Все билеты по ТФКП

1. Предел последовательности комплексных чисел. Теорема о связи предела последовательности комплексных чисел с последовательностями действительных чисел.

Опр1. Окресностью(ε-окр) точки Z₀ÎС, наз. круг |z-z₀|<ε. U(z₀,ε) – окр. т.z₀ радиуса ε.

Опр2. Окр-тью (R-окр) т.z=∞Î Č наз. мн-во всех точек zÎČ для которых |z|>R, 0≤R<+∞. Обозн. U(∞,R).

Опр3. Пусть {z_n}послед чисел z_n=x_n+iy_nÎC. Число z₀=x₀+iy₀, z₀¹∞, наз-ся пределом послед-ти z_n при n®∞, если: "ε>0 $N(ε): "n≥N: |z_n-z₀|<ε. lim(z_n)=z₀ при n®∞, lim(z_n)=0 при n®∞.

Опр4. ∞ есть предел послед-ти {z_n}, если "R>0 $N(R):"n≥N |z_n|>R.

Теор1. Сущ-е предела lim(z_n)=z₀=x₀+iy₀ при n®∞ (1) эквив-но сущ-ю двух пределов lim(x_n)=x₀ при n®∞ lim(y_n)=y₀ при n®∞ (2).

Док-во: Пусть выполн. (1). Тогда |x_n-x₀|<|z_n-z₀|, |y_n-y₀|≤|z_n-z₀|, |x_n-x₀|≤[(x_n-x₀)²+(y_n-y₀)²]^1/2=|z_n-z₀|.

Если выполн. "n≥N: |z_n-z₀|<ε, то "n≥N: |x_n-x₀|<ε₁, |y_n-y₀|<ε₂ => выполн усл-е (2).

Обратно из (2)=>(1), т.к. |z_n-z₀| =[(x_n-x₀)²+(y_n-y₀)²]^1/2, |x_n-x₀|<ε₁, |y_n-y₀|<ε₂.

Пусть ε=max(ε₁,ε₂), то |z_n-z₀|<[ε²+ε²]^1/2=εÖ2.■

Замеч: Из Т1 =>, что теория пределов последовательностей действ. чисел может быть перенесена на компл. числа.

В частности имеет место Т2 Критерий Коши: Для того, чтобы {z_n} имела конечн. предел (была сходящ) необх. и дост., чтобы "ε>0 $N(ε): "n≥N и"m≥N: |z_n-z_m|<ε. Или "pÎN: |z_n+p-z_n|<ε.

2. Предел функции. Теорема о связи предела функции комплексного переменного с пределами функций действительного переменного. Непрерывность. Равномерная непрерывность.

Функции компл. переменного.

Опр. Закон f^-1 по котор. " образу wÎE_w ставится в соотв-е одно или несколько его прообразов zÎЕ_z наз-ся ф-цией z=f^-1(w) обратной по отнош. к w=f(z).

Замеч: Re[f(z)]=Re[f(x+iy)]=U(x,y); Im[f(z)]=V(x,y). Т.о. w=f(z)=U(x,y)+iV(x,y).

Задание f(z) равносильно заданию двух ф-ций от двух действ. переменных U(x,y) и V(x,y).

Предел функции, непрерывность.

Опр1.(Коши) Пусть w=f(z) задана на E_zÎC_z и z₀ – предельная точка этого мн-ва.

а) Число w₀≠∞ наз. пределом ф-ции f при z→z₀, если "ε>0 $δ(ε)>0: "zÎE_z: 0<|z-z₀|<δ=>|f(z)-w₀|<ε. lim(f(z))=w₀ при z→z₀.

б) ∞ есть предел f(z) при z→∞, если "ε>0 $δ(ε)>0: "zÎE_z: |z|>δ=>|f(z)|>ε. lim(f(z))=∞ при z→∞.

Опр (Гейне) Число w₀≠∞ есть предел f(z) при z→z₀, если "{z_n}:("n: z_n≠z₀;z_nÎE;z→z₀): {f(z_n)}→w₀.

2. Замеч. Опред. пределов по Коши и по Гейне эквив-ны. Без док-ва!■

Тh3(эквивалентности). Сущ-е предела (при z→z₀) lim(f(z))=w₀=a+ib эквивалентно сущ-ю limU(x,y)=a (при x→x₀, y→y₀); и limV(x,y)=b (при x→x₀, y→y₀), где z₀=x₀+iy₀; f(z)=U(x,y)+iV(x,y).

Док-во: аналогичн. соотв. Т о послед. пределов.■

Т.о. св-ва пределов ф-ций действ. перем. переносятся на св-ва пределов ф-ций комплексн.перем.

Опр2. Ф-ция f(z), опред. на E непр. в z₀ÎE, если:

1) f(z) определена в некот. окрестн. т.z₀,

2) сущ-ет lim(f(z)) (при z→z₀),

3) lim(f(z))=f(z₀) (при z→z₀).

Опр3. Ф-ция наз-ся непрерывн. на мн-ве E, если она непр. в " точке E.

Равномерная непрерывность.

Опр4. f(z) наз-ся равномерно непр. на мн-ве E, если: "ε>0 $δ>0: "z'ÎE и "z''ÎE: |z'-z''|<δ=>|f(z')- f(z'')|<ε.

Тh Кантора: Ф-ция, непр. на замкн. мн-ве, равномерно непр. на этом мн-ве.

Док-во: Следует из Th действит. анализа и из Th3.

3.Производная ФКП. Дифференцируемость и дифференциал. Критерий дифференцируемости.

Производные

Пусть ф-ция w=f(z) опред. на некот. открыт. мн-ве DÎC с предельн. точкой z₀ÎD. Если $ lim((f(z₀+Δz)-f(z₀))/Δz) (при Δz→0) (1) при произвольн. стремлении Δz к нулю, то этот предел наз-ся производной ф-ции f в т.z₀. Обозн: f '(z₀); df(z)/dz |_z=z0. При этом ф-ция f наз-ся моногенной в т.z₀.

Дифференцируемость и дифференциал.

Пусть однозначная ф-ция опред-на на мн-ве DÎC и т. z₀ÎD предельная точка. Ф-ция f (w=f(z)) наз. диф-мой в т.z₀, если её приращение в т.z₀ можно представить в виде Δw=Δf(z₀)=f(z₀+Δz) – f(z₀)=AΔz+α(z₀, Δz) (2), где A=A(z₀)=const.; α(z₀, Δz)=о(|Δz|),т.е. lim(α(z₀, Δz)/Δz)=0 (при Δz→0). (3); Δz=Δx+iΔy; |Δz|=[Δx²+Δy²]^1/2.

Опр. Главн. лин. относит. Δz часть приращ. ф-ции w=f(z) в т.z₀ наз. диф-лом ф-ции f в т.z₀ и обозн. символом df(z₀) или dw=df(z₀)=A(z₀)Δz (4).

Тh. Для того, чтобы ф-ция f была диф-ма в т.z₀ необх. и дост., чтобы она была моногенной.

Док-во: 1)Необх.

Пусть w=f(z) диф-ма в т.z0. Тогда Δw=AΔz+о(|Δz|). След-но (при Δz→0) lim(Δw/Δz)=A+(о(|Δz|)/Δz)=A=f '(z₀).

3. 2) Дост.

Пусть f(z)=w моногенна в т.z₀. Тогда по опред. моногенности (f(z₀+Δz)-f(z₀))/Δz=A+β(z₀+Δz).

Отсюда получим: (5) f(z₀+Δz)=AΔz+β(z₀,Δz)Δz. (β(z₀,Δz)Δz=о(|Δz|) при Δz→0). Это означ, что f диф-ма в т.z₀.■

Замеч: 1) Из соотн (5) следует, что в случае моногенности ф-ции f в т.z₀, f явл. непр. в этой точке (т.к. Δf→0 при Δz→0). Обратное неверно.

2) Из этой Th следует, что df(z₀)=f '(z₀)Δz.

3) Ф-ция f(z)=z моногенна всюду на C, т.к. f '(z)=lim(Δz/Δz)=1 при Δz→0.

4) dz=1·Δz => dz=Δz; df(z₀)=f '(z₀)dz (6); f '(z₀)=df(z₀)/dz

4. Условия Коши-Римана (C-R). Необходимые и достаточные условия моногенности(диф-ти) ФКП. Определение аналитической функции в области и в точке.

Th. Пусть f(z)=w=U(x,y)+iV(x,y) опред. в нек. окр-ти и в самой т.z₀. Для того, чтобы эта ф-ция была диф-ма в т.z₀, необх. и дост. чтобы ф-ции U и V были диф-мы в т.z₀=(x₀,y₀) и чтобы в этой точке выполнялось условие Коши-Римана(C-R) (1): { ∂U/∂x=∂V/∂y; ∂U/∂y=-∂V/∂x.

Док-во:

1) Необх.

Пусть ф-ция f диф-ма в т.z₀. Тогда Δf(z₀)=ΔU+iΔV=f '(z₀)Δz+ō(Δz).

Пусть f '(z0)=B+iC, а ō(Δz)=ō₁(Δz)+iō₂(Δz), B,CÎR; ō₁(Δz),ō₂(Δz) – функ.действ. переменных б.м.

Тогда ΔU+iΔV=(B+iC)(Δx+iΔy)+ō₁+iō₂ (2)

(3) { ΔU=BΔx+CΔy+ō₁; ΔV=CΔx+BΔy+ō₂.

Это означ., что ф-ции U и V диф-мы в т.z₀=(x₀,y₀). Из рав-в (3) вытекает, что

(4) {B=∂U/∂x=∂V/∂y; C=-∂U/∂y=∂V/∂x.

Т.о. выполн. усл-я C-R(1).

2) Дост.

Пусть U и V диф-мы в (x₀,y₀) и выполн. (1). Тогда справедл. рав-ва (3). След-но справедл. соотн. (2). Это означает, что Δf(z₀)=(B+iC)Δz+ō₁+iō₂. Это означ, что w – диф-ма в т.z₀=(x₀,y₀).■

Замеч: 1) В частн. усл-я Th выполн., если ф-ции U и V имеют непр.

4. частн. произв. в (x₀,y₀) и выполн. усл-е C-R.

2) Если ф-ция диф-ма, то произв. можно считать по любому направлению. Если Δz=( Δx,0)

Δw/Δz=(Δu+iΔv)/ Δx= Δu/Δx+i(Δv/Δx) -> ∂u/∂x+i(∂v/∂x)= f '(z₀); Если Δz=( 0, Δy)

Δw/Δz=(Δu+iΔv)/ iΔy= -i(Δu/Δy)+(Δv/Δy) -> -i(∂u/∂y)+∂v/∂y= f '(z₀)

3) Если z=r·e^iφ {x=r·cosφ; y=r·sinφ.

f(z)=U(r,φ)+iV(r,φ).

(4)(C-R) { ∂U/∂r=∂V/(r·∂φ); ∂U/(r·∂φ) =-∂V/∂r.

Аналитические ф-ции.

Если w=f(z) однозн. в обл. D и диф-ма в этой обл., то она наз-ся аналитичн. в этой области, а также регулярной и голоморфной.

Понатие ф-ции, аналитичн. в точке.

Говорят, что ф-ция f(z) аналитичн. в т.z₀, если она аналитична в некот. окр-ти этой точки.

Замеч: Условия диф-ти и аналитичности ф-ции f(z) в области совпадают, однако усл-я аналитичности в точке содержат больше требований, чем усл-я диф-ти.

Замеч: 1) Ф-ция w(z)=U(x,y)+iV(x,y) аналитичн. в обл. D <=> когда: а) Ф-ции U и V диф-мы в обл-ти D. б) Выполн. условие C-R

2) Если ф-ции f(z) и φ(z) – аналит. в обл-ти D, то также в этой области аналит-ны ф-ции: f ± φ; φ·f; f/φ (φ≠0).

3) Если w=f(z) аналит. в обл. D и w=φ(w) аналит. в обл. D и имеет смысл сложная ф-ция w=φ(f(z)) опр. в обл. D, то эта ф-ция аналит. в обл. D, что следует из того, что w'_z= φ'(w)·f '(z).

5. Геометрический смысл аргумента производной.

Пусть задана гладкая кривая Жордана γ, кот. опред. соотн. z=x(t)+iy(t), α≤t≤β.

γ: {x=x(t); y=y(t). α≤t≤β.

Причем z₀Îγ; z₀=z(t₀), t₀Î(α,β). z₀ – внутр. точка этой кривой. Т.к. дуга гладкая, то z'(t₀)≠0. {есть рис.}

Пусть задано отобр. w=f(z) и пусть Г - образ γ при этом отображении. Мы также потребуем, чтобы отобр. f было аналитично в т.z₀. и f '(z₀)≠0. Тогда Г будет иметь вид: w=f(z(t)) и w'= f '(z₀)·z'(t)≠0. (1)

Из ф-лы (1) видно, что Г имеет касат. в т.w₀=f(z₀). Т.к. при перемножении ФКП аргументы складываются, то из (1) следует, что arg(w'(t₀))=arg(f '(z₀))+arg(z'(t₀)); arg(f '(z₀))=arg(w'(t₀))- arg(z'(t₀)) (2) q=y-j.

Здесь q - угол поворота дуги γ в т.z₀ при отображ. w=f(z). Отсюда вытекает след. геом. смысл производной: Аргумент производной f '(z₀) равен углу поворота дуги γ в т.z0 при отображ. w=f(z).

