3. Криволинейные координаты. Теорема гаусса-остроградского. Дивергенция векторного поля

В некоторых случаях можно на самой поверхности Sвыбрать простую криволинейную систему координат, в которой удобно вычислять поток векторного поля, не прибегая к проектированию на координатные плоскости.

Случай 1. ПустьSчасть кругового цилиндра

ограниченного поверхностями и

Введём цилиндрические координаты:

,

тогда элемент площади будет

а поток векторного поля через поверхностьSравен:

,

где

 единичный вектор нормали к поверхности цилиндра радиуса R.

Пример 3.1.

Вычислить поток векторного поля через боковую поверхность цилиндра, ограниченного плоскостями

и .

Решение.

Вводя криволинейные координаты,

,

будем иметь

,

, .

Поток векторного поля равен:

.

(Здесь .)

Решить самостоятельно

1. Найти поток векторного поля через внешнюю сторону боковой поверхности цилиндра

,

ограниченного плоскостями

и .

2. Найти поток векторного поля через внешнюю сторону боковой поверхности цилиндра

,

вписанного в сферу .

2-й способ.Пусть поверхностьSявляется частью сферы

,

ограниченной коническими поверхностями ии полу-плоскостямии. (Рис. 6).

Введём сферические координаты:

, ,.

Тогда для элемента площади dSбудем иметь:

,

а поток векторного поля в направлении внешней нормали к поверхностиSбудет вычисляться по формуле

, (3.1)

где

 радиус-вектор точки на поверхности сферы радиуса R, являщийся нормалью к сферической поверхности,, следовательно,

орт этой нормали.

Пример 3.2.

Найти поток векторного поля

через часть поверхности сферы

,

принадлежащей первому октанту. (Рис. 7).

Решение. Здесь

,

.

(Так как .)

Подставив последнее выражение в формулу для потока (3.1), получим:

.

Решить самостоятельно

3) Найти поток векторного поля через часть сферы, вырезанной конусом.

4) Найти поток векторного поля через внешнюю сторону части сферы, распложенной в первом октанте.

Теорема Гаусса - Остроградского

Теорема.Если в некоторой области G пространства компоненты вектора непрерывны вместе с частными производными то поток векторачерез любую замкнутую кусочно-гладкую поверхность, принадлежащую области G, равен тройному интегралу отпо области V, ограниченной поверхностью S :

(3.2)

(формула Гаусса-Остроградского). Нормаль к поверхностиSберётся внешняя.

Рассмотрим доказательство теоремы Гаусса-Остроградского. Ограничимся доказательством теоремы лишь для специального класса областей , таких, что любая прямая, параллельная одной из координат-ных осей пересекает границу областине более чем в двух точках. Областьс присоединенной границейбудем обозначать. (Рис. 8).

Пусть область на плоскостипредставляет собой проекцию на эту плоскость области. Через граничные точки областипроведём прямые, параллельные оси. Каждая из этих прямых пересекается с границейлишь в одной точке. Множество этих точек образует линию, которая разделяет поверхностьна две частии, являющиеся графиками непрерывных и кусочно-дифференцируемых вфункцийи.

Рассмотрим тройной интеграл

.

Для областии для подынтегральной функциив интеграле выполняются условия, при которых действуют правила повторного интегрирования.

Рис. 8

Поэтому имеем:

.

Первый из интегралов есть поверхностный интеграл по внешней стороне поверхности :

,

а во втором интеграле после перехода с внутренней стороны поверхности на внешнюю изменяется знак и получаем интеграл:

.

Два последние интеграла объединяем, так как и получаем

.

Доказательства для формул

и

проводятся аналогично (следует рассмотреть проекции на плоскостиии повторить все рассуждения.

Сложив три последние соотношения, получим формулу Гаусса-Остроградского:

.

Теорема доказана.

Пример 3.3. Вычислить поток векторачерез замкнутую поверхность,.

Решение.

Здесь V верхняя половина шара. По формуле (3.2)

.

Интеграл вычислим в сферических координатах:

;

,

.

Решить самостоятельно

5) Вычислить поток векторного поля через поверхность

6) Вычислить поток векторного поля через

поверхность S:

Стоящее в правой части формулы Гаусса - Остроградского выражение имеет вполне определённый физический смысл и имя собственное: дивергенция (обозначение):

. (3.3)

Из формулы (3.2) и теоремы о среднем следует, что

. (3.4)

Это отношение потока векторного поля, выходящего из объёма Vчерез поверхностьS, к самому объёмуV. Оно отлично от нуля только при условии, что в объёме имеются источники или стоки векторного поля.

Предельный переход при стягивании объёма Vв точку позволяет приписатьсмысл скалярной функции, характеризующей объёмную плотность источников (или стоков) векторного поля в каждой точке областиG, в которой определено векторное поле.

Используя символ можно записать формулу Гаусса-Остроградского более компактно:

. (3.5)

Пример 3.4. Вычислитьгде.

Решение. .

У нас

следовательно, .

Пример 3.5.

Вычислить гдескалярная функция, а

 векторная функция.

Решение.

.

Решить самостоятельно

7) Найти , гдепостоянный вектор, а

 радиус-вектор точки.

8) Найти где.

Найти поток векторного поля через заданные замкнутые поверхности:

9) ;

10. ;

11) .

Ответы.

1. 0; 2) 0; 3) 4)5)6)7) 0; 8) 0;

9)10)11)