§2. Векторы

2.1. Начертить следующие векторы (см. рисунок): а) h₁ = , б)k₁ = , в)w₁ = , г)n₁ = , д)p₁ = , е)v₁ = .

2.2. Начертить следующие векторы: а) h₂ =, б)k₂ = в) w ₂ = , г) n ₂ = 0,2(cd), д) p₂ = , е)v₂ = .

2.3. Найти проекции векторов a, b, c, d, e, f на оси Ox и Оу.

2.4. Записать векторы a, b, c, d, e, f, g через орты.

2.5. Записать векторы, построенные в задаче 2.1, через орты.

2.6. Определить углы между векторами a, b, c, d, e, f и осью Ox.

2.7. Определить углы между векторами, построенных в задаче 2.2, и осью Oу.

2.8. Записать радиус-векторы через орты.

2.9. Записать перемещение r через орты.

2.10. Определить скалярное произведение векторов: (а,b), (b,c), (d,e), (e,f), (а,f).

2.11. Определить угол между радиус-векторами r_н и r_к.

2.12. Определить угол между радиус-вектором r_н и перемещением r.

§3. Равномерное прямолинейное движение

3.1. Материальная точка движется вдоль оси Ох, причем проекции скорости этой точки  v_x = 5 см/с. Какова при этом зависимость от времени координаты этой точки, если при t = 0 x₀ = –8 см? Построить график зависимости координаты от времени х(t).

3.2. Материальная точка движется в плоскости хОy. Зависимости координат этой точки от времени имеют следующий вид: x = 10 – 3t, y = 5 + 4t (в задачах 3.2, 3.3, 3.5 координаты x и y даны в метрах, а время t – в секундах). Каковы при этом проекции скорости на оси Ох и Оy? Чему равен модуль скорости этой точки?

3.3. Движение материальной точки на плоскости описывается уравнениями: x = 2 + 1t, y = 1 + 2t. Запишите уравнение траектории этой точки. Изобразите траекторию на плоскости хОy.

3.4. Два тела движутся вдоль оси Oх. Зависимости координат этих тел от времени имеют вид: х₁ = 2 – 3t и х₂ = – 4 + 2t, где координата x дана в сантиметрах, а время t – в секундах. Чему равно расстояние d между телами в момент времени t₁ = 3 с?

3.5. Два тела движутся в плоскости хОу так, что их координаты меняются со временем по законам: x₁ = 2t, y₁ = 5t, x₂ = 1 +1t, y₂ = 4 +1t. Изобразите траектории этих тел. В какой момент времени встретятся эти тела? Каковы координаты точки встречи?

3.6. По графику, представленному на рисунке, написать зависимость координаты от времени х(t) и построить график зависимости проекции скорости от времени v_х(t) материальной точки.

3.7.По графику, представленному на рисунке, написать зависимость координаты от времени х(t) и построить ее график, если х_н = 4 м. Графически определить среднюю путевую скорость материальной точки на всем времени движения. 

3.8. Из пунктов А и В, расстояние между которыми равно L = 500 м, навстречу друг другу начали двигаться два тела: первое (из п.А) со скоростью v₁ = 15 м/с, второе со скоростью v₂ = 10 м/с, причем второе тело начало двигаться раньше первого на время  = 4 с. Определить, используя зависимости координаты от времени х(t) этих тел, через какое время после начала движения второго тела они встретятся. Решить задачу также графически.

3.9. По условиям задачи 3.8 определить, через какое время после начала движения первого тела встретились бы тела, если бы второе тело двигалось в том же направлении, что и первое. Решить задачу также графически.

3.10. Расстояние между двумя телами, движущимися равномерно навстречу друг другу, уменьшается наL₁= 16 м за каждыеt₁= 10c. Если эти тела с такими же скоростями будут двигаться в одном направлении, то расстояние между ними будет увеличиваться наL₂= 3 м за каждыеt₂= 5c. Найти скорости тел.

3.11. Моторная лодка проходит расстояние между двумя пунктами А и В по течению реки за время t₁ = 3 ч, а плот — за время t₂ = 12 ч. Сколько времени t₃ затратит моторная лодка на обратный путь?

3.12. Между двумя пунктами, расположенными на реке на расстоянии S = 100 км один от другого, курсирует катер, который, идя по течению, проходит это расстояние за время t₁ = 4 ч, а против течения — за время t₂ = 10 ч. Определить скорость u течения реки и скорость v катера относительно воды.

3.13.Два катера, шедшие навстречу друг другу, встретились у моста и разошлись. Повернув через время τ = 1 ч, они встретились вновь на расстоянии L = 4 км от моста. Определить скорость течения реки u, полагая, что модули скоростей катеров относительно воды одинаковы и постоянны.

3.14. Вагон шириной d = 2,4 м, движущийся со скоростью v = 15 м/с, был пробит пулей, летевшей перпендикулярно движению вагона. Смещение отверстий в стенках вагона относительно друг друга равно L = 6 см. Какова скорость движения пули u?

3.15. На тележке, движущейся прямолинейно по горизонтальной дороге со скоростью v_т = 10 м/с, установлена труба. Под каким углом к горизонту  следует наклонить трубу, чтобы капли воды, падающие вертикально со скоростью v_к = 17,3 м/с, пролетали через трубу не задевая стенок?

3.16. Корабль выходит из пункта А и идет со скоростью v, составляющей угол  с линией АВ (см. рисунок). Под каким углом  к линии АВ следовало бы выпустить из пункта В торпеду, чтобы она поразила корабль? Торпеду нужно выпустить в тот момент, когда корабль находился в пункте А. Скорость торпеды равна u.

3.17. На лодке переплывают реку, отправляясь из пункта А (см. рисунок). Скорость лодки в стоячей воде v = 5 м/с, скорость течения реки u = 3 м/с, ширина реки d = 200 м. В точке С лодка пристанет к противоположному берегу, если держать курс перпен-дикулярно берегам. Определить расстояние L между точкой В и точкой С. Какое время t_п понадобится для переправы?

3.18.По условию задачи 3.17 определить, какой курс следует держать, чтобы попасть в точку В (определить угол  — см. рисунок)? Какое время t_п понадобится для переправы?

3.19.Лодка, движущаяся с постоянной скоростью, пересекает реку под острым углом к направлению течения. При этом лодка держит курс в направлении, которое составляет угол  = 30 со скоростью лодки относительно берега. Какова скорость лодки относительно берега v, если скорость течения реки v₁ = 0,75 м/с, а скорость лодки относительно воды v₂ = 1,5 м/с?

3.20. Человек, двигаясь перпендикулярно к вертикальной стене со скоростью v = 0,5 м/с, держит в руке лазерную указку, наклонив ее на угол  = 30 к горизонту. С какой скоростью u перемещается светящаяся точка по стене?