Пусть теперь γ₁ – некот. гладкая кривая Жордана, не совпад. с γ, а Г₁ – образ γ₁. Пусть отображение – то же самое.

5. Тогда согласно (2): arg(f '(z₀))=arg(w₁'(t₀))-arg(z₁'(t₀)) (3) и согласно (2) и (3) имеем: arg(w'(t₀))-arg(z'(t₀))=arg(w₁'(t₀))-arg(z₁'(t₀)) (4). Соотн. (4) означает, что угол между дугами γ и γ₁ в т.z₀ – т. пересеч. γ и γ₁ – равен углу между их образами Г и Г₁ в т.w₀. Если f(z) – аналитична в нек. окр-ти т.z₀. и f '(z₀)≠0, то при отображении w=f(z) имеет место закон сохранения углов между кривыми, проходящими через т.z₀, как по величине, так и по направлению их отсчета.

Геометрический смысл модуля производной

Рассм. те же условия и кривые: (Вопрос 5)

| d z₀| = [ [x’(t₀)]² + [y’(t₀)]² ]^1/2 dt = ds₀, | d w₀| = [ [U’(t₀)]² + [V’(t₀)]² ]^1/2 dt = dS₀.

| f ’(z₀)| = (|dw/dz|) |_{z= z0} = (d S₀)/(d s₀) (5)

ǽ= (d S₀)/(d s₀) - есть коэф.-нт лин. растяж. дуги γ в т. z₀ при отображ. w = f(z). т. е. геом. смысл модуля производной заключен в том, что |f ‘(z₀)| = коэф.-нту лин. растяж. дуги в т. z₀ при задан. отобр. Это локальн. коэф. растяж. и он не зависит от направления.

6. Конформное отображение

Опр. Непр. в некот. окр. т. z₀ отображ. w =f(z) наз. конформным, если оно сохраняет углы между кривыми, проход. через эту точку и локальн. коэф-нт ǽ в т. z₀ одинаков по всем напрвл.

Опр. Отобр. конформно в обл. если оно конформно в кажд. т. этой обл-ти.

Замеч. Из предыдущ. след., что если ф-ция анал. в т. z₀ и f ’(z₀) ≠0, то f(z) – конформно отобр. нек. окр. т. z₀.

Основные теоремы теории конформных отображений

Тh1. О сохранении области

Если ф-ция w =f(z) – аналитична в однолистна в области D, то f ’(z) ≠0 в обл. D, и w =f(z) – кон-формно отобр. некот. обл. D на G, Причем обратн. ф-ция Z=f ^-1 (ω) аналитич. в области G.

6. Тh2. Римана.

Пусть граница односвязн. области D Э C_z сост. более, чем из 1 точки тогда существ. аналит. функции., которые отобр. обл. D на внутренность единичн. круга, причем только 1-на из этих ф-ий переводит задан. т. z₀ Э D и выходящее из нее задан. направление в задан. точку w₀ и выходящ. из нее задан. напрвление.

Th3. О соответствии границ.

Пусть D и G – две обл.-ти, огранич. замкнт. кривыми Жордана ∂D; ∂G соответственно. Если ф-ия f комформно отображ. D на G , то она взаимнооднозначно и непрерывн. отобр. обл-ть D* = D U ∂D ; G* = G U ∂G; с сохран. напрвл. обхода границ.

7. Линейные отображения

w=a*z+b , a≠0, a,b Э C (1)

w’=( a*z+b) ’=a ≠ 0.

a = α₁ + i*α₂

b = β₁ + i*β₂.

U + i*V = (α₁ + i*α₂)(x + i*y) + β₁ + i* β₂

{ U = α₁x + β₁ – α_2*y ; V = α_2*x + β₂ + α_1*y.

J = | (U_x)’, (U_y)’; (V_x)’, (V_y)’ | = | α₁, - α₂; α₂ , α₁| = α₁² + α₂² = | α₁ + i*α₂ |² = |a|² ≠ 0

Следн-но это отображ. конформное .

Рассм. обр. отображ. z = (w-b)/a = (1/a) w – b/a ; a ≠0.

Данное отображ.(прямое и обратное) конформно на С (рассматриваемая комплексная плоскость).

Понятии конформ. в т. z = ∞

Опр. Однолистное в окр. т. z = ∞ отображ. w =f(z) конформно в т. z = ∞, если при замене z = 1/ξ отображ. w=f(1/ξ) = φ(ξ) конформно в т. ξ=0

Проверим конформность лин. отображ. в т. z = ∞.

z = 1/ξ , ω=1/η, тогда в окр. z = ∞ и ее образ w = ∞ → ξ=0; η=0.

η= ξ/(a+b*ξ) , η’=a/(a+b*ξ)² , (η’ | _ξ=0) = 1/a ≠0

Отобр. (1) w=a*z+b можно предств.

a = |a|e^iӨ (2) ;z=re^iγ ; az = |a|e^iӨ re^iγ

w₁-это отображение подобия с центром в точке z=0.

w₂= exp(i *arg(a)) w₁ (3) - это вращ. вокруг точки w=0 на угол arg(a)

w = b+ w₂ – парал. перенос.

8. Дробно-линейные отображения и его свойства

w=(a*z+b)/(c*z+d) , a/c≠b/d (8) a, b, c, d Э C, c≠0, то это отображение можно преобразовать к виду: w=A+B(1/z+ z₀) (9) , A, B, z₀ Э C

Дробн.- лин. отобр. свод. к след. 3-м суперпозиц.:

1)w₁=z+ z₀ – парал. сдвиг (10) 2) w₂=1/w₁ – инверсия отн. окр. радиуса 1 (11) 3) w=A+Bw₂ – лин. отображ. (12) Исходя из 3-х послед. формул – Д.Л.О. окр. перев. в окружн.

Св-ва Д.Л.О :

1)Из ф-л (10)-(12) непосредств. следует:

а) отобр. (8) осущ. взаимноодн. отобр. плоскости С*_z на C*_w

б) суперпоз. 2-х Д.Л.О, а также обратное отображ. явл-ся снова Д.Л.О

Для док-ва суперпоз.-ии нужно подст. z=(a₁z₁+b₁)/(c₁z1+d₁) и мы снова получ. Д.Л.О

2) Двойное отношение 4 точек

Опр. Двойным отнош.(ангармоничным) отношением 4х точек z1,z2…z4 наз. выраж.

(z₁ z₂ z₃ z₄)=[( z₁- z₃)/( z₂- z₃)]/[( z₁- z₄)/( z₂- z₄)]

3)При Д.Л.О двойное отношение 4-х попарно различн. точек не изменяется

т.е. если z_i→ w_i с помощью Д.Л.О, то:

[(w₁- w₃)/( w₂- w₃)]/[( w₁- w₄)/( w₂- w₄)] = [(z₁- z₃)/( z₂- z₃)]/[( z₁- z₄)/( z₂- z₄)] (13)

Док-во: Пусть точки z1, z2, z3, z4 принадл. Сz функцией w=(a*z+b)/(c*z+d) отображаются соответственно в точки w_k=(a*z_k+b)/(c*z_k+d) (k=1,2,3,4) Подставим в формулу (12) выражения для разности: w_i-w_j=(a*z_i+b)/(c*z_i+d) - (a*z_j+b)/(c*z_j+d) =[(ad-bc)(z_i-z_j)]/[(cz_i+d)(cz_j+d)]; i=1,2; j=3,4. После алгебраических преобразований получим правую часть формулы (12).

9. Интеграл ФКП по ориенторованной кривой и его св-ва

Пусть γ – ориент. кусочно-гладк. кривая на пл-ти С с началом в т. a и c концом в т. b.

Пусть L – длина γ. Пусть f(z)=U(x,y)+i*V(x,y) – огр. ф-ия, задан. в точках ZÎγ.

Опр. Интегралом от ф-ии f(z) по ориентир. кривой γ наз. число, обознач. символом:

òf(z)dz = ò [U(x,y)+iV(x,y)](dx+idy) = ò U(x,y)dx – V(x,y)dy + iò V(x,y)dx + U(x,y)dy (1)

Из этого опр-ия следует, что для сущ. инт-ла òf(z)dz необх. и дост. сущ. 2-х криволин. инт-ов второго рода от ф-ии действ. переменного.

Некоторые св-ва:

1) _γ+òf(z)dz= - [_γ- òf(z)dz] ( интегралы берутся по γ, далее везде)

2) òdz = b-a ; f(z)=1

òdz = òdx+iòdy = _a1ò^b1dx + i_a2ò^b2dy = (b1-a1) + i(b2-a2)= (b1+ib2)-(a1+ia2)=b-a.

3)Линейность интеграла

ò[af(z)+bg(z)]dz= a*òf(z)dz+b*òg(z)dz

4)Аддитивность

_γòf(z)dz = _γ1òf(z)dz+ _γ2òf(z)dz , γ= γ1 U γ2

5)| òf(z)dz| ≤ ò |f(z)| |dz| = { |dz|=(dx²+dy²)^1/2 = dl } =ò |f(z)|dl ≤ L max | f(z)| zÎ γ , L – длина

10. Теорема Коши для простого контура.

Th. Если ф-я f(z) аналитична в односвязной области D, то интеграл от f(z) по " замкнутой, кусочно-гладкой кривой Жордана gÎD равен нулю: _g(ò)f(z)dz=0 (1)

Док-во:

Мы докажем эту Th. Для случая, когда ф-я f(z)=U(x,y) + iV(x,y) имеет непрерывную производную в области D, т.е. U(x,y), V(x,y)ÎC₁(D). По формуле Грина: _gòP(x,y)dx + Q(x,y)dy = _Dòò(¶Q/¶x - ¶P/¶y)dxdy (2)

D –область огранич.кривой g; P,QÎC₁(D)

_gòf(z)dz = _gò(U + iV)(dx + idy) = _gòUdx – Vdy + i_gòUdy + Vdx, получим:

_gò f(z)dz = -_Dòò(¶V/¶x + ¶U/¶y)dxdy + i _Dòò(¶U/¶x - ¶V/¶y)dxdy = 0 (C-R)

Следствие: Пусть при условиях Th. g₁ и g₂ имеют общие начальные и конечные точки, так что - замкнутая кривая g₁Èg₂ ÎD. Тогда

_g1òf(z)dz =_g2 òf(z)dz Это означает, что интегрирование не зависит от пути интегрирования. _g1Èg2òf(z)dz = _g1ò + _g2^- ò = 0; _g1 ò f(z)dz - _g2 ò f(z)dzÞ _g1ò = _g2ò

Th. Коши(обобщённая), когда ф-я не явл. аналитической на границе(на контуре интегрирования).

1)f(z) аналитична в односвязной области D, границей которой является кусочно-гладкая кривая Жордана.

2) f(z) непрерывна в Ď=DÈg

То: _gòf(z)dz=0 Без док-ва.

11. Интегральная формула Коши.

Th. Пусть граница ¶D (n+1)-связной области D состоит из спрямляемых взаимно непересекающ. кус.-гл. замкнутых кривых Жордана, причём С₁…C_n расположены внутри С₀. Тогда если f(z) – аналитическая ф-я в обл. D и непр. в замкнут. обл. Ď=DȶD, то справедлива формула:

[1/2pi] * _¶Dò[f(x) / (x-z)]dx = {f(z), zÎD; 0, zÏĎ} (1)

где интегрирование производится в положительном направлении, т.е. область при обходе границы остается слева, т.е. ¶D= С₀ÈČ₁È Č ₂È…ÈČ _n

Док-во:

Пусть zÎD. Зафиксируем в обл. D т.z и круг U(z,r) с центром в z – имеет границу g и радиус r. Зафиксируем круг т.о., чтобы он вместе с границей не пересек. границу ¶D. Тогда ф-я f(x) / (x-z) будет аналитична в обл. D*=D/Ū(z,r) и непр. в обл. Ď*=D*ȶD*, ¶D*=¶DÈg.

11. Тогда по обобщенной Th.Коши: _¶D*ò[f(x) / (x-z)]dx = _¶Dò[f(x) / (x-z)]dx + _g^-ò[f(x) / (x-z)]dx = 0

Отсюда, т.к. выполняется _g -ò = - _gò , получим:

_¶Dò[f(x) / (x-z)]dx = _gò[f(x) / (x-z)]dx (2) . Ранее вычислили: _gò[ dx/ (x-z)] = 2pi(3)

Отсюда f(z) можно предствить в виде:

f(z) = [1/2pi]*f(z)*2pi = [1/2pi]* f(z)* _gò[ dx/ (x-z)] = [1/2pi]* _gò[f(z)/(x-z)]dx (4)

На основании (2) и (4) имеем:

f(z) - [1/2pi] * _¶Dò[f(x) / (x-z)]dx = [1/2pi] * _gò[ (f(z) - f(x)) / (x-z)]dx (5)

Т.к. f(x) непр. в т.z, то" ε>0 $d(e): при r<d ½f(z) - f(x)½< e

Тогда из формулы (5) имеем:

½f(z) - [1/2pi] * _¶Dò[f(x) / (x-z)]dx ½< [1/2pi]*½_gò[ (|f(z) - f(x)|) / (|x-z|)] |dx|½= [1/2pi]* e*2pi = e

12. Интеграл типа Коши. Существование производных всех порядков у аналитической функции.

