6. Оператор гамильтона “набла”. Дифференциальные операции первого и второго порядка

Многие операции векторного анализа могут быть записаны в сокращённой форме с помощью символического оператора Гамильтона «набла»:

(6.1)

который обладает векторными и дифференциальными свойствами.

1. Пусть скалярная функция. Рассмотрим произведение

. (6.2)

2) Пусть - векторное поле.

Рассмотрим скалярное произведение:

; (6.3)

3)Векторное произведение равно:

. (6.4)

Таким образом, три основные дифференциальные операции

векторного анализа ипросто и удобно выражены с помощью оператора «набла».

Запишем ещё три очевидных соотношения:

; (6.5)

; (6.6)

. (6.7)

Последние соотношения можно трактовать как проявление линейных свойств дифференциального оператора

Применяя оператор к произведению каких-либо величин, следует иметь в виду правило дифференцирования произведения

Отсюда следует, что оператор надо применять поочерёдно к каждому coмножителю произведения и брать сумму полученных выражений. Тот факт, чтоне действует на какую-то величину, мы будем отмечать индексом, а саму величину будем записывать перед. В тех случаях, когда такая перестановка будет производиться в векторном произведении, знак выражения будет изменяться:

; (6.8)

; (6.9)

; (6.10)

. (6.11)

Дифференциальные операции второго порядка можно для наглядности представить в виде таблицы

Из девяти возможных операций второго порядка смысл имеют пять, и две из них дают нулевой результат!

Операции, обозначенные прочерком в таблице, не определены, так как имеет смысл только для скалярного поля, аитолько для векторного.

Рассмотрим подробнее “нулевые” операции. Формально, используя оператор Гамильтона, получим

(так как векторное произведение вектора на самого себя ).

То же получим, проделав подробные выкладки:

.

(Здесь каждая скобка обращается в 0 в соответствии с теоремой о смешанных производных).

Аналогично:

, так как квадратные скобки внутри смешанного произведения можно перемещать произвольно, а «векторный квадрат» вектора равен нулю.

Подробнее:

;

Из всех операций второго порядка особого внимания заслуживает операция :

.

Здесь называетсяоператором Лапласа.Его можно представить как скалярное произведение оператора Гамильтонана самого себя:

Этот оператор играет важную роль в математической физике.

Рассмотрим ещё одну операцию второго порядка:

.

Для двойного векторного произведения имеем соотношение

.

Заменяя в этой формуле инаанаполучим:

где

.

Последнее соотношение показывает, что оператор Лапласа имеет смысл и в случае его воздействия на векторную величину.

В заключение следует отметить, что оператор Гамильтона при решении задач следует использовать с известной осторожностью, так как истинным вектором он не является, не имеет ни величины, ни направления. Например, векторне будет в общем случае ортогонален к векторухотя в частном случае плоского поля

вектор

будет перпендикулярен к плоскости а значит и к вектору.

Понятие коллинеарности по отношению к символическому вектору не имеет смысла. Например, выражение, гдеискалярные функции, напоминает векторное произведение коллинеарных векторов, которое всегда равно нулю. Но в общем случае это не имеет места. Вектор

направлен по нормали к поверхности уровня а вектор

по нормали к поверхности уровня и эти нормали не обязаны быть коллинеарными.

С другой стороны,

Эти примеры показывают, что полностью полагаться на формальные преобразования с оператором нельзя и в сомнительных и сложных случаях следует производить подробные выкладки.