39. Математический аппарат z-преобразования.

При переходе от s к z виду исчезает многозначность и удается избавиться от периодических свойств. Переход осуществляется заменой: (для дискретных сигналов только)

з

Свойства z – преобразований:

1. Линейность

з{ax(t) + by(t)}=ax(z) +by(z)

2. Сдвиг во времени

з{x(t-kT)}=z^-kx(z)

3. Свойство частной производной

з

4. з

5. - это формула справедлива лишь тогда, когда ты знаешь, что этот предел существует

6.Наименьшее значение

40. Вычисление z-преобразований сигналов и соответствующих передаточных функций.

по определению, проквантовать W(s)

введем параметр а:

по свойству частной производной в силу равномерной сходимости ряда, имеем право поменять местами производную и з-форму

8.

Вычисление з-преобразования для сложных передаточных функций:

свойство линейности з-преобразования

41. Описание дискретно-непрерывных систем с помощью передаточной функции w(z) и ф(z).

Вычислить z форму означает, что нужно подвергнуть операции z преобразования ее импульсную переходную характеристику.

Здесь ключ реальный, а не фиктивный.

42. Построение годографа w(z).

Рассмотрим , рассмотрим, как преобразуется плоскость S в плоскость Z:

Рассмотрим преобразование участка от 0 до :

этот участок в области z есть верхняя половина окружности.

Возьмем дополнительные точки:

	0
z	1		j		-1

Особенности построения годографа дискретной системы:

Диапазон частот

Вместо z подставляем

Любая точка из левой полуплоскости S перейдет во внутреннюю часть круга на плоскости Z. Все особенности (корни, полюса) из дополнительных полос попадают в те же точки, что и из основной полосы. Избавляемся от периодических повторений. Критерий Найквиста работает в том же самом виде и на плоскости Z. Условие устойчивости дискретной системы - все корни характеристического уравнения должны лежать внутри единичного круга на плоскости Z.

43. Анализ устойчивости дискретно-непрерывных систем на плоскости z и w(z)

Существует алгебраический критерий устойчивости Шур-Кона. Критерий работает с характеристическим уравнением дискретной системы, представленной в z форме. В критерии составляется матрица 2n на 2n. Для системы 2-го порядка критерий можно свести к более простому:

исключает существование корня z>1, исключает существование корня |z|>1.

Способы анализа устойчивости.

1. Вычислить z-форму, получить передаточную функцию замкнутой системы и посмотреть располагаются ли все корни внутри единичной окружности. Прямой метод. (на плоскости Z)

2. Вычислить z-форму. Построить годограф передаточной функции разомкнутой системы и посмотреть, охватывает ли годограф -1.

44. Билинейное преобразование. Понятие псевдочастотных характеристик.

К билинейному преобразованию переходим путем замены переменных в z-форме для передаточной функции дискретной системы.

в результате замены приходим к

выразим пл-ти S выражается нулем плоскости z, подставляем 0 в получаем

Действительная ось переходит в отрезок

рассмотрим линии a b c d, они переходят в окружности.

		a	b	c	d
	0
	0

Можно сделать вывод, что отрезок от 0 до перешел во всю положительную часть мнимой оси.

Рассмотрим вертикальные линии f, g, h. Эти линии тоже переходят в окружности. Центр окружности f лежит за точкой . Те же окружности можно нарисовать справа потому что верт линии с правой стороны дадут ту жу картину.