Опр. Пусть Г- кус.-гл. кривая Жордана, а f(x)- непр. ф-я, заданная на Г. Пусть zÎС, zÏГ. Тогда ф-я F(z)= [1/2pi] * _Гò[f(x) / (x-z)]dx (1) наз. интегралом типа Коши.

Если Г-замкнута, а f(x) – аналитична в огр. обл. D с границей Г и непр. в замкн. обл. Ď=DÈГ,то интегр. (1) - интеграл Коши и имеет место рав-во: F(z)={f(z), zÎD; 0, zÏ Ď=DȶD} (2)

Th. Ф-я, определяемая интегр. типа Коши F(z)= [1/2pi] * _Гò[f(x) / (x-z)]dx иммет в кажд. т. zÏГ производные всех порядков, кот. вычисл. по ф-ле: F⁽ⁿ⁾(z)= n!/ [2pi] * _Гò[f(x) / (x-z)ⁿ⁺¹]dx (3)

Док-во:

Выведем формулу (3) для n=1. Зафиксируем произв. т.zÏГ. Пусть d - расстояние от z до Г. d=ρ(Г,z) = inf|z-x|;xÎ Г; zÎ (z, d/2). Рассм. круг с центром в т.z и радиуса d/2. Тогда " т. z+DzÎ U(z,d/2) (Dz≠0) имеем: ½x-z½>d/2 и½x-z-Dz ½>d/2.

Рассмотрим отношение:

[F(z+Dz) – F(z)]/ Dz = [1/2pi] * (_Гò[f(x) / (x-z-Dz)] - _Гò[f(x) / (x-z)])*[1/ Dz] dx = [1/2pi] * _Гò[f(x) / ((x-z)* (x-z-Dz))]dx (4)

т.к. "xÎГ: ½x-z½>d/2,½x-z-Dz ½>d/2. Из (4) имеем:

12.½[F(z+Dz) – F(z)]/ Dz - [1/2pi] * _Гò[f(x) / (x-z)²]dx ½ =

= [1/2pi]*½ _Гò[(f(x)*Dz) / ((x-z)²* (x-z-Dz))]dx ½<

<[1/2p]*_Гò[(½f(x)½*½Dz½*½dx½)/(½x-z½²*½x-z-Dz½)] <(M*½Dz½*L)/(2p*(d/2)³) 0 при Dz

L – длина кривой; M=max_{xÎ Г}½f(x)½;

(5)®0 при ½Dz½® 0, след-но $ предел:

lim_Dz->0 ([F(z+Dz) – F(z)]/ Dz) = [1/2pi] * _Гò[f(x) / (x-z)²]dx =F’(z)

Пользуясь методом мат. индукции и ф-лой (6) устанавливается справедливость ф-лы (3) для n=2,3,…

Следствие($е производной "порядка у аналит. ф-ции):

Если ф-я аналитич. в обл. D, то она имеет производн. " порядка в этой обл.

Док-во: Пусть z – произв. т. обл. D, а U(z,r) – окр-сть(круг) с границей g и радиуса r с центром в z. Круг Î обл. D. Тогда по интегр. формуле Коши:

f(z)= [1/2pi] * _gò[f(x) / (x-z)]dx, где zÎU(z,r). Это интеграл типа Коши Þ ф-я имеет производн. " пор-ка в т.z . Т.к. z-произв. т. обл. D, то и во всей обл. Отсюда также следует, что "n : f⁽ⁿ⁾(z) аналитична в D.

13. Первообразная. Достаточные условия $я первообразной.

Опр. Пусть ф-я f(z) определена в D. Аналитич. в этой обл. F(z) наз. первообразной для f(z), если в D, если: F’(z)=f(z). Очевидно, что F(z)+C, C=const, также явл-ся первообр. для f(z).

Th. Если F(z) и Ф(z) – первообр. в D для f(z), то Const= F(z) - Ф(z)

Док-во: Пусть W(z)= F(z) - Ф(z). Тогда dW(z)/dz = F’(z) – Ф’(z) = f(z)- f(z)=0. Пусть W(z) = U(x,y) + iV(x,y) Тогда

dW(z)/dz = ¶U/¶x + i¶V/¶x = ¶V/¶y - i¶U/¶y = 0 Þ

¶U/¶x = 0; ¶V/¶x = 0; ¶V/¶y = 0; ¶U/¶y = 0; Откуда следует, что U(x,y)=const; V(x,y)=const; Þ W(z) = const.

Достаточные усл-я $ первообр.:

Th. Пусть:

1.Ф-я f(z) непр. в односвязной, огр. обл D

2." замкн. кус-гл. кривой Жордана CÎ D: =0

Тогда:

1)"т.aÎD, "zÎD: F(z) = (1) – аналитич. в D

2)"zÎD $ производная F’(z) = d\dz [_C òf(x)dx] = f(z) (2), F(z) – первообр. f(z).

13. Док-во: Согласно 2-ому усл-ю Th. _aò^zf(x)dx не зависит от пути, соедин. точки a и z. Пусть точка z и Dz (Dz¹0) Î некот. окрестности т.z U(z)Î D. Тогда [F(z+Dz) – F(z)]/ Dz = [1/Dz]*( _aò^z+Dz f(x)dx - _zò^af(x)dx)=[1/Dz]* _aò^z+Dz f(x)dx (3)

Вследствие незав-сти интеграла от пути будем считать g - отрезком

прямой. Т.к. f(z) – непр. в D и в окр. U(z), то "xÎU(z), f(x)=f(z)+h(x) (4), где h(x)®0 при x®z (5). Т.к.путь, соедин. z и z+Dz – есть отрезок прямой, то:{_zò^z+Dz ½ dx½=½Dz½ и _zò^z+Dz f(x)dx = f(z) Dz (6) Так же ½[1/Dz]* _zò^z+Dz h(x)dx½£ [1/½Dz½]*max_{xÎ g}½h(x)½* _zò^z+Dz ½dx½=max _{xÎ g} ½h(x)½

Из этой оценки и на основании (5): lim_Dz->0[1/Dz]* _zò^z+Dz h(x)dx=0 (7)

На основании (4),(5),(6) для правой части (3) имеем:

lim [1/Dz]*_zò^z+Dz f(x)dx = lim{ [1/Dz]* _zò^z+Dz [f(z) + h(x)]dx} =

= lim{ [1/Dz]* _zò^z+Dz f(z)dx + [1/Dz]* _zò^z+Dz h(x)dx]} = f(z) при Dz®0 (8)

Переходя к пределу в (3) при Dz®0 , учитывая (8):

F’(z) = d\dz [_aò^zf(x)dx] = f(z) (9)

14. Формула Ньютона-Лейбница. Теорема Морера(достаточные усл-я аналитичности ФКП в области).

Всё это следствия из Th. и её следствия:

Достаточные усл-я $ первообр.:

Th. Пусть:

1.Ф-я f(z) непр. в односвязной, огр. обл D

2." замкн. кус-гл. кривой Жордана CÎ D: =0

Тогда:

1)"т.aÎD, "zÎD: F(z) = (1) – аналитич. в D

2)"zÎD $ производная F’(z) = d\dz [_C òf(x)dx] = f(z) (2), F(z) – первообр. f(z).

Следствие1: Если ф-я f(z)- аналитич. в огр. односвяз. D,то " числа а и " zÎ D ф-я F(z) = _aò^zf(x)dx явл-ся аналитич. в D и первообр. для ф-ции f(z).

14. Следствие 2(Ф-ла Ньютона-Лейбница).

Если ф-я f(z) аналитична в огр. односвязн. обл. D , а Ф(z) - какя-нибудь её первообразная в этой обл., то "z₁,z₂ÎD справедлива ф-ла Н-Л: _z1ò^z2f(z)dz = Ф(z₂) - Ф(z₁)

Док-во: Если Ф(z) - первообразная, то

Ф(z)= _z1ò^z2f(x)dx + С, но Ф(z₁)= _z1ò ^z1f(x)dx + С = С, поэтому

Ф(z₂)= _z2ò ^z2f(x)dx + Ф(z₁), откуда и следует ф-ла Н-Л.

Th. Морера.

Если ф-я f(z) – непр. в односв. обл. D и " спрямл. замкн. кус-гл.

кривой Жордана СÎ D : =0, то f(z) – аналитична в D.

Док-во: Согласно Th(Следствию 1) при сделанных предположениях ф-я f(z)= d/dz[F(z)] = d/dz[_aò^zf(x)dx], aÎ D. Т.о. f(z) имеет аналитическую первообразную в обл. D, т.е. F’(z)=f(z) "zÎD. Тогда согласно $ю производной " порядка у аналитич. ф-ции заключаем, что f(z)-аналитическая ф-я.

15. Функциональные ряды. Достаточные услолвия равномерной сходимости (признак Виерштрасса).

_k=1∑^∞ f_k(z) (1)

Опр. Ряд (1), где f_k(z) – однозначные ф-ции от z, заданные на некотором мн-ве ЕЄС, наз. Функциональным рядом (ф.р.). S_n(z)= _k=1∑ⁿ f_k(z) (2)-частичная сумма ряда (1)ю

Опр1. Ряд (1) сходится в т. z₀ЄЕ, если сходится ряд _k=1∑^∞ f_k(z₀). Ряд (1) сход на мн-ве Е , если он сход в каждой точке Е. В этом случае его сумма – есть однозначная ф-ция на Е: f(z) = _k=1∑^∞ f_k(z).

Опр2. Ряд (1) наз равномерно сход-ся на Е, если :

1) для " ε >0 $ N(ε) : " n≥N и " zÎE: |f(z)-S_n(z)|=| _k=1∑^∞ f_k(z)| < ε .

2) " ε >0 $ N(ε) : " n≥N и " zÎE: sup_zÎЕ|R_n(z)|< ε, или lim_n→∞(sup_{zÎ Е}|R_n(z)|)=0.

3) " ε >0 $ N(ε) : " n≥N, " pÎ N и " zÎE:| _k=n+1∑^n+p f_k(z)| < ε Th(дост усл равн сход-ти или призн вейерштрасса) Если числовой ряд _k=1∑^∞ α_к , где для "к: α_кÎR и α_к ≥0, сходится, и для "к и " zÎE: |f_k(z)| ≤α_к , то ряд (1) сход-ся равномерно на Е.

Док-во: т.к. ряд _k=1∑^∞ α_к сход-ся , то для него выполн. Крит Коши: " ε >0 $ N(ε) " n≥N и " pÎN: _k=n+1∑^n+p α_к <ε. Тогда для "к и "zÎE: |_k=n+1∑^n+p f_k(z)|≤ _k=n+1∑^n+p |f_k(z)|≤ _k=1∑^∞ α_к <ε .

16. Достаточные условия непрерывности функциональнонго ряда.

_k=1∑^∞ f_k(z) (1)

Th. Если ряд (1) сх-ся равномерно на мн-ве Е к ф-ции f(z), и все его члены f_k(z) – непрерывные ф-ции на Е, то и f(z) непр-на на Е.

Док-во: пусть z₀– произвольная точка Е. Т.к. ряд (1) сход. равн-но , то " ε >0 $ N(ε) : " n≥N и " zÎE: |f(z)-S_n(z)|< (ε /3) (2) . Т.к. S_N(z)– непр-на на Е, то для нашего ε >0 $ δ=δ(ε , z₀), что "zÎE: при

|z - z₀|<δ : | S_N(z) – S_N(z₀)|<(ε/3). Тогда " z : |z - z₀|<δ , zÎE :

|f(z)-f(z₀)|=|f(z)- S_N(z)+S_N(z)-S_N(z₀)+S_N(z₀)-f(z₀)|≤|f(z)- S_N(z)|+|S_N(z)-S_N(z₀)| + |S_N(z₀)-f(z₀)|<(ε/3)+(ε/3)+(ε/3)=ε . #

{здесь |f(z)- S_N(z)|<(ε/3) и |S_N(z₀)-f(z₀)|<(ε/3) из-за равномерной сходимости

Опр2. Ряд (1) наз равномерно сход-ся на Е, если :

1) для " ε >0 $ N(ε) : " n≥N и " zÎE: |f(z)-f_n(z)|=| _k=1∑^∞ f_k(z)- _k=1∑ⁿ f_k(z)|=| _k=n+1∑^∞ f_k(z)| < ε .

2) " ε >0 $ N(ε) : " n≥N и " zÎE: sup_zÎЕ|R_n(z)|< ε, или lim_n→∞(sup_zÎЕ|R_n(z)|)=0.

{1) и 2) разные формы записи одного и того же}}

17. Степенные ряды, круг и радиус сходимости. Теорема Коши-Адамара. Степ. рядом наз. ряд вида: _k=0∑^∞ c_k * (z- z₀) ^k , где c_k и z₀ -комплексные числа (const) и постоянные, а z – комплексная переменная. _k=0∑^∞ c_k * z ^k (1)

Опр.Число R наз. радиусом сход-ти ряда (1), а |z|<R наз. кругом сход-ти ряда (1).

Замеч. Радиус мы так же можем определить на основании признака Даламбера: R= _k→∞lim (|c_k/c_k+1|) = _k→∞lim (|c_k|/|c_k+1|).

Th Коши –Адамара:

Пусть дан ряд (1). Рассмотрим предел: L = _k→∞lim (|c_k|)^1/k ,тогда этот ряд сх-ся при |z|<R, и расх. при |z|>R, где R=1/L , причем R=0, если L=∞, и R=∞, если L=0.

