Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Текст_поле.doc

Скачиваний:

343

Добавлен:

04.06.2015

Размер:

2.68 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

4. Линейный интеграл в векторном поле. Циркуляция векторного поля и ротор

Пусть дано векторное поле

и кривая , на которой указано положительное направление. (Функциинепрерывные, кривая кусочно-гладкая.) Если силовое поле, то работа по перемещению единичной массы на отрезке кривой

будет равна

Работу, произведенную силой при перемещении единичной массы по пути, можно представить криволинейным интегралом второго рода

. (4.1)

Если кривая L задана системой уравнений

то интеграл (4.1) вычисляется по формуле

а в случае параметрического задания кривой:

формула принимает вид:

Пример 4.1. Вычислить линейный интеграл в векторном поле

на отрезке прямой АВ. .

Решение.

Каноническое уравнение прямой АВ

откуда

Интеграл будет равен:

Пример 4.2. Вычислить линейный интеграл в векторном поле

вдоль линии

Решение.

Здесь ;

Пример 4.3. Вычислить линейный интеграл в векторном поле

вдоль полуокружности

Решение.

где

следовательно,

Пример 4.4

Вычислить линейный интеграл в векторном поле

вдоль винтовой линии , задаваемой уравнениями,

Решение.

следовательно,

Решить самостоятельно

Вычислить линейный интеграл в векторном поле

вдоль параболы от точки (0,0) до точки (1,1).

2) Вычислить линейный интеграл в векторном поле

а) вдоль параболы от точки (-1,1) до точки (1,1);

б) вдоль прямой, соединяющей эти же точки.

Вычислить линейный интеграл в векторном поле

вдоль прямой, соединяющей точки (1,1,1) и (2,2,2).

Циркуляцией векторного поля называется линейный интеграл второго рода, взятый по замкнутой ориентированной кривой L:

, (4.2)

где

 векторное поле, а

 элементарный отрезок кривой L.

Направление обхода замкнутой кривой L считается положительным, если для наблюдателя, движущегося в этом направлении, область, ограниченная кривой, остаётся слева.

Пример 4.5. Вычислить циркуляцию векторного поля

вдоль эллипса

Решение.

Параметричекские уравнения эллипса имеют вид

откуда

, .

Подставив всё это в интеграл, получим:

, так как

Аналогично

Пример 4.6. Вычислить циркуляцию в векторном поле

если L  линия пересечения цилиндра

и плоскости

Решение.

Линия есть эллипс, параметрические уравнения которого имеют вид:

откуда

Подставив всё в интеграл, получим:

Решить самостоятельно

4) Вычислить циркуляцию векторного полявдоль замкнутой кривой.

Ротор векторного поля  это вектор, обозначаемый символом .

Пусть

 векторное поле, причём функции P, Q и R непрерывны вместе с производными первого порядка по всем переменным. Тогда

или, в символической форме:

Пример 4.7.

Пусть скалярная функция,векторная функция. Показать, что.

Решение.

Пример 4.8. Пусть

постоянный вектор. Показать, что

Решение.

(Обозначаем здесь и далее.)

Здесь, например,

Решить самостоятельно

5) Показать, что если ипостоянные векторы, ато.

6) Показать, что .

где постоянный вектор,

Ответы.

5. Теорема стокса. Независимость линейного интеграла от пути интегрирования. Потенциальное векторное поле

Теорема Стокса.

Пусть ограниченная, полная, кусочно-гладкая, двусторонняя поверхность с кусочно-гладкой границей.Окрестностью поверхностибудем называть любое открытое множество, содержащее.

Теорема. Пусть в некоторой окрестности поверхности функциинепрерывны и имеют непрерывные частные производные первого порядка. Тогда имеет место следующее соотношение:

, (5.1)

Рис. 9

называемое формулой Стокса. При этом, стоящий в правой части интеграл вычисляется по замкнутому контуру , являющемуся границей поверхности, на котором указано такое направление обхода, при котором (с учётом выбора стороны поверхности) поверхностьостаётся слева.

Будем считать, что однозначно проецируется на координатные плоскости в трёхмерном пространстве, причём, на плоскостьв областьи является графиком некоторой функции, определенной в, (Рис. 9).

Докажем теорему.

Касательная плоскость к поверхности имеет уравнение:

где произвольная точка на поверхности.

Нормаль в точке касания есть вектор

компоненты которого определены в той же точке. Единичный вектор нормали равен

следовательно,

Очевидно, теорема будет доказана, если будут доказаны равенства:

;

; (5.2)

Поскольку эти соотношения доказываются однотипно, остановимся на доказательстве только первого из них.

Проекции элементарной площадки на координатные плоскости равны, соответственно:

;

Подставив последнее соотношение в поверхностный интеграл, получим

Так как на поверхности

то, используя правило дифференцирования сложной функции, получим

Подставим это в поверхностный интеграл и вычислим его, переходя к двойному интегралу по области на плоскости, в которую проецируется поверхность.

