§5. Свободное падение по вертикали

Свободное падение материальной точки у поверхности Земли — равнопеременное движение, происходящее при малых высотах h (h << R_з — радиуса Земли) и небольших скоростях (практически без сопротивления воздуха).

Ускорение свободного падения постоянно (g = const), направлено вертикально вниз и не зависит от массы материальной точки. Модуль ускорения свободного падения g = 9,81 м/с².

Движение материальной точки у поверхности Земли по вертикали является равнопеременным прямолинейным движением в системе отсчёта, связанной с поверхностью Земли, в случаях, когда м.т. бросают вертикально вверх (рис.5.1,а) или вниз (рис.5.1,б) с некоторой начальной скоростью (возможно, с некоторой высоты), либо когда м.т. падает вниз без начальной скорости (рис.5.1,в) с некоторой высоты.

При вертикальном движении:

скорость

v = v_н + gt, (5.1)

радиус-вектор

(5.2)

Уравнениям (5.1) и (5.2) эквивалентны следующие системы уравнений (t_н = 0):

(5.3)(5.4)

Согласно этим уравнениям, проекция скорости материальных точек на ось Oy в системе отсчёта, показанной на рис.5.1, равна:

1-ой v_1y = v₀₁ – gt , (5.5)

2-ой v_2y = – v₀₂ – gt , (5.6)

3-ей v_3y = –gt; (5.7)

y-координата материальных точек равна:

1-ой (5.8)

2-ой (5.9)

3-ей (5.10)

Решая, например, уравнение (5.8) относительно времени t, можно определить моменты времени, при которых м.т. находится на высоте h (например, когда h больше начальной высоты h₁), а затем определить проекцию и модуль скорости на этой высоте при движении м.т. вверх или вниз, используя уравнение (5.5).

§6. Движение под углом к горизонту

Движение материальной точки, брошенной вверх или вниз (возможно, с некоторой высоты) с начальной скоростью, направленной под некоторым углом₀ (90 ₀  90) к горизонтальной оси Ох (рис.6.1), является равнопеременным криволинейным движением в системе отсчёта, связанной с поверхностью Земли.

При таком движении:

скорость

v = v_н + gt; (6.1)

радиус-вектор

(6.2)

проекции скорости

(6.3)

(6.4)

координаты

(6.5)

(6.6)

При определении проекций скорости и ускорения на оси координат Ох и Оу, показанных на рис.6.1, и их подстановки в уравнения (6.3) – (6.6) получаются равенства (при х_н = 0, у_н = 0, t_н = 0) для проекций скорости:

v_x = v₀cos₀, (6.7)

v_y = v₀sin₀ – gt; (6.8)

для координат:

(6.9)

(6.10)

Решая совместно равенства (6.7)  (6.10), можно определить:

время подъёма на максимальную высоту

(6.11)

время движения (при у_к = у_н)

(6.12)

максимальную высоту подъёма

y_max = (6.13)

максимальную дальность полёта

x_max = (6.14)

уравнение траектории (при движении м.т. в плоскости хОу)

(6.15)

(траекторией м.т. является парабола, представленная на рис.6.1),

зависимость проекции скорости на ось Oy от высоты h:

при подъёме

(6.16)

при спуске

(6.17)

модуля скорости от высоты

(6.18)

При выборе другой системы координат, отличающейся от системы, показанной на рис.6.1, уравнения (6.3) — (6.6) не изменяются, некоторые (или все) уравнения (6.7) — (6.10) изменятся. Так, например, если ось Оу будет направлена вертикально вниз (направление оси Ох не изменяется), то

v_y = v₀sin₀ + gt, (6.19)

(6.20)