6).

Так как на границе раздела диэлектриков нет свободных зарядов, то, в соответствии с теоремой Гаусса, поток вектора электрической индукции через данную поверхность.Выделяя потоки через основания и боковую поверхность цилиндрагде - значение касательной составляющей усредненное по боковой поверхности . Переходя к пределу при (при этом также стремится к нулю), получаем , или окончательно для нормальных составляющих вектора электрической индукции.

Для нормальных составляющих вектора напряженности поля получим.

Таким образом, при переходе через границу раздела диэлектрических сред нормальная составляющая вектора терпит разрыв, а нормальная составляющая вектора непрерывна.Граничные условия для касательных составляющих векторов D и E следуют из соотношения, описывающего циркуляцию вектора напряженности электрического поля. Построим вблизи границы раздела прямоугольный замкнутый контур длины l и высоты h (рис. 2.7).Учитывая, что для электростатического поля,и обходя контур по часовой стрелке, представим циркуляцию вектора E в следующем виде:, где <En>- среднее значение E_n на боковых сторонах прямоугольника. Переходя к пределу при h->0, получим для касательных составляющих E.Для касательных составляющих вектора электрической индукции граничное условие имеет видТаким образом, при переходе через границу раздела диэлектрических сред касательная составляющая вектора непрерывна, а касательная составляющая вектора терпит разрыв.Преломление линий электрического поля. Из граничных условий для cоответствующих составляющих векторов E и D следует, что при переходе через границу раздела двух диэлектрических сред линии этих векторов преломляются (рис. 2.8). Разложим векторы E₁ и E₂ у границы раздела на нормальные и тангенциальные составляющие и определим связь между углами и при условии . Легко видеть, что как для напряженности поля, так и для индукции справедлив один и тот же закон преломления линий напряженности и линий смещения .

8. Циркуляция и ротор электрического поля (E и D). Цирк Е. любое стационарное поле центральных сил явл потенциальным, т.е. работа сил этого поля не зависит от пути, а зависит только от положения начальной и конечной точки. Именно таким св-вом обладает электростатическое поле — поле, образованное системой неподвижных зарядов. Если в качестве пробного заряда, переносимого из точки 1 заданного поля Е в точку 2, взять единичный + заряд, то элементарная работа сил поля на перемещении dl равна Edl, а вся работа сил поля на пути от точки 1 до точки 2 определяется как int (12)Edl Этот инт берется по некоторой линии, поэтому его наз лин. Интеграл по замкнутому пути называют циркуляцией вектора Е и обозначают int (o). цирк Е в любом электростатическом поле =0, т.е. int (o)Edl=0_. Это утверждение и наз т о цирк Е. 2) Теорема Гаусса для векторов Е и D. Поток Е сквозь произвольную замкнутую поверх­ность S зависит только от алгебраической суммы зарядов, охватываемых этой поверхностью. А именно int(0)Eds=qвнутр/ε0. – суть теоремы Гаусса: поток вектора Е сквозь замкнутую поверхность = алгебраической Σ зарядов внутри этой поверхности, деленной на ε0; D=εε0E; Nd=int(o)Dnds; Ne=int(o)Ends=Σqi/εε0; int(o)Dds=Σqi; 3) Мощность и удельная мощность тока. dA=(φ1-φ2)dq=dφIdt=UIdt; U=IR|*Idt; RI^2dt= UIdt= dA; dQ=I^2Rdt; P=dA/dt=UI=I^2R=U^2/R;

9. Электроемкость. Конденсаторы. Емкость плоского конденсатора.  При сообщении проводнику заряда на его поверхности появляется потенциал φ, но если этот же заряд сообщить другому проводнику, то потенциал будет другой. Это зависит от геометрических параметров проводника. Но в любом случае потенциал φ пропорционален заряду q. ; Коэффициент пропорциональности С называют электроемкостью – физическая величина, численно равная заряду, который необходимо сообщить проводнику для того, чтобы изменить его потенциал на единицу.  Конденсатор – это два проводника, называемые обкладками, расположенные близко друг к другу. Конденсаторы бывают плоские, цилиндрические и сферические.Так как электростатическое поле находится внутри конденсатора, то линии электрического смещения начинаются на положительной обкладке, заканчиваются на отрицательной, и никуда не исчезают. Следовательно, заряды на обкладках противоположны по знаку, но одинаковы по величине. ; Емкость плоского конденсатора. ; ; d=x1-x2 - расстояние между пластинами. => ;

10. Энергия заряженного конденсатора. Энергия электрического поля. Плотность энергии. Если на обкладках конденсатора электроемкостью С находятся электрические заряды +q и -q, то согласно напряжение между обкладками конденсатора равноВ процессе разрядки конденсатора напряжение между его обкладками убывает прямо пропорционально заряду q от первоначального значения U до 0. Среднее значение напряжения в процессе разрядки равноДля работы А, совершаемой электрическим полем при разрядке конденсатора, будем иметь:Следовательно, потенциальная энергия W_p конденсатора электроемкостью С, заряженного до напряжения U, равнаЭнергия конденсатора обусловлена тем, что электрическое поле между его обкладками обладает энергией. Напряженность Е поля пропорциональна напряжению U, поэтому энергия электрического поля пропорциональна квадрату его напряженности. Энергия электрического поля. Энергию заряженного конденсатора можно выразить через величины, характеризующие электрическое поле в зазоре между обкладками. Сделаем это на примере плоского конденсатора. Подстановка выражения для емкости в формулу для энергии конденсатора даетЧастное U / d равно напряженности поля в зазоре; произведение S·d представляет собой объем V, занимаемый полем. Следовательно, Если поле однородно (что имеет место в плоском конденсаторе при расстоянии d много меньшем, чем линейные размеры обкладок), то заключенная в нем энергия распределяется в пространстве с постоянной плотностью w. Тогда объемная плотность энергии электрического поля равна C учетом соотношения можно записатьВ изотропном диэлектрике направления векторов D и E совпадают и Подставим выражение , получим Первое слагаемое в этом выражении совпадает с плотностью энергии поля в вакууме. Второе слагаемое представляет собой энергию, затрачиваемую на поляризацию диэлектрика. Покажем это на примере неполярного диэлектрика. Поляризация неполярного диэлектрика заключается в том, что заряды, входящие в состав молекул, смещаются из своих положений под действием электрического поля Е. В расчете на единицу объема диэлектрика работа, затрачиваемая на смещение зарядов q_i на величину dr_i, составляет . Выражение в скобках есть дипольный момент единицы объема или поляризованность диэлектрика Р. Следовательно, dA=EdP. .Вектор P связан с вектором E соотношением . Проведя интегрирование, определим работу, затрачиваемую на поляризацию единицы объема диэлектрика A=EP/2. Зная плотность энергии поля в каждой точке, можно найти энергию поля, заключенного в любом объеме V. Для этого нужно вычислить интеграл: