§2. Равномерное движение

Равномерное движение  движение, при котором за любые равные промежутки времени (t_i = const) пути материальной точки одинаковы (S_i = const).

Это движение с постоянной путевой скоростью:

(2.1)

при этом траектория может быть как прямолинейной, так и криволинейной.

При равномерном движении:

путевая скорость

(2.2)

путь (зависимость от времени)

(2.3)

Путь S за промежуток времени t в системе координат vОt равен площади (выраженной в единицах пути) прямоугольника (рис.2.1), ограниченного графиком v(t) = v₀, осью времени от начального до конечного моментов времени и отрезками прямых t = t_н и t = t_к.

График зависимости модуля скорости от времениv(t), состоящий из двух отрезков прямых, соответствующих равномерному движению м.т. со скоростью v₁ на первом (0  t  t₁) и v₂ на втором (t₁  t  t₂) участке, приведен на рис.2.2.

Средняя путевая скорость на всем промежутке времени движения

(2.4)

где t₁ = t₁, t₂ = t₂t₁, t_общ = t₂.

На рис.2.2 отмечено значение средней путевой скорости <v_s> пунктирной линией, которая соответствует графику равномерного движения м.т. со скоростью v₃ = <v_s>. Значение средней путевой скорости <v_s> ближе к значению той путевой скорости, движение с которой длилось по времени больше — скорости v₂.

На рис.2.3. приведен график зависимости пути от времени S(t), состоящий из двух отрезков прямых, соответствующих равномерному движению м.т. со скоростью v₁ на первом и v₂ на втором участке, причем v₁  v₂ (см. рис.2.2).

Зависимость пути от времени: на первом участке (0  t  t₁)

(S_1н = 0), (2.5)

на втором участке (t₁  t  t₂)

(2.6)

где S_2н = S_1к — путь м.т. за промежуток времени от нуля до t₁.

Тангенсы углов наклона отрезков прямых к оси времени ₁и₂(см. рис.2.3) пропорциональны модулям скоростей:

tg₁ = к_грv₁, tg₂ = к_грv₂, (2.7)

где к_гр  коэффициент пропорциональности, зависящий от масштабов по осям ординат и абсцисс выбранной системы координат. Чем больше модуль скорости (v₁  v₂), тем больше тангенс угла (tg₁  tg₂) и, следовательно, больше угол (₁  ₂).

Равномерное прямолинейное движение  движение, при котором за любые равные промежутки времени (t_i = const) перемещения материальной точки одинаковы (r_i = const).

Это движение с постоянной скоростью:

v = const. (2.8)

При равномерном прямолинейном движении:

средняя скорость

<v> = v, (2.9)

перемещение

r = vt, (2.10)

радиус-вектор

r = r_н + vt, (2.11)

координаты

x = x_н + v_xt, у = у_н + v_уt, (2.12)

где х_н, у_н — начальные координаты, v_x, v_у — проекции скорости,

путь материальной точки

(2.13)

Если t_н = 0, то t = t и, например, зависимость радиус-вектора от времени принимает следующий вид:

r = r_н + vt. (2.14)

Зависимость у(х) при прямолинейном равномерном движении (в плоскости хОy) является линейной функцией:

(2.15)

при v_x  0.

График этой зависимости — прямая линия (рис.2.4), угол наклона которой к оси Ох определяется отношением проекций скорости на оси Oy и Оx.

Графики зависимости координаты м.т. от времени при различных (как по знаку, так и по величине) проекциях скоростей v_xi (i = 1,2,3) приведены на рис. 2.5. Тангенс угла наклона i-го отрезка прямой к оси времени пропорционален проекции i-й скорости:

tg = к_грv_x1 > 0 (  0), (2.16)

tg  = к_грv_x3 < 0 ( < 0). (2.17)

Приращение координаты м.т. по оси Ох за промежуток времени t при прямолинейном равномерном движении

x = v_xt. (2.18)

Приращение координаты x_i в системе координат v_хОt равно площади (в единицах перемещения) прямоугольника, ограниченного графиком v_xi(t), осью времени на соответствующем промежутке времени t_i и отрезками прямых t = t_нi и t = t_кi (см. рис.2.6), причем знак x_i определяется знаком проекции скорости на ось Ох.

Скорости материальной точки относительно разных систем отсчета

Пусть система отсчета К (рис.2.7) движется относительно системы отсчета К с постоянной скоростью v_кк, м.т. движется относительно системы отсчета К со скоростью v_тк, относительно системы отсчета К со скоростью v_тк'.

Радиус-векторы, перемещения и скорости материальной точки в различных системах отсчета связаны соотношениями:

(2.19)

r_тк = r_кк + r_тк, (2.20)

v_тк = v_тк + v_кк, (2.21)

где индексы означают следующее: тк — м.т. относительно системы отсчета К, — м.т. относительно системы отсчета,— системаотносительно системы К.

Скорости относительного движения материальных точек

Если известны скорости v_i и v_j i-ой и j-ой материальных точек, соответственно, относительно некоторой системы отсчета К (рис.2.8,а), то скорость i-й м.т. относительно j-й м.т. (рис. 2.8,б)

v_ij = v_i  v_j. (2.22)

На рис.2.8,в показана скорость v_ji — скорость j-й м.т. относительно i-й м.т.:

v_ji = v_j  v_i. (2.23)

Относительные скорости материальных точек направлены в противоположные стороны, а их модули равны:

v_ij = v_ji. (2.24)