Док-во:

_k→∞lim (|c_k* z^k|)^1/k = _k→∞lim [|z|*(|c_k|)^1/k] = L * |z| = (1/R)*|z| = q #

Если |z|<R, то q<1 , сл-но ряд сход. Если |z|>R, то q>1, сл-но расх.

18. Степенные ряды. Первая теорема Абеля. Теорема Абеля о равномерной сходимости степенного ряда. Аналитичность суммы степенного ряда внутри круга сходимости.

Степенным рядом наз. ряд вида: _k=0å^¥C_k(z-z₀)^k (1), где C_k и z₀ - комплексные числа (const), а z - комплексная переменная. _k=0å^¥C_kz^k (1) z₀ – в начале координат.

Th (1ая теорема Абеля): Если ряд (1) сх-ся в точке z₀¹0, то он абсолютно сх-ся в круге |z|<|z₀|.

Док-во: Т.к. ряд (1) сх-ся в точке z₀¹0, то из Th Коши-Адамара

|z₀|£R, где R – радиус сх-ти ряда. Значит и для круга |z|<|z₀|<R выполняется условие абс. сх-ти. #

Th (Абеля о равномерной сход степенного ряда): Ряд (1) сходится равномерно в " замкнутом круге |z|≤r, если этот ряд имеет радиус сходимости R³0, а 0<r<R

Док-во:

Т.к. выполн. Нер-во 0<r<R, то по Th Коши-Адамара сход. ряд _k=1å^¥|C_k|r^k. Если |z|£r, то |C_kz^k|£|C_k|r^k => по мажорантному признаку Вейерштрасса ряд _k=1å^¥|C_k|z^k сх-ся равном. в круге |z|£r. #

18. Замечание: если R=¥, то ряд сход. равном. на всей компл. пл-ти.

Th(Аналитичность суммы степ. ряда внутри круга сх-ти): Сумма S(z) степ ряда (1) есть аналитическая ф-ция в его круге сх-ти |z|<R, R>0, и в этом круге ряд можно почленно дифференцировать любое число раз, причем радиус сх-ти ряда S⁽ⁿ⁾(z) = _k=0(k=n+1)å^¥C_k(k-1)…(k-n+1)z^k-n (2) также равен R.

Док-во: Все члены ряда(1) – аналитич. ф-ции в круге сх-ти, и этот ряд сх-ся равном. в данном круге Þ по Th Вейерштрасса о почленном диф-нии ряда сумма этого ряда S(z) - есть аналитич. ф-ция и ее можно диф. почленно n число раз.

Th Коши –Адамара:

Пусть дан ряд (1). Рассмотрим предел: L = _k→∞lim (|c_k|)^1/k ,тогда этот ряд сх-ся при |z|<R, и расх. при |z|>R, где R=1/L , причем R=0, если L=∞, и R=∞, если L=0.

Th(дост усл равн сход-ти или призн вейерштрасса) Если числовой ряд _k=1∑^∞ α_к , где для "к: α_кÎR и α_к ≥0, сходится, и для "к и " zÎE выполняется нер-во: |f_k(z)| ≤α_к , то ряд (1) сход-ся равномерно на Е.

19. Ряд Тейлора. Теорема о разложении аналитической ф-ии в ряд Тейлора.

Опр. Пусть ф-ция f(z) аналитична в U(z₀,R), тогда ряд _k=0å^¥[[f^(k)(z₀)/k!]*(z-z₀)^k] (1) наз. рядом Тейлора от f(z) с центром разложения в точке z₀.

Th. (О разложении аналит ф-ии в ряд Тейлора). Если ф-ция f(z) аналит. в обл. D, то в каждой точке z₀ÎD $ круг U(z₀,R) причем круг с границей U(z₀,R) Î D, то f(z) представима степенным рядом Тейлора f(z) = _k=0å^¥[C_k*(z-z₀)^k]; C_k =(f^(k)(z₀))/(k!) и это представление единственно.

Док-во: Построим круг U(z₀,r) такой, причем замкнутое мн-во этого круга U(z₀,r) Î D. Граница круга - C_r. Пусть z - произвольная точка круга, z Î U(z₀,r) в этой точке справедлива интегральная форма Коши: f(z) = (1/2pi)_Crò[(f(x))/(x-z)]dx (1) xÎ C_r. Сделаем преобразование: 1/(x-z) = 1/(x-z₀-z+z₀) = [1/(x-z₀)]*[1-1/[(z-z₀)/(x-z₀)]] (2) И пусть |z-z₀|=r Тогда (z-z₀)/(x-z₀) = r/r < 1

19. для "xÎC_r Þ Выражение (2) есть сумма геометрической прогрессии 1/(x-z) = _k=0å^¥[(z-z₀)^k/(x-z₀)^k+1(3). Ряд справа в ф-ле(3) сход. равномер. на окружности C_r, т.к. [(z-z₀)^k/(x-z₀)^k+1]^1/k=q<1. Поэтому его можно почленно интегр. Умножим обе части рав-ва(3) на f(x)/(2pi) которая ограничена на C_r. Результат проинтегрируем по контуру C_r почленно: (1/2pi)_Crò[(f(x))/(x-z)]dx = _k=0å^¥[(1/(2pi) _Crò[(f(x))/(x-z₀)^k+1]]dx*(z-z₀)^k (4) или согласно (1) можно записать: f(z) = _k=0å^¥[C_k*(z-z₀)^k] где C_k = [(1/(2pi) _Crò[(f(x))/(x-z₀)^k+1]]dx = (f^(k)(z₀))/(k!) (5). #

Док-во единственности:

Пусть f(z) = _k=0å^¥[b_k*(z-z₀)^k], тогда b_k = (f^(k)(z₀))/(k!) (k=0,1,2,3)

20. Нули аналитической функции. Порядок нуля. Теорема об изолированности нулей аналитической функции.

Определение 1. Пусть ф-ция f(z)определена в обл. D, точка aD называется нулем ф-ции f, если f(a)=0.

Порядок нуля. Пусть f(z) аналитична в некоторой окрестности нуля, т.е в U(a) и f(z)0. Тогда по Th Тейлора в окрестности U(a) функция f(z) представима рядом Тейлора f(z)=_k=0_­^ C_k(z-0)^k (1)и этот ряд обязательно имеет отличные от нуля коэффициенты. Если в разложении (1) коэффициенты C₀=C₁=..=C_n-1=0 ,но C_n0 то говорят , что точка a – это нуль n–го порядка ф-ции f(z). Ясно что f(a)=0=C₀.

Теорема (об изолированности нулей аналитической ф-ции):

Ф-ция f(z) аналитическая в окрестности U(a) своего нуля a порядка n. и f(z)0 в любой окрестности точки а (своего нуля).

20. Тогда сущ. окрестность U₁(a) , где нет никаких других нулей , кроме а и f(z) представима в виде : f(z)=(z-a)ⁿ(z), n=1,2,…, где (z) аналитическая функция и (z)0 в U₁(a).

Доказательство: Из условия теоремы следует, что ф-ция представима в окрестности U(a) рядом Тейлора: f(z)=C_n(z-a)ⁿ+ C_n+1(z-a)ⁿ⁺¹+…=(z-a)ⁿ(C_n+C_n+1(z-a)+..)=(z-a)ⁿ(z), где C_n0, n≥1, (z)= C_n+C_n+1(z-a)+.. Здесь(z) аналитическая ф-ция как сумма сходящегося степенного ряда, (z) – непрерывна в U(a), т.к. C_n0 (a)0 . В следствии непрерывности (z) в точке a существует окрестность U₁(a), где (z)0. т.о. функция f(z)=(z-a)ⁿ(z) не имеет других нулей , кроме а в этой окрестности.

Th. (О разложении аналит ф-ии в ряд Тейлора). Если ф-ция f(z) аналит. в обл. D, то в каждой точке z₀ÎD $ круг U(z₀,R) причем круг с границей U(z₀,R) Î D, то f(z) представима степенным рядом Тейлора f(z) = _k=0å^¥[C_k*(z-z₀)^k]; C_k =(f^(k)(z₀))/(k!) и это представление единственно.

21. Ряд Лорана. Теорема о разложимости аналитической в кольце функции в ряд Лорана.

Ряды Лорана. Рядом Лорана называется ряд f(z)=_k=-_­^ C_k(z- z₀)^k (1),C_k,z - некоторые комплексные числа ,z₀ - центр ряда. Ряд(1) можно представить в виде : I(правильная часть) _k=0_­^ C_k(z-z₀)^k +II(главная часть) _k=0_­^ C-_k/(z-z₀)^k_.

Ряд(1) сходится в точке, если в точке z сходятся ряды I и II. Сходится для I: |z-z₀|R₁, 0R₁+ . для II _k=1_­^ C-_k /(z-z₀)^k= _k=1_­^ C-_k ^k,  ^k =1/(z-z₀),этот ряд сходится в некот.круге ||r , 0r+. 1/(z-z₀)r  |z-z₀|1/r =R_r.

Теорема Лорана(о разложимости аналитической в кольце функции в ряд Лорана.)

Если функция f(z) аналитична в кольце k: 0r|z-z₀|R=+ то она в этом кольце представима рядом Лорана: f(z)= _k=-_­^+ C_k(z-z₀)^k (2) где C_k=1/2i _Cf()/(-z₀)^k+1d (3) C_ : |-z₀|=, rR

Доказательство: Пусть zk – любая точка . Очевидно существует k₁: rr₁|z-z₀|R₁R. zk₁ т.к.f(z) –аналитична в кольце (включая его границы), то для точки zk₁ , справедлива интегральная форма Коши f(z)=1/2i _CR1(f()/(-z))d - 1/2i _Cr1(f()/(-z))d (4) . Пусть C_R1 , тогда |z-z₀/-z₀|=|z-z₀|/|-z₀|1 для С_R, 1/(-z)=1/(-z₀+z₀-z)= 1/(-z₀)_*1/(1-(z-z₀/-z₀)), 1/(-z)= _k=0_­^(z-z₀)^k/(-z₀)^k+1 (5).

21. В силу равномерной сходимости по C_R1 ряда (5), его можно почленно интегрировать по окрестности C_R1. Умножим обе части равенства (5) на f()/2i и проинтегрируем левую и правую части по C_R1: 1/2i*_CR1(f()/(-z))d=_k=0^(1/2i*_CR1(f()/(-z₀)^k+1)d(z-z₀)^k ; 1/2i_CR1(f()/(-z))d= _k=0^C_k(z-z₀)^k (6); C_k= 1/2i*_CR1(f()/(-z)^k+1)d (7). Рассмотрим интеграл по C_R1: _CR1(f()/(-z))d (8) из формулы (4). Для этого случая будет соотношение такое |(-z₀₎/(z-z₀₎|1, C_r1; 1/(-z)=1/(-z₀+z₀-z)*(-1/(z-z₀₎)(1/(1-(-z₀/z-z₀))). Получим аналогично предыдущему : 1/2i_CR1(f()/(-z))d= - _k=1^[1/2i*_Cr1(f()/(-z₀)^k+1)d]1/(z-z₀)^k Поменяем индекс суммирования k-k получим: 1/2i_Cr1(f()/(-z))d= - _k-_­^-1C_k(z-z₀)^k(9) где С_k=1/2i*_Cr1f()/(-z₀)^k+1d(10). Подставив (6) и (9) в выражение для интегралов в формулу (4) получим представления f(z) в виде ряда Лорана: f(z)= _k=0_­^C_k(z-z₀)^k+ _k-_­^-1C_k(z-z₀)^k= _k=-_­^+C_k(z-z₀)^k (11) , где коэффициенты C_k ((7) k0;(10) k0) . Вследствие аналитичности в кольце k функции f(z) и на основании обобщенной теоремы Коши интегралы в (7) и (10) не изменяются , если в качестве контура интегрирования взять любую окружность C_: |z-z₀|=, а rR произвольное число  можно считать , что C_k=1/2i*_C(f()/((-z₀)^k+1))d (12) т.к.zk есть любая точка этого кольца , то теорема доказана .

22.Область равномерной сходимости ряда Лорана. Единственность разложения функции в ряд Лорана.

Ряды Лорана. Рядом Лорана называется ряд f(z)=_k=-_­^ C_k(z- z₀)^k (1),C_k,z - некоторые комплексные числа ,z₀ - центр ряда.

ряд Лорана: f(z)= _k=0_­^C_k(z-z₀)^k+ _k-_­^-1C_k(z-z₀)^k= - _k=-_­^+C_k(z-z₀)^k (2) ,

Доказательство. Правильная часть ряда Лорана (2) есть степенной ряд , поэтому на основании теоремы Абеля он сходится равномерно в круге |z-z₀|R ,01. Главная часть ряда Лорана сходится вне круга |z-z₀|r следовательно сходится равномерно на множестве |z-z₀|=r/ , где 01 . Итак , ряд Лорана сходится равномерно в кольце r/|z-z₀|R, где 01 и где r/R.

Теорема (единственность разложения в ряд Лорана) Разложение функции f(z) в ряд Лорана в кольце k: r|z-z₀|R единственно.

