Пространство переменных состояний:

1. Уравнение Ляпунова для исследования устойчивой линейной системы.

Свойства: ,,

Выберем ф-ию Л. , она определена в окрестностях положения равновесия системы, в нуле она равна нулю. должно выполняться

, Q – положит. опред. матрица NxN. Чтобы нулевое решение автономной линейной системы было асимптотически устойчивым, необходимо и достаточно, чтобы для производной положительно определенной матрицы Q существовала положительно определенная матрица P, удовлетворяющая уравнению Ляпунова. Уравнение Ляпунова для линейных систем: . Q симметрична

Для удобства можно брать в качестве Q единичную матрицу.

2. Переходная матрица. Методы ее нахождения и ее свойства.

Переходная матрица позволяет отыскать решение в пространстве переменных состояний, начиная с некоторого значения до ∞. Она должна удовлетворять уравнениям:

, гдеE – единичная матрица.

, сравниваем с

=>

так как , получаем

. Обратная переходная матрица: . Решение системы в общем виде: .

Способы нахождения:

1) корни характеристического уравнения . Затем решаем n уравнений , откуда .

Переходная матрица: , где .

2) Для случая стационарных систем

, .

Применим преобразование Лапласа к диф. уравнению:

=>

=>

Откуда

3) , где – элемент переходной матрицы, представляет собой описание переходного процесса по i-ой координате вектора состояния при заданных единичных начальных условиях на j-ую координату вектора состояний при остальных координатах равных нулю.

Свойства переходной матрицы:

- Переходная матрица полностью определена

- Переходная матрица является невырожденной

3. Решение линейной нестационарной системы в пространстве состояний.

Переходная матрица позволяет отыскать решение в пространстве переменных состояний, начиная с некоторого значения до ∞. Она должна удовлетворять уравнениям:

, где E – единичная матрица.

Чтобы отыскать каким образом переходная матрица связана с , будем варьировать векторную переменную :

Дифференцируем систему: , сравниваем с уравнением в пространстве переменных состояний:

, домножим на обратную переходную матрицу :

Интегрируем это выражение: Так как при выполняется второе уравнение переходной матрицы, то . Получаем уравнение: . Обратная переходная матрица: . Решение системы в общем виде: , где .

4. Решение линейной стационарной системы в пространстве состояний.

Для линейной стационарной системы переходная матрица примет вид для случая, если матрица A - диагональная. Проверяем является ли такая матрица переходной: , оба условия удовлетворены. В общем случае же , где , векторы собственных значений можно вычислить из , – матрица собственных значений вида . Собственные значения можно получить из уравнения

5. Определение управляемости. Анализ управляемости системы.

Система называется полностью управляемой, если из произвольного начального состояния ее можно перевести в любое конечное состояние , при помощи входного сигнала, заданного на этом интервале времени (имея матрицы A и С). Заменим в пространстве переменных состояний и домножим 1ое уравнение на : , система приведена к диагональному виду, , получим n независимых уравнений.

Так как хотя бы один равен нулю, то система неуправляема. Для исследования управляемости нужно получить матрицу , и так как и невырожденная, то . Условием полной управляемости будет то, что ранг матрицы .