36 Аналитическое продолжение по цепи областей.

Пусть Ḋ ϲf–голоморфная функция в Ḋ . Совокупность Ḋ и f называется элементами и обозначается {Ḋ,f} при этом Ḋназывают областью элемента. Элемент {} называют непосредственным аналитическим продолжение элемента {} если:d: = является областью и. Из принципа единственности следует что. Таким образом, если элемент {} является непосредственным аналитическим продолжением {} то это продолжение единственно . Оно обратимо {} является непосредственным аналитическим продолжением {}. Конечное множество элементов {},…, {} – называется цепью если элемент {} является непосредственным аналитическим продолжение элемента {} (k=1,2,3,4,5….,m) При этом говорят что элемент {} является аналитическим продолжением элемента {} по соединяющей их цепи области.

37 Принцип симметрии Римана-Шварца.

Пусть две непересекающиеся области имеют общий участок границы, содержащий кусочно-гладкую простую дугубез ее конечных точек. Рассмотрим множество=– приставляющее собой область.

Лемма

Пусть функция (k=1,2…) голоморфна в области (и непрерывна наЕслиzто функция равнаяи равная на, общее значение является голоморфным в.

Это лемма будет исполняться в том частном случае когда интеграл по прямой, но в этом случае ее справедливость следует из замечания к теореме Мореры.(без доказательства)

Теорема (принцип симметрии Римана-Шварца)

Если функция f голоморфна в и непрерывна ви в точке интегралапринимает значения принадлежащие интегралунекоторой прямойTто функция f аналитически продолжается из в областьпричем значенияприz симметричны со значениями относительногде=zточка симметричная W=zотносительно Г, то функция .

Доказательство

Повернем плоскости илинейным преобразованиемz=az+bw=выбрав их так чтобы интегралв некоторый интеграл действительной оси плоскости. А примая Г перешла в действительную ось плоскости. Эти преобразования сохранили симметрию точек относительно преобразования прямых а также сохранили непрерывность и голоморфность , далее считаем чтоиинтегралы действительной оси плоскостиисоответственно в окрестностиU()вфункцияfпредставляется степенным рядом.

Определим в области .

Показав что голоморфна в окрестностиU() тсимметрична точке. В силу непрерывностиfв и того чтоfна .

Теперь легко видеть что z. Согласно лемме функция голоморфна в области. В этой областиусловиючто означает симметрию относительно Г точекzисимметричных относительно.

38Понятие функции-оригинала. Показатель роста оригинала. Изображение по Лапласу, голоморфность изображения.

Функцией-оригиналом называется любая комплексная функция действительного переменногоtудовлетворяющая следующим условиям.

1. Функция удовлетворяет условиям Гельдера всюду на осиtкроме отдельных точек, где она имеет разрывы первого порядка , причем на каждом конечном интервала таких точек конечное число, это означает что для кроме точек разрыватакие что(1)

2. 

3. Существуют такие постоянные (2)

Определение

Нижняя грань Sпри которой неравенство (2) выполняется с некоторыми постоянными.

Замечание

Из определения следует что тотакая что|

Определение

Изображение функции-оригинала (по Лапласу) называется функциякомплексного переменногоопределённая равенствомЗдесь само преобразованиеназывается преобразованием Лапласа. Функцияимеет своим изображением функциюзаписываютили

Теорема

Для всякого оригинала изображениеопределено в полуплоскостигде- показатель роста функцииИ является в этой плоскости голоморфной функцией при этом(4)

Док-во

Пусть имеем|=(5);Интеграл (3) сходится абсолютно в полуплоскостии определена функциядокажем ее голоморфность в этой полуплоскости. Фиксируемположим= -(6) оценимОтсюда и из (6) получим