Доказательство. Пусть f(z)=_k=-_­^ C_k(z-z₀)^k = _k=-_­^ b_k(z-z_k)^k (3). Зафиксируем любое число n=0,+-1;+-2,.. и умножим обе части равенства на (z-z₀)^-n-1 , полученный результат, проинтегрируем почленно по окружности |z-z₀|= , что возможно согласно равномерной сходимости рядов, причем rR. Известно что интеграл _|z-z0|=(z-z₀)^mdz={2i,m= -1;0,m-1 (4) . Используя (4) , получаем следующее 2iC_n=2ib_nCn=b_n .Единственность доказана

23. Выражение коэффициентов ряда Лорана. Неравенство Коши. Теорема Лиувиля.

Пусть f(z) аналитична в кольце k: r|z-z₀|R  |C_k|=(1/2)_C(|f()|/(|-z₀|)^k+1)|d| =(1/2)(M()/^k+1)2=M()/^k=|C_k|=M()/^k. M()=max|f()|, C_._C|d|=2.

Теорема Лиувиля. Если f(z) аналитична и ограничена на комплексной плоскости C то она является постоянной. Доказательство. По теореме Лорана в кольце 0|z|+ (центр-начало координат r=0,R=+все комплексные плоскости) {{{ Теорема Лорана(о разложимости аналитической в кольце функции в ряд Лорана.)Если функция f(z) аналитична в кольце k: 0r|z-z₀|R=+ то она в этом кольце представима рядом Лорана: f(z)= _k=-_­^+ C_k(z-z₀)^k (2) где C_k=1/2i_Cf()/(-z₀)^k+1d (3) C_ : |-z₀|=, rR }}}. f(z)= _k=-_­^ C_kz^k , где |C_k|=M/^k так как M=const ,-произвольнаяС_k=0 и при k=0 остаются только C₀. Отсюда следует, что f(z)=C₀=const.

24. Изолированные особые точки, их классификация. Поведение аналит.фун-и в окр.изолиров.точек различ типов.

Опредение Пусть D обл. аналитичности функции f(z), каждую точку аналитичн. функции f в обл. D мы назыв. правильной точкой.

Граничные точки обл. аналитичности D мы назыв. особыми (.).

Определение Особая т. наз-ся изолированной, если существ. U() такая, что f(z) аналитическая и однозначная всюду кроме т. z₀, где функция f(z) возможно неопредел.

Классификация особых точек: Если z₀ изолир. особая т. функции f(z), то существ. 3 взаимноисключ. друг друга случаи:

1)В лорановском разлож. все коэфф. правой части равны нулю: , такая т. назыв. устранимой;

2)Главная часть содерж. лишь конечное число коэфф. ≠0, т.е. , тогда точка z₀ — полюс n-го порядка.

3)Главная часть содерж. ∞ много ≠0 коэфф., тогда z₀ — существенно особая точка функции f(z).

Теорема 1 (Устранимая особая точка)

Если z₀ — изолированная особая точка, то выполняются след. утверждения:

1)z₀ — устранимая особая точка,

при

аналитична в кольце .

Док-во:

1) ; , такая что в кольце , тогда .

2) ; Дано , т.к. аналитична и непр. в некот. кольце , то вследствии непр. в замкнут. обл., огранич. в этой обл.

3) ; По теореме Лорана , согласно нер-ву Коши , k=1,2,…; , где — произв. число: . Значит =0, при k=1,2,…

Определение.

Если f(z) аналитична в т. z₀ и то z₀ наз-ся нулём кратности n функции f(z). При этом C₀=C₁=…C_n-1=0, C_n≠0.

Теорема 2 (о поведении функции в окрестности полюса).

Если Z₀ изолир. особая т. функции f(z), то след. условия эквивалентны:

1) z₀ — полюс n-го порядка функции f(z).

, где — аналитична в т. z_0­ и

(1) аналитичка в т. и есть ноль функции n-го порядка.

Док-во:.

1) Пусть z₀ полюс n-го порядка, тогда , что в кольце K: и . Можем переписать в виде: или; аналитична в круге как сумма степенного ряда и .

2) , аналитична в U(z₀) и

есть аналитич. функция как частное двух аналит. функций, причем . Поэтому функция может быть разложена в ряд Тейлора: , но . Отметим, что есть ряд Тейлора как произвед. двух аналит. функций.

Значит выполняется (1) и ноль g(z) n-ого порядка и g(=0.

3) , — есть ноль n-го порядка для функции g. Тогда или

,

Тогда и функция аналитична в т. как частное двух аналитич. функций. След-но, функцию можно разлож. в ряд Тейлора в

; где . Это означ., что , есть полюс n-го порядка для функции .

25. Теорема Сохоцкого.

Теорема. Если z­₀C – существенно особая точка для F(z), то для любой АС существует последовательность {z_k}(k: z_kz₀, z_k->z₀), такая, что lim_k->f(z_k)=A.

Док-во. 1. Пусть A= => F(z) не ограничена в каждой окресности z₀ (>0 и M>0 z: 0<|z-z₀|< => |F(z)|>M). В частности nN z_n : 0<|z_n-z₀|<1/n и |f(z_n)|>n => {z_k}k: z_kz₀, z_k->z₀) и f(z_n)->  при n->. 2. Пусть A. Может случиться ,что в окрестности z₀ - F(z)=A, тогда теорема справделива. Пусть F(z)A в достаточно малой окрестности z₀, тогда (z)=1/(F(z)-A) будет аналитична в этой окресности всюду, кроме, быть может z₀, которая является изолированной особой точкой, эта z₀ может быть только существенно особой точкой, т.к. если бы существовал конечный или бесконечный lim_z->z0(z) (т.е. z₀ была бы устранимой или полюсом), то существовал бы конечный или бесконечный lim_z->z0F(z)=lim_z->z0[A+1/(z)], что для F(z) невозможно, т.к. z₀ – существенно особая точка => z₀ – существенно особая точка для (z), но тогда по доказанному в п. 1 существует {z_n}-> z₀, такая, что lim_z->z0(z)= => lim_z->z0f(z)=A.

26. Вычет аналитической функции в изолированной особой точке. Вычисление вычета с помощью производной. Вычет в изолированной особой точке () . Пусть z_k – изолир. особая точка функции F(z), тогда она аналитична в некотором кольце К: 0<|z-z₀|<R.

Опр 1. Вычетом функции F(z) в изолир. особой точке z₀ называется число Res_z=z0[F(z)]=(1/2i)_CF(z)dz (1). C_: |z-z₀|=, 0<<R.

Зам 1. Если  - любая кусочно-замкн. кривая Жордана и К, то по обобщенной теореме Коши: Res_z=z0[F(z)]=(1/2i)_+F(z)dz (2).

Зам 2. По теореме Лорана в кольце К: F(z)=_k=-^k=+[C_k(z-z₀)^k], C_k=(1/2i)_Сρ[F(z)/(z-z₀)^k+1]dz; R=0;±1; ±2;

При k=(-1),то Res_z=z0[F(z)]=(1/2i)_CF(z)dz=C_-1 (3).

Зам 3 (вычисление вычетов с помощью производной). Пусть z₀ - полюс порядка n аналит. функции F(z), F(z)=C-_n(z-z₀)^-n +…+ C-₁(z-z₀)^-1 + C₀ + C₁(z-z₀) +C₂(z-z₀)²+… (ряд Лорана), C_-n≠0. Домножая обе части равенства на (z-z₀)ⁿ,получим (z-z₀)ⁿ F(z)=C-_n +…+ C-₁(z-z₀)^n-1 + C₀(z-z₀)ⁿ + C₁(z-z₀) ⁿ⁺¹ +… дифференцируя (n-1) раз и переходя к пределу z->z₀ получаем: C_-1= Res_z=z0[F(z)]=

=[1/(n-1)!]*lim_z->z0(d^n-1/dz^n-1) [(z-z₀)ⁿ F(z)] (4).

26. Зам 4. Пусть z₀-полюс 1 порядка, тогда Res_z->z0[F(z)]=

=lim _z->z0((z-z₀)F(z)) (5)

Зам 5. Пусть z₀-полюс 1 порядка для F(z)=φ(z)/ψ(z), где φ(z) и ψ(z)-аналит. в кольце К, причем φ(z₀)≠0, ψ(z₀)=0, ψ’(z)≠0.Тогда согл-но формуле (5) Res_z->z0[φ(z)/ψ(z)]=lim_z->z0[(z-z₀)*(z)/(z)]=

=lim_z->z0[(z)/[((z)-(z₀))/(z-z₀)]]=(z₀)/’(z₀) (6).

Опр 1. (Вычисление в ). Пусть z= - изолир. особая точка для аналит. ф-ции F(z), тогда существует кольцо К: R<|z|< где F(z) – аналитична.

Опр 2. Вычетом функции F(z) в изолир. особой точке  назыв. число Res_z=[F(z)]=(1/2i)_CF(z)dz (7). C_: |z|=, R<<+.

Зам 6. Т.к. в кольце R<|z|<+ F(z)= _k=-^k=+ [C_k*z^k] (представимо рядом Лорана), где C_k=(1/2i)_C[F(z)/z^k+1]dz,где к=0;≠1,.. то

С_-1= (1/2i)_CF(z)dz= -(1/2i)_C-F(z)dz => Res_z=[F(z)]= -C_-1. (8)

27. Основная теорема о вычетах. Теорема о сумме вычетов.

Теорема 1 (основная). Пусть D – конечная произвольная область, ограниченная кусочно-гладкой кривой C, а функция F(z) аналитична в D и непрерывна в замкн. области D*=DC всюду, кроме конечного числа изолир. особых точек a_kD, k=1,…,n. Тогда _СF(z)dz=2i*_k=1ⁿ Res_z=ak[F(z)] – сумма вычетов (1).

Док-во. Построим круги D_k: |z-a_k|<_k c границей C_k:|z-a_k|=ρ_k, круги принадлежат D и попарно не пересекаются, т.е. DD*=D_кC_к, D_к∩̷C_к= пустое множ-во, к≠0. Применим обобщенную теорему Коши к (n+1) связной области D**=D_k=1ⁿD_к*. Граница этой области С**=СС₁*…С_n* : _СF(z)dz=_k=1ⁿ[_СkF(z)dz]=2i*_k=1ⁿ[(1/2i)_СkF(z)dz]=

=2i*_k=1ⁿRes_z=zk[F(z)] чтд

Теорема 2 (о сумме вычетов). Если функция F(z) аналитична на комплексной плоскости всюду, кроме конечного числа точек a₁…a_n, то _k=1^∞ Res_z=ak[F(z)]+ Res_z=[F(z)] = 0 (1).

Док-во. Пусть C_R: |z|=R – окружность столь большого радиуса, что k: |a_k|<R, тогда на основе теоремы вычетов _СRF(z)dz=

=2i*_k=1^∞ Res_z=ak[F(z)], но _СrF(z)dz= -(_Сr-F(z)dz)= -2i*Res_z=[F(z)] => _k=1^∞ Res_z=ak[F(z)]+ Res_z=[F(z)] = 0

28. Вычисление интегралов с бесконечными пределами с помощью вычетов.

Лемма 1. Пусть функция F(z), z=x+iy аналитична в полуплоскости ImZ >0, всюду, кроме конечного числа особых точек z_k, причем на действительной оси ImZ=y=0 может иметь полюсы первого порядка. Тогда если lim_R->[max_zCr|zF(z)|]=0,где CR–верхняя полуокр-ть (|z|=R, ImZ>0), то _-^+ F(x)dx=2i*_k=1ⁿ Res_z=zk[F(z)]+ i*_p=1^m Res_z=zp[F(z)] (1), где z_k – ос. точки функции F(z) на ImZ>0, z_p – ос. точки функции F(z) на y=0. Интеграл (1) понимается в смысле главного значения.

Док-во. Для простоты полагаем, что F(z) на действ. оси имеет только полюс 1 порядка в т.z=. Рассмотрим замкнутый контур С=С_R

 [-R,z]C_r[+r,R], где C_R: |z|=R- полуокр-ть настолько большого радиуса, что max|z_k|<R, max|z_p|<R, а C_r : |z-α|=r Imz> полуокр-ть настолько малого радиуса, что F(z) аналитична в 0<|z-|<r (кольце). По основной теореме о вычетах (Теорема 1 (основная). Пусть D – конечная произвольная область, ограниченная кусочно-гладкой кривой C, а функция F(z) аналитична в D и непрерывна в замкн. области D*=DC всюду, кроме конечного числа изолир. особых точек a_kD, k=1,…,n. Тогда _СF(z)dz=2i*_k=1ⁿ Res_z=ak[F(z)] – сумма вычетов) _СF(z)dz=(_СR+ _-R^{ - r}+ _Сr+ _+r^R)F(z)dz =2i*_k=1ⁿ Res_z=zk[F(z)] (2) По условию Леммы >0 R₀()>0 что при z: |z|>R₀: |zF(z)|</. Тогда если R>R₀,то|_СRF(z)dz|<_СR|zF(z)|*|dz/z|</*R/R= =>

lim_R->[ _СRF(z)dz]=0 (3) На окружности теорема доказана. Рассмотрим ось X. F(z) аналитична в кольце 0<|z-|<r и отсюда следует, что по теорема Лорана (если f(z) аналитическая в кольце 0<r<|z-z₀|<R<+∞, то она в этом кольце представима рядом Лорана: f(z)=_к=1∑^к=∞[С_к(z-z₀)^k, где C_k=(1/2πi)*_Cρ∫[f(ξ)/(ξ-z₀)^k+1dξ, k=0,±1,±2…, Cρ: |ξ-z₀|=ρ, z<ρ<R) она представима в виде: F(z)=C_-1/(z-)+(z) (4) (z) – аналитична и ограничена на Cr. С_-1= =Res_z=[F(z)].Тогда _СRF(z)dz=С_-1*_Crdz dz /(z-) + _Cr(z)dz = -iС_-1 + +_Cr(z)dz, т.к.: 1) _C+dz/(z-)=2 на |z-|=r. 2) M>0: |(z)|<M на Cr и |_Cr(z)dz|< _Cr|(z)||dz| < M*r*₀^d=*M*r, поскольку z=|z|*exp(i) => dz=i|z|exp(i)d => |dz|=|z|d=rd.

