Модуль силы тяготения

(12.2)

Закон тяготения в указанной форме (равенство 12.1) справедлив также для случаев:

а) тел со сферически-симметричным распределением массы, когда плотность (§18) является только функцией расстояния от центра тела; в этом случае r — расстояние между центрами масс тел;

б) тел, одно из которых, имеющее сферически-симметричное распределение массы, по размерам значительно превосходит второе. В этом случае r — расстояние между центром масс первого тела и вторым телом, которое можно рассматривать как материальную точку.

Сила тяжести F_тяж — сила, под действием которой все тела падают относительно поверхности Земли с ускорением свободного падения g (без учета силы сопротивления воздуха):

F_тяж = mg. (12.3)

Вследствие вращения Земли вокруг своей оси система отсчета, связанная с поверхностью Земли, является неинерциальной и сила тяжести несколько отличается от силы тяготения. Однако это отличие мало, и для решения некоторых задач можно считать, что

F_тяг = mg. (12.4)

Модуль ускорения свободного падения на поверхности Земли

(12.5)

где M_з — масса Земли, R_з — радиус Земли.

Значение g = 9,806 м/с² принято в качестве стандартного.

Вес тела F_В — сила, с которой тело действует на опору (подвес), удерживающую (удерживающий) его от свободного падения.

Вес тела направлен противоположно силе реакции опорыR (на рис.12.4 брусок рассматривается как материальная точка), модули их равны:

F_В = R. (12.6)

Если опора неподвижна (или движется с постоянной скоростью) относительно поверхности Земли, то вес тела равен силе тяжести (но эти силы приложены к разным телам):

F_В = mg. (12.7)

Если опора движется с ускорением а относительно поверхности Земли, то вес тела не равен силе тяжести:

F_В = m (g  a). (12.8)

Модуль веса тела может быть больше, меньше или равным модулю силы тяжести.

Состояние невесомости — состояние, при котором вес тела равен нулю.

Состояние невесомости выполняется при условии:

а = g, (12.9)

т.е. при свободном падении тела.

Состояние перегрузки — состояние, при котором модуль веса тела больше модуля силы тяжести.

Первая космическая скорость — скорость спутника планеты, радиус орбиты R_ор которого незначительно превышает радиус планеты R_пл:

(12.10)

где h — высота спутника над поверхностью планеты (h  R_пл).

Первая космическая скорость для Земли

(12.11)

где g — ускорение свободного падения на поверхности Земли, R₃ — радиус Земли.

Тема 3. Законы сохранения

§13. Импульс

Импульс (количество движения) материальной точки p — ВФВ, равная произведению массы м.т. m на ее скорость v:

p = mv. (13.1)

Единица импульса — килограмм-метр в секунду: [p] = кгм/с.

Приращение (изменение) импульса материальной точки

p = p_к – p_н. (13.2)

На рис.13.1 показано приращение импульса м.т. при абсолютно упругом ударе о неподвижную плоскость.

Приращение импульса м.т. связано с приращением ее скорости v равенством:

p = mv. (13.3)

Второй закон Ньютона (с использованием импульса)

Скорость изменения импульса материальной точки относительно инерциальной системы отсчета (ИСО) равна приложенной к ней силе:

(13.4)

Если сила постоянна (F = const) на промежутке времени t, то приращение импульса материальной точки равно импульсу силы:

p = Ft (13.5)

(произведение постоянной силы на промежуток времени ее действия называется импульсом силы, единица которого Нс).

Скорость изменения импульса материальной точки относительно инерциальной системы отсчета (ИСО) при одновременном приложении к ней нескольких сил равна сумме всех приложенных сил (или равнодействующей силе):

(13.6)

Если равнодействующая сила постоянна (F_p = const) на промежутке времени t, то приращение импульса м.т. равно импульсу равнодействующей силы:

p = F_pt. (13.7)

Импульс системы материальных точек равен сумме импульсов всех м.т., принадлежащих данной системе:

(13.8)

где p_i — импульс i-й м.т. массой m_i, движущейся со скоростью v_i.

Центр масс (центр инерции) системы м.т. r_ц.м — точка, радиус-вектор которой определяется равенством:

(13.9)

где m_i, r_i — масса и радиус-вектор i-й м.т. соответственно, m_с — масса системы материальных точек:

(13.10)

Скорость центра масс системы материальных точек

(13.11)

Импульс системы м.т. может быть найден через произведение скорости центра масс и массы системы:

p_с = m_сv_ц.м. (13.12)

Если система м.т. незамкнута, то скорость изменения импульса системы относительно ИСО равна равнодействующей всех внешних сил:

(13.13)

при этом

(13.14)

где F_{p.внеш i} — равнодействующая внешних сил, действующих на i-ю материальную точку системы.

Если равнодействующая внешних сил постоянна (F_р.внеш = const) на промежутке времени t, то приращение импульса системы м.т. равно импульсу равнодействующей внешних сил:

p_c = F_р.внеш t. (13.15)

Равенству (13.15) эквивалентна система уравнений для проекций приращения импульса системы м.т. (при движении материальных точек в плоскости хОу):

(13.16)

Закон сохранения импульса системы материальных точек

Относительно инерциальной системе отсчета (ИСО) импульс замкнутой системы материальных точек с течением времени не изменяется:

p_з.с = const, (13.17)

при этом взаимодействие между материальными точками системы может приводить к изменению их импульсов.

Равенству (13.17) эквивалентно равенство:

p_з.с = 0. (13.18)

Скорость центра масс замкнутой системы относительно ИСО с течением времени не изменяется:

v_ц.м..з.с = const. (13.19)

Условие сохранения импульса незамкнутой системы материальных точек

Импульс незамкнутой системы м.т. p_с с течением времени не изменяется, если сумма всех внешних сил, приложенных к материальным точкам системы, равна нулю:

p_с = const при F_p.внеш = 0. (13.20)

Равенству (13.20) эквивалентно равенство:

p_с = 0 при F_p.внеш = 0. (13.21)

Условие сохранения проекции импульса незамкнутой системы материальных точек

Проекция импульса незамкнутой системы м.т. на какую-либо ось не изменяется, если проекция суммы всех внешних сил на эту ось равна нулю, например:

p_{с x} = const при F_{p.внеш x} = 0. (13.22)

Равенству (13.22) эквивалентно равенство:

p_{с x} = 0 при F_{p.внеш x} = 0. (13.23)