Взаимная корреляционная функция (вкф)

– не выполняется в целом свойство четности и не обязательно выполнение условия при .

Для центрированных сигналов:

ВКФ - функция времени, следовательно, для нее можно найти спектральную функцию: . Сначала найдем произведения :

Из свойств преобразований Ф следует, что спектральная функция произведения функции есть свертка спектральных функций: (???)

С другой стороны из определения спектральных функций следует:

Положив в обеих формулах , получим:

Т.е.

– спектральная плотность ВКФ равна произведению спектральной плотности одного сигнала на сопряженную спектральную функцию другого.

Возвратимся к АКФ:

При :

при .

Из выражения для ВКФ, полагая, что и , получаем:

Т.е. при получаем равенство Парсеваля, т.е. Ф-образом является спектральная плотность энергии сигнала, т.е. имеем два уровня описания, две формулы Ф-преобразования:

– не содержит информации о фазе сигнала.

Для периодических сигналов или сигналов с энергией используют усреднение (нормирование) на периоде .

Дискретизация непрерывных сигналов

Потребность в дискретизации:

• Для реализации импульсной модуляции с целью передачи сигналов по каналам или линиям связи.

• Для кодирования сигналов с последующей их передачей по каналам связи.

• Для реализации цифровых алгоритмов обработки информации.

Сущность дискретизации – замена непрерывного сигнала последовательностью импульсов.

В общем случае амплитуды импульсов можно задать соотношение с помощью дискретных весовых функций:

Восстановление функции по ее дискретным координатам осуществляется с помощью системы базисных функций . Т.е.:

Чаще всего весовые и базисные функции выбирают одинаковыми:

В виду сложности определения чаще всего используют методы дискретизации, при котором сигнал заменяют совокупностью его мгновенных значений – отсчетов . Роль весовых функций в этом случае играют -функции Дирака.

– шаг дискретизации, может быть неравномерным. При этом:

Восстановление непрерывного сигнала

- базисные функции. Среди неортогональных базисов чаще всего используют степенные полиномы:

Если значения аппроксимируемого полинома совпадают со значениями сигналов в точках отсчетов (интерполяция), то используют полиномы Лежандра. Для реализации необходима процедура сдвига на такт дискретизации (задержки). При восстановлении методов экстраполяции используют члены ряда Тейлора.

Спектр дискретного сигнала

- аналоговый сигнал с ограниченным спектром, т.е. с конечным и компактным (Фурье-образом). Производится процедура равномерной дискретизации с шагом (частотой ). Математическая модель дискретизированного сигнала:

– гребневая функция – последовательность единичных импульсов с шагом . Справка:

Фурье-образ дискретной функции :

Видно, что спектр дискретного сигнала есть непрерывная периодическая функция с периодом . Введем понятие центрального периода:

– частота Найквисти (соответственно ).

Центральный период функции называют главным частотным диапазоном.

Интуитивно понятно, что если спектр главного диапазона дискретного сигнала совпадает со спектром аналогового сигнала (т.е. он содержит всю полезную информацию о сигнале), то по дискретному спектру в принципе можно точно восстановить исходный аналоговый сигнал.

Для того чтобы дискретизация не меняла спектр в главном диапазоне необходимо, чтобы

, т.е. (смотрите рисунок выше).