Таким образом принимая во внимание пункты 1 и 2 и переходя к пределу, получаем

lim_r->0[_СrF(z)dz]=( -iRes_z=[F(z)] ) (5). Переходя в (2) при r->0,

R->+ и учитывая (5), получим

(_-^+f(x)dx)=2i*_k=1ⁿRes_z=zk[F(z)]+i*Res_z=[F(z)].

Лемма 2. Пусть f(z)-аналит. при Imz > 0 всюду, кроме конеч. числа точек z_k и z_p, причем на действ. оси (Imz=0) она может иметь разве лишь полюсы первого порядка, тогда _R->∞lim_zCRmax|f(z)|=0,где С_R:{|z|=R, Imz > 0},то для λмнож-ву дейст. чисел:

_-∞∫^+∞e^iλxf(x)dx=2πi_k∑Res_{z = zk}e^iλxf(z)+πip∑Res_{z = zp}e^iλxf(z) (1)

Z_k: ImZ_k>0 Z_p: ImZ_p=0 при этом интеграл (1) понимается в смысле главного значения.

Док-во: не умаляя общности, предположим, что на действ. оси сущ-ет полюс 1 порядка z=α.Тогда для замкн. контура С(см.рис к лемме1), внутри которого находятся все ос. точки, имеем:

_C∫e^iλzf(z)dz=( _R∫+_-R∫^α-r +_Cr∫+ _α+r∫^R ) e^iλzf(z)dz=2πi_k∑_z=zkRes e^iλzf(z); (z->0,

R->∞) : _-∞∫^+∞e^iλxf(x)dx=2πi_k∑Res_z=zke^iλxf(z)+πip∑Res_z=zpe^iλxf(z)

Следствие. Пусть f(x)-действ. функция с действ. переменной, тогда e^iλxf(x)=f(x)cosλx+if(z)sinλx, и, выделяя действ. и мнимую части, получим: _-∞∫^+∞ f(x)cosλxdx= -2πIm[∑_z=zkRes e^iλzf(z) +

+0.5∑ _z=zpRes e^iλzf(z)]

_-∞∫^+∞f(z)sinλxdx=2πRe[∑_z=zkRes e^iλzf(z) + 0.5∑ _z=zpRes e^iλzf(z)]

29. Оригинал и изображение по Лапласу. Лемма об абсолютной сходимости интеграла

Опр 1. Всякая комлекснозначная функция F(t) действительной переменной t (-<t<+) назыв. оригиналом, если она удовлетворяет трем условиям: 1) F(t)0 при t<0. 2) F(t) непрерывна на любом конечном отрезке оси t, всюду быть может за искл. конечного числа точек, где она может иметь разрывы 1 рода. 3) При t->+ F(t) растет не быстрее экспоненты, т.е. M=M(f)>0 и S=S(f)>0, что |F(t)|<M*exp(St) (1).

Пусть {S} – множество всех значений S, для которых справедливо (1), тогда S₀=inf{S} назыв. показателем роста F(t) при t->+.

Опр 2. Изображением или образом (по Лапласу) оригинала F(t) назыв. функция F(p), p=S+i, которая определяется по формуле F(p)=₀^+exp(-pt)*F(t)dt (2). Обозначение F(p)÷f(t) или f(t)÷F(p) F(p)=L[f] или f=L^-1[F], L-оператор Лапласа

Лемма 1. Если F(t) является оригиналом, то для n=0,1,2… интеграл ₀^+(dⁿ[exp(-pt)*F(t)]/dpⁿ)dt сходится абсолютно в области Re(p)>  >S₀.

Док-во. |₀^+(dⁿ[exp(-pt)*F(t)]/dpⁿ)dt|=|₀^+((-t)ⁿ exp(-pt)*F(t))dt| <

< ₀^+(tⁿ |exp(-pt)|*|F(t)|)dt < M*₀^+(tⁿ exp((-S-S₀)t))dt (3). Пояснение : |F(t)|<=M*exp(S₀t), |exp(-pt)|=|exp(-(S+i)t) |=exp(-St). Интегрируем по частям: ₀^+((tⁿ) exp(-(S-S₀)t))dt=[-tⁿ/(S-S₀)]exp(-(S-S₀)t)_t=0|^t= + +[n/(S-S₀)]₀^+((t^n-1) exp(-(S-S₀)t))dt=[n/(S-S₀)]₀^+(t^n-1 exp(-(S-S₀)t))dt = … =[n!/(S-S₀)ⁿ]₀^+ exp(-(S-S₀)t)dt= n!/(S-S₀)ⁿ⁺¹ < n!/(-S₀)ⁿ⁺¹ (4). Итак, |₀^+(dⁿ[exp(-pt)*F(t)]/dpⁿ)dt| < ₀^+|dⁿ[exp(-pt)*F(t)]/dpⁿ|dt <

< n!/(-S₀)ⁿ⁺¹=const. (5).

30. Теорема об аналитичности изображения оригинала.

Теорема. Изображение F(p)=₀^+exp(-pt)*F(t)dt оригинала F(t) является аналитической функцией в области Re(p)>S₀, где S₀ – показатель роста, причем в этой области F⁽ⁿ⁾(p)=

=₀^+(dⁿ[exp(-pt)*F(t)]/dpⁿ)dt, n=0,1,2,..

Док-во. (Проведем для n=1,для остальных аналогичное док-во)

R(p, p)=(F(p+p)-F(p))/p - ₀^+(-t*exp(-pt)*F(t))dt=

=₀^+(exp(-pt)*F(t)[exp(-pt)/p + t – 1/p])dt. Оценим величину в [ ]: |exp(-pt)/p+t–1/p| = |_k=1^[(-t*p)^k/(k!* p)]+t| =

= |_k=2^(-t*p)^k/(k!*p)| = |t²p*_k=2^(-t*p)^k-2/k!| =

=|t²p*_k=0^(-t*p)^k/((k+2)!)| < t²|p|*_k=0^(t*|p|)^k/k!= t²|p|exp(|p|t). Таким образом: |R(p, p)| < M*|p|₀^+ t²exp(-(S-S₀-|p|)t)dt;

|R(p, p)| < 2M*|p|/(S-S₀-|p|)³. При p->0 получаем, что

R(p, p)->0.

Мы док-ли F⁽ⁿ⁾(p)=₀^+(dⁿ[exp(-pt)*F(t)]/dpⁿ)dt при n=1.

[F(p+∆p)F(p)]/ ∆p -> F’(p) при ∆p->0.

31. Теорема обращения (представление оригинала по его изображению)

Теорема: Если F(p) – изображение кусочно-гладкой функции-оригинала f(t) в области Rep>s₀, то в точках непрерывности f(t)=(1/2pi) _a-i¥ò^a+i¥e^ptF(p)dp (1), где интеграл берется вдоль прямой Rep=a>s₀

Доказательство:

Рассмотрим функцию j(t)= e^-atf(t). Эта функция является также кусочно-гладкой и, т.к. |f(t)|£Me^-s0t, то: |j(t)|=Me^-(a-s0)t и => limj(t)=0 (t->¥). Это значит, что j(t) представима интегралом Фурье. e^-atf(t)= j(t)=(1/2p)_-¥ò^+¥dx_-¥ò^+¥j(h)e^ix(t-h)dh, т.к. j(h)=0 при h<0; e^-atf(t)=(1/2p)_-¥ò^+¥dx₀ò^+¥j(h)e^ix(t-h)dh |*e^at; f(t)=(1/2p)_-¥ò^+¥e^-atf(t)=j(t)=(1/2p)_-¥ò^+¥e^(a+ix)tdx₀ò^+¥e^-(a+ix)hf(h)dh; f(t)=(1/2p)_-¥ò^+¥e^(a+ix)tF(a+ix)dx (2). F – образ f. Сделаем замену: a+ix=p. f(t)=(1/2pi) _a-i¥ò^a+i¥e^ptF(p)dp, ч.т.д. Оригинал f(t) однозначно отображается через изображение F(p) с точностью до значений в точках разрыва функций f(t).

32. Линейность преобразования Лапласа и теорема подобия.

Теорема: Если для i=1, 2,.., n: f_i(t) ¸F_i(p) "i: Rep>s_i, тогда для "с₁,.., с_n: _i=1åⁿc_if_i(t)¸_i=1åⁿc_iF_i(p), Rep>maxs_i (1<i<n)

Доказательство:

(основано на линейности оператора Лапласа)

₀ò^+¥e^-pt_i=1åⁿc_if_i(t)dt=_i=1åⁿc_i0ò^+¥e^-ptf_i(t)dt= _i=1åⁿc_iF_i(p), ч.т.д.

Теорема подобия: Eсли f(t)¸F(p), то для "a>0: f(at)¸(1/a)F(p/a), Rep>as₀

Доказательство:

Сделаем замену: at=x

₀ò^+¥e^-ptf(at)dt=(1/a)₀ò^+¥e^-(p/a)xf(x)dx=(1/a)F(p/a), ч.т.д.

33. Теоремы о дифференцировании оригинала и изображения.

Теорема: Если f(t)¸F(p), Rep>s₀, то f ’(t)¸pF(p)-f(0) (1)

Если f⁽ⁿ⁾(t) – оригинал, то f⁽ⁿ⁾(t)¸pⁿF(p)-p^n-1f(0)-p^n-2f ’(0)-…-f^(n-1)(0), Rep>s₀ (2)

Доказательство:

(для формулы(1)) f’(t)¸ ₀ò^+¥e^-ptf’(t)dt=e^-ptf(t)_t=0½^t=+¥+p*₀ò^+¥e^-ptf(t)dt=pF(p)-f(0), ч.т.д.

Теорема д-ии из-ия: Если F(p)¸f(t), Rep>s₀, то F’(p)¸(-t)f(t) (1)

И вообще, n-ая производная: F⁽ⁿ⁾(p)¸(-t)ⁿf(t), Rep>s₀ (2)

Доказательство:

Согласно Тh1 {{. Теорема об аналитичности изображения оригинала.

. Изображение F(p)=₀^+exp(-pt)*F(t)dt оригинала F(t) является аналитичной функцией в области Re(p)>S₀, где S₀ – показатель роста, причем в этой области F⁽ⁿ⁾(p)=₀^+(dⁿ[exp(-pt)*F(t)]/dpⁿ)dt. }}, F⁽ⁿ⁾(p)= (dⁿ/dpⁿ) ₀ò^+¥e^-ptf(t)dt= ₀ò^+¥e^-pt[(-t)ⁿf(t)]dt¸(-t)ⁿf(t), ч.т.д.

34. Теорема об интегрировании оригинала.

Теорема: Если f(t) ¸F(p), Rep>s₀, то ₀ò^tf(x)dx¸F(p)/p, Rep>s₀

Доказательство:

Легко проверить, что если f(t) – оригинал, то и функция g(t)= ₀ò^tf(x)dx - оригинал. Пусть g(t)¸G(p). Тогда по Св3 (диф. оригинала){{ Теорема: Если F(p)¸f(t), Rep>s₀, то F’(p)¸-tf(t) (1) И вообще, n-ая производная: F⁽ⁿ⁾(p)¸(-t)ⁿf(t), Rep>s₀ (2) }}, g’(t)¸pG(p)-g(0), g(0)=0, g'(t)=f’(t), f(t)¸pG(p), f(t)¸F(p) => G(p)=F(p)/p, т.е. F(p)/p=G(p)¸g(t)= ₀ò^tf(x)dx, ч.т.д.

Следствие: Если f(t)¸F(p), то ₀ò^tdt₁₀ò^tdt_2…0ò^tf(t_n)dt_n¸(1/pⁿ)F(p)

35. Теорема об интегрировании изображения.

Теорема: Если f(t) ¸F(p), Rep>s₀ и f(t)/t – оригинал, то f(t)/t ¸ ₀ò^+¥f(q)dq

Доказательство:

Пусть функция Q(q)= ₀ò^+¥e^-qt(f(t)/t)dt – изображение f(t)/t. Согласно следствию из Л1, Q(¥)=0. Дифференцируя обе части этого равенства, причем для правой части возможно дифференцирование под знаком интеграла, согласно Teoreme{{. Теорема об аналитичности изображения оригинала.. Изображение F(p)=₀^+exp(-pt)*F(t)dt оригинала F(t) является аналитичной функцией в области Re(p)>S₀, где S₀ – показатель роста, причем в этой области F⁽ⁿ⁾(p)=₀^+(dⁿ[exp(-pt)*F(t)]/dpⁿ)dt. }} возможно, получим: Q’(q)=- ₀ò^+¥(-t)e^-qt(f(t)/t)dt=-F(q). Интегрируем это равенство от p до ¥: Q(+¥)-Q(p)= - _pò^+¥F(q)dq, Q(¥)=0, Q(p)= _pò^+¥F(q)dq, ч.т.д.

