10. Интеграл от функции комплексного переменного вдоль кривой. Вычисление интеграла. Интеграл вдоль окружности от функции Zk, k ϵ z. Свойства интеграла

Опр: число , () наз диаметром разбиения Т кривой Г.

Опр: пусть ,. Сумма(1) наз-ся инт суммой кривой для фун-цииf на Г, соотв разбиению Т, выбору точек .

Опр: ф-ция f наз-ся интегрируемой по кривой Г, если облад след св-вом:, такое что пр любом разбиении Т крив Г с диаметроми при каждом выборе точеквып нер-во. ЧислоI наз инт от ф-ции f вдоль(или по) кривой Г и обознач , а Г наз-ся путем интегрирования.

Зам:

Теор: Если ф-ция f непрер на спрямляемой крив Г, то ф-ция f инт на этой кривой.

Зам: пусть Г-гладкая кривая, (a<t<b), тогда ее ур-ние

Св-ва инт:

1

2

3 если спрямляемая кривая Г состоит из m кусков , а ф-циянепрер на Г, то ин-л, причем предп, что инт по каждому изпроисходит в направлении, порождаемом напр интегр по Г.

В случае не пересекает спярм крив(m≥2) не образуют кривой, ф-лу будем считать справедливой по опр.

4 , гдеL- длина кривой Г

11. Интегральная теорема Коши для жордановой области и для составного контура.

Теор: если ф-ция f голоморфна в односвязной области и Г-любая спрямляемая замкнутая кривая, лежащая в, то

Док-во: все док-во основано на леммах 1 и 2

Лемма 1: пусть f-непрерывна в односвяз области и для любого треугольника, содерж в Г, ин-л вдоль границы этого тр-ка, тогда любой замкнутой спрямляемой кривой Г, содерж вин-л

Док-во: основано на том, что любую фигуру(область), можно разбить на тр-ки

Лемма 2: ф-ция f голоморфна в односвязной области и-контур какого-либо, то

Док-во: любой тр-к можно разбить на последовательность тр-ков, , при достаточно большом к, М устремляется к 0.

Пусть Г- жорданова спрямляемая кривая - голоморфна внутри Г, а так же в каждой точке Г. Другими словами, пустьголоморфна в замкнутой областикривой Г, в этом случае имеем

Теор: Пусть граница Г области G состоит из n+1 замкнутых жордановых спрямляемых кривых таких, что каждая из прямыхлежит вне остальных и все они располагаются в. Пусть при этом если точка движется, то точки областиG остаются слева. Тогда если ф голоморфна в, тоРИС

Док-во: соединим в циклическом порядке с помощью вспомогательных кривыхab,cd,ef.

Рассмотрим 2 замкнутые кривые ,

Функция является голоморфной как внутри, так и на каждой из этих кривых,

,

Складывая эти 2 рав-ва получим (интегрируя по вспомогательным кривымab,cd,ef соверш в 2 раза в противопол напр, поэтому уничтожаются)

Замеч: рав-во можно записать в виде, где интегрирование совершается в положительном направлении кривых

12. Обобщение интегральной теоремы Коши на случай, когда функция не является голоморфной на контуре интегрирования

Теор: Пусть G ограничена жордановой спрямляемой кривой Т и -ф-ции, голоморфной вG и непрерывной в , тогда

Док-во: проведем, при доп предп, что каждый луч выходит из точки , пересекая Г только в одной точке и что Г состоит из конечного числа гладких дуг.РИС

Пусть ,–ур-ние крив Г,- по предположению имеет кусочно-непрер произв, пусть

Рассмотрим замкнутую кривую ,

По теор Коши: =, сл-но

Ф-ция f(z)-равномерно непрер в замкнутой области , поэтому, что при,имеем

Положим ,,,, тогда приимеем(, поэтому при указанном