Здесь иуравнения двух ветвей замкнутого контура, в который проецируется границаповерхности. Поменяв местами пределы в последнем интеграле, мы замкнём обход контура, однако направление обхода – отрицательное (так как областьпри обходе остаётся справа) и получим:

Изменив направление обхода контура , мы избавимся от знака минус перед интегралами, а учитывая тот факт, что значение функциив точкекривойсовпадает со значением функциив точкекривой, в которую проецируется точка, получим:

Окончательный результат:

Первое из трёх равенств (5.2) доказано. Второе и третье доказываются аналогично. Теорема доказана.

Теорема Стокса может быть сформулирована более компактно, а формула Стокса записана в «свёрнутом виде». При этом ограничения, оговоренные в формулировке теоремы Стокса, сохраняются в полном объёме.

Циркуляция вектора по замкнутому контуру L равна потоку ротора этого вектора через любую поверхность S , натянутую на контур L, ограничивающий эту поверхность:

, (5.3)

где

орт нормали к поверхности S,

проекция вектора ротора на нормаль к поверхности S.

Ориентация нормали и выбор стороны поверхностиS согласованы так, что обход контура L виден из конца вектора нормали соверша-ющимся против часовой стрелки:

Пример 5.1. Вычислить циркуляцию вектора

по контуру L: ,

непосредственно, b) по формуле Стокса. (Рис. 10).

Решение.

а) ,

Рис. 10

Для вычислений по теореме Стокса в качестве поверхности,

натянутой на контур L, выберем плоскость Нормаль в этом случае вектор :

, ,

Решить самостоятельно

1) Найти циркуляцию вектора

по контуру, образованному пересечением плоскости

с координатными плоскостями;

найти циркуляцию векторного поля.

по контуру

Теорема.Для того, чтобы линейный интеграл

не зависел от формы пути интегрирования L, необходимо и достаточно, чтобы векторное поле

было безвихревым, т.е. в каждой точке области G, в которой задано векторное поле.

Здесь предполагается, что компоненты вектора :непрерывны вместе с частными производными первого порядка, а сама областьG односвязная.

Определение.Область G трёхмерного пространства называется односвязной, если на любой замкнутый контур, принадлежащий области, можно натянуть поверхность, целиком лежащую в области G.

Например, трёхмерное пространство, внутренность сферы являются односвязными областями. Внутренность тора, пространство с «выколотой» точкой или выброшенной прямой, не являются односвяз-ными областями.

При выполнении условий теоремы циркуляция вектора по любому замкнутому контуру, принадлежащему областиG, равна нулю:

В случае плоского векторного поля

имеем

Следовательно, для того, чтобы в плоском поле, определённом в односвязной области G, линейный интеграл

не зависел от формы пути интегрирования, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение

Если в области Dс границейLзадано плоское векторное поле

то справедлива формула Грина

. (5.4)

Теорема Грина представляет собой частный случай теоремы Стокса.

Пример 5.2.

С помощью формулы Грина вычислить линейный интеграл

в векторном поле

где верхняя полуокружность, причём начало пути интегрирования в точке, а конецв точке. (Рис. 11).

Решение.

Замкнём контур интегрирования, прибавив к дуге отрезок, который проходится от точкидо точкипо оси, имея в виду, что

так как на оси и. Пусть. Тогда

Рис. 11

где

откуда следует

где Sверхняя половина круга

Последний интеграл вычислим в полярных координатах:

Подставив эти соотношения в уравнение окружности, получим:

откуда .

Конечный результат:

Решить самостоятельно

Применяя формулу Грина, вычислить циркуляцию следующих векторных полей по заданным контурам:

3) ;

4). ;

5) ;

6) :

Определение.

Векторное поле

заданное в области трёхмерного пространства, называется потенциальным, если существует такая скалярная функциячто во всех точках области выполняется равенство

или, что равносильно,

Функция , удовлетворяющая этим условиям, называется потенциалом векторного поля. Потенциал поля определяется с точностью до постоянной.

Теорема.Для того, чтобы векторное поле , заданное в односвязной областибыло потенциальным, необходимо и достаточно, чтобы в каждой точке областивыполнялось условие:

Потенциал векторного поля

определяется формулой

где фиксированная точка, апроизвольная точка.

Пример 5.3

Показать, что поле

является потенциальным и найти его потенциал.

Решение.

Следовательно, поле потенциально. Потенциал поля:

Теорема.Линейный интеграл в потенциальном поле равен разности значений потенциала поляв конечной и начальной точках пути интегрирования:

. (5.5)

Пример 5.4.Вычислить линейный интеграл в поле вектора

вдоль отрезка прямой от точки до точки

Решение.

следовательно, векторное поле является потенциальным:

Результат не зависит от того, какая кривая соединяет точки иЭто позволяет выбрать путь, соединяющий точкиив виде ломаной, состоящей из отрезков, параллельных осям координат, что приводит к упрощению интеграла для нахождения потенциала:

Пример 5.5.

Доказать, что векторное поле

является потенциальным и найти его потенциал.

Решение.

т.е. поле потенциальное.

1-й способ решения:

В качестве начальной точки пути интегрирования выберем , а линию, соединяющую её с конечной точкой, представим ломаной, состоящей из отрезков, параллельных координатным осям. (Рис. 12).