36. Теоремы запаздывания и смещения.

Th. Запаздывания.

Если f(t)  F(p) Re(p)>S₀ при 0<<+ то для ф-ии f_ = {f(t-), t ; 0, t<.}

То имеет место соотношение f_(t)  e^-pF(p) (1)

Док-во:

Т.к. f(t-) = 0 при t<, то: f_(t)  ₀^e^-ptf_(t)dt = _^e^-ptf(t-)dt = ₀^e^-p(+)f()d = e^-p₀^e^-pf()d = e^-pF(p). 

Th. Смещения.

Если f(t)  F(p) Re(p)>S₀ то для p₀  C : e^p0tf(t) F(p-p₀), Re(p) > S₀ + Re(p₀).

Док-во:

e^p0tf(t) - оригинал с показателем роста S₀ + Re(p₀); тогда e^p0tf(t)  ₀^e^-pte^p0tf(t)dt = ₀^e^-(p-p0)tf(t)dt = F(p-p₀).

37. Th. Умножения (свертки).

Если f(t)  F(p); Re(p) > S₁ ; g(t)  G(p); Re(p) > S₂ , то произведение образов F(p) и G(p) также является образом, причем: F(p)G(p)  ₀^tf()g(t-)d; Re(p) > max{S₁,S₂}.

Док-во:

Докажем сначала, что (t) = ₀^tf()g(t-)d - является оригиналом. Первые два условия существования оригинала очевидны. Пусть |f(t)|  M₁e^S1t; |g(t)|  M₂e^S2t;пусть M = max{M₁,M₂}; S₀ = max{S₁,S₂}.

Тогда: |₀^tf()g(t-)d|  ₀^t|f()||g(t-)|d < M₁M₂* ₀^te^-S0e^S0(t-)dt  M²e^S0t < M^*e^(S0+)t ; >0; _^d=₀|^t=t; t<e^εt т.к. inf_ε>0(S₀+ε)= S₀ то показатель роста нашей ф-ии = S₀ а M^*=M² 3е условие существования оригинала выполняется (t) = ₀^tf()g(t-)d ₀^e^-pt₀^tf()g(t-)d. Изменим порядок интегрирования: (t) = ₀^f()d _^e^-ptg(t-)dt = {замена t- = ; t = +} = ₀^e^-pf()d₀^e^-pg()d = F(p)G(p). 

Замечание: ₀^tf()g(t-)d - наз. сверткой f и g и обозначается (fg)(t) = ₀^tf()g(t-)d т.е. произведению изображений соответствует свертка оригиналов. (fg) = (gf). Свертка симметрична ₀^tg()f(t-)d=(gf)(t)

38. Первая теорема разложения Хевисайда

Th. Пусть функция F(p)-аналитична в некоторой кольцевой окрестности точки ∞,R<|p|<+∞ и имеет в этой окрестности Лорановское разложение: F(p) = _k=1∑^∞[C_-k/p^k] (1)

Тогда оригиналом F(p) будет функция: f(t)={ _k=1∑^∞[C_-k/(k-1)!]*t^k-1, t>0 ; 0, t<0 (2)

Док-во:

_k=1∑^∞С_-k/p^k=[1/p]*_k=1∑^∞C_-k/p^k-1, точка р=∞ является устранимой для ряда: _k=1∑^∞C_-k/p^k-1,следовательно при |p|≥ρ>R ƎA>0 так что |_k=1∑^∞C_-k/p^k-1|<A=const

Тогда при |p|≥ρ>R: |_k=1∑^∞C_-k/p^k|=|F(p)|<A/ρ=M(ρ)

Согласно неравенству Коши для коэф. ряда Лорана имеем

|C_-k|<M(ρ)/(ρ^-k )= M(ρ)ρ^k = Aρ^k-1, k=1,2,3… отсюда имеем, |_k=1∑^∞[C_-k/(k-1)!]*t^k-1|  _k=1∑^∞|C_-k|*[|t|^k-1/(k-1)!] < A*_k=1∑^∞[(ρ|t|)^k-1/(k-1)!] = Ae^ρ|t| Ряд (2) мажорируется стремящимся степенным рядом и сл-но сход. равномерно при |t|  r,r≠∞ и ряд (3) _k=1∑^∞[C_-k/(k-1)!]*t^k-1 –сход. равномерно в круге |t|<r. Умножим (3) на e^-pt и результат почленно проинтегрируем на (0;r). ₀^r e^-pt _k=1∑^∞[C_-k/(k-1)!]*t^k-1dt = _k=1∑^∞[C_-k/(k-1)!]₀^r e^-ptt^k-1dt (4); tⁿn!/pⁿ⁺¹ и ₀^∞ e^-ptt^k-1dt(k-1)!/p^k. Переходя в (4) к пределу при r→∞: ₀^∞ e^-pt _k=1∑^∞[C_-k/(k-1)!]*t^k-1dt = _k=1∑^∞[C_-k/p^k] = F(p)#

39.Вторая теорема разложения Хевисайда (без док-ва)

Th. Пусть ф-ция F(p) удовлетворяет следующим условиям

1.F(p)-аналитична на всей комплексной плоскости кроме конечного числа особых точек, которые являются полюсами этой функции

2. В области Re(p)>S₀; F(p)-аналитическая

3.F(p)→0 равномерно при р→∞ относительно arg(p)

4.Для любого a>S₀ сходится интеграл: _a-i∞∫^a+i∞|F(p)|*|dp|.

Тогда оригиналом функции F(p) является функция f(t) = _k∑Res e^p*tF(p) {p = p_k - написать под Res} t>0; 0, t<0.

40.Интеграл Дюамеля и его применение

По Th диф. оригинала f ’(t) ÷ pF(p) - f(0) (1). Запишем теорему умножения:

F(p)*G(p) ÷ ₀∫^tf()g(t-)d (2); f(t) ÷ F(p); g(t)÷G(p), тогда pF(p)G(p) = f(0)G(p)+(pF(p)-f(0)) G(p) ÷ f(0) g(t) + ₀∫^tf ’()g(t-)d (3). В этой формуле мы исп: pF(p)-f(0) ÷ f ’(t); т.к. свертка симметрична pF(p)G(p) ÷ f(0)g(t) + ₀∫^tg()f ’(t-)d (4).

Поменяем ролями F(p) и G(p): pF(p)G(p) ÷ g(0) f(t) + ₀∫^tg’()f(t-)d = g(0)f(t) + ₀∫^tf()g’(t-)d (5).

Применение интеграла Дюамеля

Пусть требуется решить ЛДУ с пост. коэф. при нулевых начальных усл.:

L[x] = f(t) (6). Пусть известно решение x₁(t) урав. L[x]=1 (7), также при нулевых нач. усл. Воспользуемся интегралом Дюамеля для реш (6)

Опер. урав-ния соответственно (6) и (7):

A(p)X(p) = F(p) (8); A(p)X₁(p)=1/p (9); x₁(t) ÷ X₁(t); x(t) ÷ X(p); f(t)÷F(p);

X(p) = pX₁(p)F(p) (10); по ф-ле Дюамеля x(t)=₀∫^tf()x'₁(t-)d (11); x(t)=x₁(t)f(0) + ₀∫^tx₁(t)f’(t-)d (12); f(0)=0

41.Импульсная функция и её изображение по Лапласу. Некоторые св-ва δ функцию

δ_h={0,t<0,t>h;1/h,0<t<h. Действует на отр [0;h], причем _-∞∫^+∞ δ_h(t)dt=₀∫^hdt/h=1;(2) При h->0 получаем последовательность {δ_h(t)}, которая яв-ся расходящейся. Введём условную функцию δ(t), которую будем считать пределом этого семейства ф-ий δ(t)=lim_h->0δ_h(t) (3) Эта функция называется импульсной функцией нулевого порядка или δ-функцией,или ф-ией Дирака.Эта ф-ия всюду=0 кроме точки t=0,где она δ(0)=∞ и _-∞∫^+∞ δ(t)dt=1.

Изображение δ-функции. δ_h(t)=1/h[η(t)- η(t-h)] (5).

По теореме запаздывания δ(t)÷ [1/h][(1/p)-(1/p)(e^(-ph))]

δ(t)÷ lim_h->0[1-e^(-ph)]/ph=1.(6) Рассмотрим график интеграла ф-ии

η(t)=₀∫^t δ_h(τ) dτ (7) η_h(t)->η(t) при t->0; δ(t)= η’(t) (9). Преобразуем соотношение (6) η(t) ÷1/p; δ(t)÷ p/p=1. Значение оригинала при t=0 считаем=0.Для любой ф-ии оригинала φ(t) получаем

₀∫^∞φ(t) δ_h(t)dt=[1/h]₀∫^h φ(t)dt переходя к пределу h->0 ₀∫^∞φ(t) δ(t)dt=φ(0) (10). Если φ(t) разрывна при t=0 то под φ(0) будем понимать правое предельное значение δ(t)÷ ₀∫^∞[e^(-pt)] δ(t)dt=e^(-pt)│_t=0=1

На δ-функц. распространяются основные операционного исчисления.

1)Теорема запаздывания δ(t-τ)=e^(-p τ); ₀∫^∞[e^(-pt)]δ(t- τ)dt= e^(-pt) │_t=τ=e^(-pτ)

2)Теорема умножения F(p) ÷ ₀∫^tf(τ)δ(t-τ)dτ=f(τ) _t=τ =f(t);

42. Передаточная ф-ия и ее применение к решению задач электротехники.

Рассмотрим неоднородное ЛДУ n-ого порядка y⁽ⁿ⁾+C_n-1y^(n-1)+…+C₁y¹+C₀y=f(t) (1). Пусть заданы начальные условия y(0),y^`(0), …,y^(n-1)(0) (2). Представим решение задачи Коши в виде суммы y=y₁+y₂ (3). y₁: y₁⁽ⁿ⁾+C_n-1y₁^(n-1)+…+C₁y₁⁽¹⁾+C₀y₁=f(t), y₁(0)=…=y₁^(n-1)(0)=0} (4) y₂: y₂⁽ⁿ⁾+C_n-1y₂^(n-1)+…+C₁y₂⁽¹⁾+C₀y₂=0, y₂(0),…,y₂^(n-1)(0)} (5). Сумма решений (4) и (5) даст общее решение задачи (1),(2). Рассмотрим задачу (4). y(t)÷Y(p) операторные уравнения: pⁿY₁+C_n-1p^n-1Y₁+…+C₁p¹Y₁=F(p) (6), где Y₁(p)÷y₁(t), F(p)÷f(t). Введем обозначения: pⁿ+C_n-1p^n-1+…+C₁p¹=q(p), q(p)Y₁(p)=F(p), Y₁(p)=1/q(p)*F(p) (7). Обозначим 1/q(p) через G(p), тогда Y₁(p)=G(p)F(p) (8). Применив теор о свертке сразу получаем искомое решение y₁ задачи (4). y₁(t)=g(t)f(t)=₀∫^tg(τ)f(t-τ)dτ (9). Применение задачи (4) к решению задач по электротехнике. В зад.(4) назовем f(t)-входная функция, а y(t) – выходная функция. При нулевых нач дан на эл цепь описыв (4) действует только возбуждающая ф-я f(t), а y(t) – отклик на возбуждение. В пространстве изображений F(p) – входная ф-я(возб), а Y(p) – вых ф-я (отклик на возбуждение). Связь имеет вид Y(p)=G(p)F(p) (10). (для удобства заменяем Y₁(p)=Y(p)). Функция G(p) зависит от постоянных C_n-1,…,C₁,C_0, т.е. от внутр стркуктуры эл цепи, она связывает ф-и Y(p) и F(p). Она назыв коэфф передачи или передаточной ф-ей. Соотв ф-я в пр-ве оригиналов называется ф-ей Грина для задачи (4). Схематическая связь между F;Y;G: F → G → Y. Пусть теперь несколько физ систем соединены между собой. Например входная ф-я первой системы и выходная второй: F→ G → Y → G₁ → Y₁. Y=GF, Y₁=G₁Y, след-но Y₁=GG₁F след-но F → GG₁ → Y₁. Рисунок. Выходная ф-я Y₁ блока G питает G₁, находящ на линии обратной связи с вых ф-ей Y₂, она подвод к D, к которой так же подается входная функция F, в результате создается F-Y₂ или F+Y₂ – как угодно, кот снова подается на блок. Y₁=G(F-Y₂), Y₂=G₁Y₁, Y₁=(G/GG₁+1)F, H=G/GG₁+1.

43. Дискретное преобразование Лапласа, связь с импульсной ф-ией.

Дискретное преобразование Лапласа. В прилож вместо f(t) может быть задана последовательность значений {f_n}, n=0,1,2…через опред промежуток времени t=0,1,2…Преобр-е Лапласа примен для ф-ции можно применить и к последовательности, если их заменить ступенчатой ф-ей f₀(t)=f_n, n≤t≤n+1, n=0,1,2…(1). Ф-я f₀(t) явл кусочно-пост и ее образ, согласно преобо Лапласа, имеет след вид: F₀(p)=_n=0∑^∞_n∫ⁿ⁺¹e^-ptf_ndt= _n=0∑^∞f_n(e^-np-e^-(n+1)p)/p= (1-e^-p)/p(_n=0∑^∞f_ne^-np) (2). Запись (2) можно упростить, если отбросить множитель 1-e^-p/p, тогда в правой части (2) ост только _n=0∑^∞f_ne^-np – как результат непосредственных преобр посл-ти {f_n}. Это преобразование обозн символом Д, и называется дискретным преобр Лапласа Д[f_n]≡ _n=0∑^∞f_ne^-np. Замечание: Д-преобр можно рассматривать как преобр Лапласа но не ф-ции, а распределения. Последоват f_n=f(n) выдел из f(t) может быть рассм как результат импульсов δ(t-n) извлеч из f(t) в t=n знач ф-ции f(n). Совокупность этих импульсов моделируется посредством ф-ии f(t). В рез-те получаем f(t)= _n=0∑^∞f(t-n)= _n=0∑^∞f(n)δ(t-n)= f*(t). Ф-ю f*(t) будем называть распределением. Применив к f*(t) преобразование Лапласа, получим:L[_n=0∑^∞f(n)δ(t-n)]= _n=0∑^∞f(n)L[δ(t-n)]= _n=0∑^∞f_ne^-np=Д[f(n)] (4). Д[f(n)] – дискретное преобразование Лапласа(применено к распред{f_n}). (4) следует из теор запаздывания для δ(t): δ(t-τ) ÷e^-pτ ;(τ=h). Д[f(n)]=L[f*(t)] (5). Таким образом дискретное преобраз-е есть преобраз-е Лапласа некоторого распределения.

44. Z – преобразование, примеры.

Z – преобразование. Введем новую переменную z=e^p. Тогда ряд _n=0∑^∞f_ne^-np переходит в ряд по степеням 1/z и преобразование принимает след вид: F*(z)= _n=0∑^∞f_nz^-n=Z[f_n] (1). F*(z)=Z[f_n]. f_n÷F*(z).

Замечание1: преобразования L,Z,Д связаны м/у собой след соотношением: L[f*]=Д[f_n]=Z[f_n]|_z=e^p=F*(e^p) (2).

Замечание2: Ряд (1) сходится вне некоторого круга комплексной пл-ти |z|>R≥0. Поэтому все особенности изображения F* находятся внутри круга |z|≤R.

Пример1. Найти z – преобр f_n=e^αn. F*(z)= _n=0∑^∞e^αnz^-n= _n=0∑^∞(e^αz^-1)ⁿ=1/(1-e^αz^-1)=z/(z-e^α). |z|>e^{Re α}. Положим α=0. f_n≡1, F*(z)= z/z-1÷f_n=1.

Пример2. Если cos, то cosα=(e^iα+e^-iα)/2.

Пример3. f_n=1/n. n≥0, f₀=0. F*(z)= _n=0∑^∞z^-n/n= _n=0∑^∞1/nzⁿ=ln(1/z-1).

45. Обращение Z – преобразования.

Обращение z-преобразований. 1). Согласно ф-ле для коэф ряда Лорана f_n=1/(2πi)_|z|=r∫F*(z)dz/z^1-n (1), n=0,1,2…r<R. Внутри окр |z|=r должны быть все особенности ф-ци F*(z). 2). z=re^iφ. f_n=/2π_-π ∫^πF*( re^iφ) e^inφdφ(2). , где f_n/ – коэфф Фурье для F*( re^iφ). 3). Т.к. ряд F*(z^-1) – есть ряд по возрастающим степеням , то по ф-ле Тейлора f_n=1/n!(dⁿF*(z^-1)/dzⁿ)|_z=0, n=0,1,2…(3). 4). Th(о предельном значении). Если изображение F*(z)=Z[f_n] – сущ, то f₀=_z→∞limF*(z). без док-ва. Следствие: Очевидно, что ряды: z(F*(z)-f_n) =f₁+f₂z^-1+f₃z^-2+… z²(F*(z)-f₀-f₁z^-1)=f₂+f₃z^-1+… итд представляют собой z-преобразования, поэтому, определив по Th значение f₀: f₁=_z→∞limz(F*(z)-f₀) (4), f₂=_z→∞limz²(F*(z)-f₀-f₁x^-1) (5) итд

46. Целые ф-ии и их св-ва. Целые ф-ии: Однозначная ф-ия f(z) наз. целой если она аналитична во всей комплексной пл-ти С. {Напр.: e^z; Cosz; Sinz;…}

Опр. Ф-ия наз целой-рациональной, если полюсом для нее явл. т-ка z = , если же т-ка z =  - существенно особая т-ка, то ф-ия наз. трансцендентной.

Th 1. Если т-ка z =  - явл. устранимой особой т-кой целой ф-ии f(z), то f(z) = const.

Док-во: По условию Th. Lim(f(z)) = A   при z, тогда для >0  R() >0 z: |z|>R |f(z)-A|<  ||f(z)|-|A||  |f(z)-A| <   |f(z)| < |A| +  = M₁, |z| >R. Т.к f(z) аналитична в круге |z|R, то  M₂, что |f(z)| < M₂< |z|R. Пусть теперь M = max{M₁,M₂}, тогда для  z  С: |f(z)|M. Отсюда по Th (Лиувиля)  f(z) = const. 

Th 2. Если – полюс кратности n (n) целой функции f(z), то эта функция есть многочлен n-ой степени

Док-во: т.к. - полюс кратности n, то ряд Лорана принимает вид: , . Введем обознач.: , где . Очевидно, что - целая функция, поэтому как разность целых функций также целая функция. Т.к. Разложение лорана функции не содержит главной части, то точка является устранимой для . Тогда по теореме 1 и

47.Мероморфные ф-ии, рациональные ф-ии.Представимость рациональной ф-ии в виде суммы многочлена и простейших дробей.

Опр. Однозначная ф-ия f(z) наз мероморфной на компл пл-ти С, если в  огр части пл-ти С она не имеет никаких других особых точек, кроме полюсов.

Примеры: Pn(z)/Qm(z) – дробно-рац. ф-ии; tg(z); ctg(z);…

Замечание: В  огр части компл пл-ти мероморфная ф-ия имеет конечное число полюсов, в противном случае в этой части пл-ти  предельная т-ка мн-ва полюсов, и тогда эта т-ка не явл изолированной т-кой для полюсов.

Th 3. Если т-ка z= - полюс мероморфной ф-ии f(z), то f(z) - рациональная ф-ия.

Док-во: Т.к. z= - изолированная особая т-ка, то  кольцо R<|z|< в котором f(z) - аналитическая, в круге |z|R по условию имеет лишь конечное число полюсов, поэтому в пл-ти f(z) С имеет конечное число полюсов z₀=, z₁,…,z_n. Рассмотрим полюс z_k (k=1…n) и разложим ф-ию f(z) вряд Лорана и рассмотрим главную часть в окресности этого полюса _k(z) = [C_-1^(k)/z-z_k] + [C_-1^(k)/(z-z_k)²] +…+ [C_-k^(k)/(z-z_k)^k] Для полюса z₀= главная часть:₀(z) = C₁z + C₂z² +…+ C_z^. Составим рациональную ф-ию: g(z) = ₀(z) + ₁(z) +…+ _n(z). Вычтим g(z) из f(z): F(z) = f(z) – g(z). Для этой ф-ии т-ки z_0,z₁…z_n явл устранимыми особыми т-ками, т.к. для каждой из этих точек отсутствует главная часть ряда Лорана для f(z). Определим знач F(z) в т-ках z₀,z₁…z_n предельными значениями ф-ии F(z) в этих т-ках, тогда ф-ия F(z) станет аналитичной и ограниченной во всей компл пл-ти. По этому по Th(Лиувилля): F(z) = C₀ = const  f(z) = C₀ + g(z) - есть рациональная ф-ия(как сумма рац-х). 

Следствие: Всякую рациональную ф-ию можно представить в виде конечной суммы многочлена и простейших дробей вида: [C_/(z-z_к)^] и это представление единственно.

Док-во: Особыми т-ками рациональной ф-ии на C могут быть только полюсы z₁…z_n и z₀= - возможно. По доказанной Th эта ф-ия единственным образом предст в виде f(z) = C₀ + ₀(z) + ₁(z) +…+ _n(z), где ₀(z) = C₁z + C₂z² +…+ C_z^, а _k(z) = [C_-1^(k)/z-z_k] + [C_-1^(k)/(z-z_k)²] +…+ [C_-k^(k)/(z-z_k) ^k] k =1,…n

48. Св-во единственности для регулярной ф-ии.

Th 1. Если f(z) /0 регулярная (аналитическая) в нек области, то она в этой области может иметь только изолированные нули. #

Th 2 (Th единственности). Если 2 регулярные в области D ф-ии f₁(z) и f₂(z) совпадают на некоторой бесконечной последовательности попарно различных т-к z₁…z_n, сходящейся к z₀ D, то в области D: f₁(z) = f₂(z).

Док-во:

Рассмотрим регул ф-ию (z) = f₁(z) - f₂(z), все т-ки z₁…z_n - есть нули этой ф-ии т.к. (z_k) = 0, k = 1…n… т.к. limz_k=z₀ при k, то в следствии непрер. (z₀) = limf(z_k)=0 при k. Здесь z₀ – также нуль ф-ии (z), но т-ка z₀ не явл изол нулем ф-ии (z), поскольку в  ее окр имеются другие нули z_k  по Th 1. (z)0 в окр т-ки z_0, тогда все ее коэф Тейлора = 0  в нек круге с центром в z₀ и радиусом = расстоянию от z₀ до ближайшей т-ки границы области D f₁(z)  f₂(z) поскольку (z)  0. Докажем, что f₁(a) = f₂(a) в  т-ке обл D. Соединим z₀ и а кусочно гладкой кривой , целиком леж в D. Пусть 2>0 - кратчайшее расстояние точек  до границы области D. Опишем вокруг z₀ окружность с радиусом , соглано доказ. заключаем, что во внутр т-ках g₀ этой окружности: f₁(z)  f₂(z). Пусть z₀₁ - первая при движении от z₀ к а по  т-ка пересечения этой окр-ти с кривой , проведем окр с рад , с центром в z₀₁, пусть g₁ - внутр этой окр-ти в  окр т-ки z₀₁ имеет беск попарно разл точек g₀ в которых f₁(z)  f₂(z)  согласно уже док в круге g₁ всюду f₁(z)  f₂(z), продолжая этот процесс мы в конце концов получаем, что f₁(a)  f₂(a).  Следствие: Если 2 аналитические ф-ии совпадают на сколь угодно малой области или на сколь угодно малой дуге кривой, то они всюду совпадают в области своего определения.

49.Понятие аналитического продолжения ф-ции.

Опред1. 1)Пусть ф-я f(z) определена на мн-ве E;2) Ф-я F(z) аналитична в обл Д, причем Е – часть области Д.3)F(z)≡f(z) в E,тогда ф-ия F(z) наз-ся аналитическим продолжением f(z)

множ-ва Е в области Д

Тh1.(принцип аналитического продолжения)Пусть множ-во Е имеет предельную точку Z₀ принадлежащую Д, тогда аналитическое продолжение с мн-ва Е на мн-во Д единственно.

Д-во:Предположим,что f(t) определённое на Е имеет 2 аналитических продолжения F₁(z), F₂(z) в области Д, F₁(z) ≡F₂(z) для z ЄЕ то по теор. единственности F₁(z) ≡F₂(z) в Д. Если Е-кривая в Д то сущ-ет не более 1 аналитического продолжения f(z) на Д.

Th2.Пусть f(z) и g(z) целые ф-ии то есть регулярные или аналитические во всей комплексной плоскости. Тогда f(z)±g(z); f(z)*g(z) f(g(z)) будут также целые ф-ии.

Д-во:Следует из определения целой ф-ии и св-в регулярной ф-ии.

49. Пример:Аналитическое продолжение f(z)=_n=0∑^∞zⁿ (ряд сходится в круге К: |z|<1)

ф-ия регулярна(аналит)в данном круге=>f(z)=1/[1-z] в К,а F(z) аналитична в Д(Д-регулярная расширенная комплексная плоскость,С с выколотой точкой 1).при |z|<1

f(z)≡F(z)=>F(z)-!аналитическое продолжение ф-ии f(z) с мн-ва К наД.

Аналитическое продолжение экспоненты,тригонометрических и гиперболических ф-ий e^z= _n=0∑^∞zⁿ/n! (по опред.)ряд в правой части сходится при всех z => сумма ряда аналитична при всех z. При действит z=x ф-ия e^z совпадает с естественной ф-ией e^z=e^x

(на действительной оси)=>ф-ия e^z-аналитическое прод-ие e^x с действительной оси на комплекную плоскость.Введём ф-ию:sin(z),cos(z),sh(z),ch(z) как суммы степенных рядов:

sin(z)= _n=0∑^∞[(-1)^n]*[(z^(2n+1))/(2n+1)!]; cos(z)= _n=0∑^∞[(-1)^n]*[(z^(2n))/(2n)!];

sh(z)= _n=0∑^∞(z^(2n+1))/(2n+1)!]; ch(z)= _n=0∑^∞(z^(2n))/(2n)!]; т.к .все ряды сход-ся при всех z, то эти ф-ии целые,они –аналитические продолжения ф-ии sin(x);cos(x);sh(x);ch(x) с действит оси на комплекс. пл-ти.